GAUTHIER-VILLARS ET FILS, IMPRIMEURS-LIBRAIRES

DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L* ÉCOLE POLYTECHNIQUE, Quai des Grands- Augustin», 55.

DU

LOGARITHME NÉPÉRIEN

ET DE LA FONCTION EXPONENTIELLE, PAR M. Cii. MÉRAY,

Professeur à la Faculté des Sciences de Dijon.

Prélim ina ires .

1 . Dans les Ouvrages classiques, les propriétés si utiles et si curieuses des fonctions exponentielles et logarithmiques se trouvent disséminées comme au hasard et démontrées par des moyens fort disparates qui comprennent essentiellement des emprunts à la Géométrie du cercle. Une pareille méthode manque évidemment d'unité et de netteté (de rigueur même en bien des points); de plus, elle a le défaut de dissimuler complètement la filiation naturelle de ces premières transcendantes, ainsi que leur ressemblance avec icellcs d'ordres plus élevés.

C'est pour éviter ces inconvénients, selon moi très graves dans une matière

d presque élémentaire, que, depuis bien longtemps, je me suis décidé, aussi

g bien dans mon Cours que dans mon Nouveau précis d'Analyse infinité-

S simale (1872), à rassembler les propriétés fondamentales de ces fonctions,

celles aussi des fonctions circulaires qui leur touchent de si près, dans une

^ étude monographique spéciale dégagée de toute considération géométrique.

^ Aujourd'hui je reviens sur la même question, pour la séparer plus complè-

lement de ce qui concerne les fonctions circulaires et la traiter à nouveau,

^ toujours dans le même esprit, mais d'une manière plus simple et encore plus

^ conforme aux procédés généraux d'investigation que, depuis Cauchy et

su Abel, on emploie avec tant de succès, dans la théorie des transcendantes à

"^ dérivées algébriques .

Cfl. MEftAT.

Les avantages sérieux que je trouve i cette méthode me l'ont fait adopter définitivement pour mon enseignement.

2. Je supposerai connus les principes eœentiek de la théorie des foncticms tels que, depuis longtemps, dans TOuvrage dlé, dans d'autres publicaticms et dans mes Leçons, je les ai asôs sur les propriéiés générales des séries entières, dont, au surplus, ils ne différent pas à mes yeux- J'en ai rappelé quelques-uns au commencement de mon récent Mémoire sur les radicaux (*), auquel j'aurai quelquefois ici à renvoyer le lecteur par des Buméros précédés de la lettre R. Les plus importants des autres sont ceux dont je vais reproduire les énoncés.

L Quand f {x, y,..^,f, (x, >% . . . ), /, ( x, y \ sont localement olo-

tropes (R. 4, IV), les identités

subsistent dans toute V étendue d4>s cheminements praticables, si elles ont

lieu seulement pour les premiers développements de ces diverses fonctions.

IL Toute détermination de Fintégrale indéfinie ffy x)djr est locale-

ment olotrope dans les mêmes limites et avec le même olomètre exactement que la fonction intégrée f{x).

III. La fonction f[V\x. y ^ ..,\V^x, v, ..,^. ...]romposée de la composante f(u, V, , , ,) r/ des fonctions simples V ^ x, v ï, Vt x, >- )

est localement olotnype aussi longtemps que toutes 1rs fonction données le sont elles-mêmes^

IV. 5//(.r, u) est olotrope en x = x., a =. u,. l équation diférentielle

fia

ndnwt anr intègral^^ uniqurui^r^ olotrope en x, et svràduùant à a,. Cette int^ffralo reste localement olotmpe, tant que la valeur de x, et aussi la

y) ThMd» r„rf.V««,r/.,„,/.-r rro/^*„rmr«r ,wr tes p^j^^icc, anémies des séries cnn^r,, (Rri'uf hourguifrnonnt <ir nrmsc.f^cmtm, supcrirur, t. i. .Sgo.

sienne propre correspondante u = \j(x), restent renfermées dans les limites ou la fonction de deux variables f(Xj u)est elle-même olotrope.

V. Si F (a:, u) est olotrope en x^, u^ et si Von a numériquement

F(^o» "o) = o> avec F^<^'*> (a?o, wq) non = o, l'équation finie

admet pour seule racine tendant vers u^j en même temps que x versx^j l'intégrale Y{x) de l'équation différentielle

complétée par la condition initiale

u — Uf^ pour a? = j7o (IV).

La fonction implicite ainsi définie est localement olotrope aussi longtemps que la valeur de x et la sienne propre correspondante u = ^(x) demeurent renfermées dans les limites où la fonction de deux variables F(ic, u) est elle-même olotrope et ou Von n'a jamais P®'*^(ic, u) = o.

VI. En appelant f( u) une fonction d'une seule variable ^ olotrope dans toute Vétendue du plan où u se note graphiquement^ puis

les zéros quef'(x) peut posséder , puis

les valeurs correspondantes de f{u)^ puis Uq et

une valeur quelconque de u n' appartenant pas à la suite (i) et la valeur correspondante de f{u)^ puis enfin X une constante quelconque^ l'équation numérique

n'a pas d'autres racines que les termes de la suite (i) satisfaisant par hasard à cette équation^ et les valeurs acquises au bout de tous les chemins

eu. MERâY.

tracés de x^ à X, sans contenir aucun des points (i), par la fonction im plicite u = ^{x) que définit V équation

accompagnée de la condition initiale

u =z uq pour jc = jCo>

dont l'égalité (2) autorise l'adoption (V).

Nous pouvons maintenant entrer en matière.

Origine et propriétés fondamentales du logarithme népérien.

3. Au point de vue purement analytique, le seul auquel on puisse se placer quand on tient à concevoir les choses dans un enchaînement clair et naturel, et en laissant de côté certaines fonctions dont les phénomènes de la nature ne nous oflrent point d'exemple, qui, même dans les spéculations abstraites, ne jouent aucun rôle sérieux, toutes les transcendantes peuvent être considéiyes comme résultats d'intégrations exécutées sur des exprèssions de nature antérieurement connue. Cette conception, qui en fournit la classification la plus nette, place au premier rang celles dépendant d'équations différentielles exclusivement algébriques par rapport aux variables indépendantes y aux fonctions inconnues et à leurs dérivées.

Les intégrales abéliennes sont les transcendantes les plus remarquables de cette espèce ; on a donné ce nom à toute intégrale indéfinie, à une seule variable principale a?, de la forme

(3) J^¥(x,y)dx,

où y désigne une fonction implicite de Xj racine d'une équation entière donnée,

qu'on peut supposer irréductible, c'est-à-dire à premier membre indécomposable en facteurs entiers de degrés moindres, où F est une composante rationnelle à deux variables, donnée aussi.

4. Quand Téquation caractéristique (4) est du premier degré seulement par rapport à y, cette fonction implicite se réduit à quelque fonction rationnelle de Xy la fonction composée F(a7, y) également et l'intégrale (3) à

(5) ÇY{x)dx,

où F(a;) n'est plus qu'une fraction rationnelle.

Une décomposition convenable de F(a?) fournit, comme on le sait, des monômes entiers de la forme

et des fractions simples de la forme

A(jr— «)-!*.

A tous les premiers, correspondent dans l'intégrale (5) calculée par décomposition les termes similaires

/jj/W+l •

à celles des dernières où (a non = i , correspondront encore les fractions simples

Mais, si la décomposition de F (a?) a donné des termes effectifs en

ils introduiront dans l'intégrale (5) une partie linéaire et homogène par rapport à des intégrales indéfinies telles que

dont jusqu'ici la nature propre est pour nous entièrement inconnue. En posant

l'intégrale (6) est W(x — a), quelle que soit la constante a.

6 CH. MÉRàY.

C'est donc en définitive à cette dernière fonction^ la plus simple éçidemment de toutes les intégrales abéliennes, que se ramènent ainsi tous les éléments encore inconnus de l^ expression (5), intégrale indéfinie d'une différentielle rationnelle quelconque.

Telle est la principale cause de l'importance des diverses questions qui se rattachent à Tintégrale (7) et dont nous allons maintenant faire une étude minutieuse.

5. Toutes les déterminations de l'intégrale indéfinie (7) ne différant les unes des autres que par des quantités constantes, on peut se borner à la considération d'une seule d'entre elles; il y a commodité et intérêt à choisir celle qui se réduit à opour x = 1^ c'est-à-dire la fonction (plus exactement pseudo-fonction (R. 4, I), définie par la formule

rdx u= I —

où l'intégrale doit être prise sur tous les chemins partant de a? = i, ou, ce qui revient au même, par l'équation différentielle et la condition initiale

(8) — =-, u=zo pour a:=:i.

On la nomme le logarithme népérien de x et on la représente par lo signe l(x).

Voici les premières conséquences de cette définition.

I. Le logarithme est localement olotrope pour toute valeur de x non

nulle^ mais non olotrope en x = o. Car la fonction fractionnaire simple —

qui est placée sous le signe d'intégration jouit précisément de ces mêmes propriétés (2, II).

La formule de Taylor est donc applicable au déç^eloppement de l(x) à partir de a;/, valeur initiale quelconque de x non = o, en une série entière par rapport à(x— x^), et le rayon de convergence maximum de cette série

est égal à sa valeur pour le développement semblable de - , c'est-à-dire à

mod Xi.

II. Comme la différentiation indéfinie de l'équation (8) donne immédia-

tement

dx"*^ X

le développement dont il s'agit est

, ^ i x — Xf i/x — XtY (—!)'«-» /j: — j? A '«

(9) U=:Ui-\ 1 ') +...-h î^ 4-

^^' i xi 2\ Xi J m \ Xi J

Nous l'écrirons quelquefois

en posant pour abréger

. / X — Xi\

(II) X(H-/)=y-- + -^-...,

série entière en / dont le rayon de convergence maximum est i et dont l'étude directe ramènerait par une autre voie (R. 8, III) aux conclusions cidessus (I).

III. De ce que les quantités positives ->->«>•••>—>••• décroissent sans

cesse et infiniment, on conclut (R. 5,1) que la série (i 1), de rayon de convergence maximum =iyest encore convergente pour toute valeur de t qui a I pour module, sans être = — i .

Il en résulte que la formule (9) est encore valable pour toutes les valeurs de X situées sur la circonférence de centre Xi et de rayon = mod x^y à V exception de la valeur x=^ o. Car la série est convergente comme on vient de le voir, partant continue, en vertu d'un théorème spécial d'Abel, et le logarithme aussi, puisqu'il est olotrope..

Les séries (i i) (9) sont divergentes, la première pour ^ = — i , la seconde par suite pour a: = o. Cette valeur de x n^est donc jamais accessible au cheminement et nous V excluons absolument de nos calculs, comme aussi tout développement fait autrement que sous la condition de rigueur

mod {x — Xi) < moàxi.

Pour le tracé des chemins praticables au cheminement, nous retombons donc exactement sur les règles concernant la fonction 4'(w> ar) (R. 17).

IV. Comme en ar^ = i on prend i/^, = o, l'emploi répété de la formule (10)

donne, au bout d'un chemin quelconque,