M M désignant quelque entier supérieur à (x

Logarithmes vulgaires et autres fonctions connexes à V exponentielle ,

40. La relation fondamentale (i4) dun®6 étant linéaire et homogène par rapport aux logarithmes qu'elle renferme, reste exacte quand on les multiplie tous par une même constante quelconque a, que nous supposerons non = o.

Ces produits sont les valeurs de la fonction

pour X = x'y x'\ ... et se nomment les logarithmes de ces quantités pris dans le système de module a. On représente cette fonction par log^^x), et

Ton nomme base du système la quantité A = (?'', dont l'un des logarithmes de celte espèce est — i .

ly après cette dé finition y les logarithmes népériens appartiennent au système qui a i pour module et e* := e pour base.

41. Le seul cas dans lequel il y ait intérêt à considérer ces nouveaux logarithmes est celui où a, module du système, est une quantité réelle (la base A est alors une quantité positive), et où l'on fait abstraction de leurs déterminations imaginaires. Ils sont encore réels quand ils appartiennent à des quantités positives et conservent les propriétés exprimées parles formules (22) du n° 19.

Quand x est une quantité positive, on peut considérer u = loga(x') comme la racine réelle unique de l'équation

La fonction e"" jouit évidemment de propriétés caractéristiques de l'exponentielle et, quand x est réelle commensurable, elle est égale à la détermination positive de \e"} (R. 61). Pour ce double motif, on la représente souvent par

L'équation précédente s'écrit alors

Quand on donne la base A = (?", le module est évidemment fourni par la formule

d^où

^a:^r/,A)^,^fL((A)^

en se bornant à la détermination réelle de /(A).

42. Pour A = fo, base du système de la numération décimale, les logarithmes des puissances de lo deviennent précisément égaux à leurs exposants. C'est cette particularité, très avantageuse dans la pratique, qui a fait adopter les logarithmes de cette espèce pour l'abréviation des calculs numériques, sous le nom de logarithmes de Briggs ou vulgaires; on les désigne simplement par le signe log.

D'après la formule (12) leur module a pour valeur

et Ton a généralement

log(^) =

/(lO)

Cet emploi des logarithmes vulgaires est à la fois l'origine historique des transcendantes dont nous nous occupons et la plus utile de leurs applications pratiques.

43. Comme un logarithme vulgaire est le quotient de deux logarithmes népériens, la construction d'une Table de logarithmes exige seulement le calcul des logarithmes népériens de toutes les quantités positives. Les quantités incommensurables ne figurent jamais dans les calculs numériques que par leurs valeurs approchées et le logarithme d'une fraction pouvant s'obtenir par la différence de ceux de ces termes, la question revient en dernière analyse au calcul des logarithmes népériens des nombres entiers positifs.

L'emploi répété du développement (9) du n*^ 5 y suffirait, car il donne M. 5

immédiatement pour toute valeur de N au moins égale à i

d'où, en partant de /(i) = o, on déduirait successivement /(a), /(3),

On remarquera en passant la formule curieuse

Mais on obtient des séries d'une convergence infiniment plus rapide en opérant comme il suit.

Pour Xq^=i^ X = i± hy ce même développement donne

puis, par soustraction,

formule valable, comme les deux précédentes, seulement pour modA < i. Kn y faisant donc h = -^ , elle devient

série très rapidement convergente pour peu que l'entier N ne soit pas très petit. Elle fournit, de proche en proche, comme ci-dessus, les logarithmes de

2, 3, 4) Cet artifice donne un exemple des moyens indirects par lesquels

les calculateurs habiles savent abréger leur travail.

Les logarithmes sont, en général, des nombres incommensurables dont les Tables peuvent seulement contenir des valeurs approchées. Le degré d'approximation dont on s'y contente est déterminé par cette condition générale que les erreurs dont Remploi de logarithmes inexacts peut entacher les résultats des calculs numériques puissent facilement être maintenues au-dessous de celles que Von ne pourrait éi^iter en mesurant directement les grandeurs physiques correspondantes. Les meilleures Tables usuelles donnent les logarithmes avec sept décimales exactes ; si les

artistes parvenaient à augmenter beaucoup la précision des instruments de mesure, il faudrait, pour n'en pas perdre le bénéfice, augmenter parallèlement l'approximation des Tables.

44. La fonction ^'(w,^)? étudiée dans mon Mémoire sur les radicaux s'exprime très simplement au moyen de l'exponentielle et du logarithme népérien. Son premier développement étant

ç ( m, n ) =ri H ^^ — • H î^-^ — -^ -h . . . = e«»'(*)

puisque la série représentée par T (R. 14) n'est pas autre chose que X(i + t) qui fournit le premier développement de l(x) (5), on a identiquement, au bout de tous les chemins imaginables,

Comme l'exponentielle est indéfiniment olotrope et que le logarithme népérien ne cesse de l'être qu'en a? = o, cette valeur de x est la seule qui soit critique pour cette fonction composée (2, III). En étudiant la fonction ^j;, nous avons vu ce qui s'y passe quand tn est réel (R. 42). Pour m imaginaire, cette fonction n^y est jamais olotrope, car l'adjonction à un chemin quelconque d'un anneau direct ceignant le point a? = o augmente l{x) de 2iri et, par suite, multiplie la fonction par e™-^'^', facteur qui ne peut être égal à I = ^••^'^', parce que m n'est pas un nombre entier.

Pour rappeler à la fois les propriétés caractéristiques de cette fonction, identiques à celle des monômes entiers (R. 21, 23) et les valeurs qu'elle prend quand m est réel commensurable, on pose

45. On rencontre encore d'autres expressions compliquées d'exposants non réels commensurables ; les considérations précédentes en fournissent facilement l'interprétation. Par exemple, au lieu de a:*, il faut lire 4'(iP, x) = e^'^'^, etc. Mais les questions de ce genre offrent le plus médiocre intérêt.

(Extrait des Annales de la Faculté des Sciences de Toulouse j t. IV.)