L'équation numérique

est impossible ou possible selon que X est = o ou non. Dans ce dernier cas elle a pour racines uniques toutes les déterminations de /(X).

Nous savons (2, VI) que cette équation n'a pas d'autres racines que les valeurs acquises par la racine localement olotrope variable de l'équation

précisée par une condition initiale quelconque, en particulier par u = o pour a? = I, au bout de tous les chemins qui peuvent conduire a; de i à X. Nous savons, d'autre part (27), que cette racine variable est précisément l(x).

Cela posé, si X = o, tous ces chemins conduisent le premier élément de l(x) à l'infini négatif (18); si, au contraire, X est non = o, ils donneront naturellement toutes les déterminations de /(X), savoir

en appelant U l'une d'elles choisie à volonté et A' un entier quelconque positif nul ou négatif (19, I).

36. La /?dr/W/c//e est une propriété extrêmement curieuse et importante qui, sous des formes varices, appartient à une infinité de fonctions engendrées par rinvcrsion des intégrales abéliennes, et déjà à l'exponentielle, comme nous allons le constater.

Soient/(x') une fonction d'une seule variable et II une constante donnée non = o; on dit quey(a;) admet U pour période si, quel que soit l'entier m (positif ou négatif), on a identiquement

/(x4-wn)=/(x).

THÉORIE ANALYTIQUE DU LOGARITHME NÉPÉRIEN. 3l

Une pareille fonction est dite périodique, et la période II est dite élémentaire s'il n'en existe aucune autre ayant un module moindre.

Cela posé, la fonction exponentielle admet ± nizi pour période élémentaire.

Car, en vertu de ce qui précède (35), et quelle que soit a;, l'équation

a pour racines toutes les quantités de la forme x -+- m.iizi et n'en possède aucune autre.

37. Relativement aux parties aliquotes de sa période 2iri, l'exponentielle jouit d'une sorte de périodicité imparfaite. Car, en appelant m un entier positif et oim la racine principale directe m**"* de l'unité, on a (33, VI)

SIC/ aie/

.r-i-ii — Il —

L'addition à x d'un multiple entier de — reproduit donc encore

V exponentielle y mais au facteur d'après qui se réduit à i quand n est multiple de m.

38. La composante e" étant indéfiniment olotrope, la fonction composée e^^-^'^'"'^ l'est elle-même aussi longtemps que la fonction simple U(rr,y, . . .) jouit de cette propriété (2, III).

39. L'observation suivante est utile à la discussion de beaucoup d'expressions compliquées d'exponentielles.

Quelque grand que soit l'exposant positif fractionnaire (x, le rapport

est infini pour des valeurs positives infinies de x. Car, à cause du développement (2), ce rapport est supérieur à