V. Si les quantités

forment une progression géométrique de raison q^ les valeurs correspondantes de l{x) sont les termes d'une progression arithmétique de raison X(i -h gr — i).

Car les égalités supposées

Xi ^i^i

donnent

d'où (II)

. . . =z £/,• — M,, = Ui^i — W,' HT . . . =: X(i -f- ^ — l).

VI. Nous noterons enfin une relation très intéressante entre le logarithme et la fonction ^ (m, x) étudiée dans mon Mémoire sur les radicaux. L'expression de cette dernière (R. 17),

(i3) ^(m,;r)=:9(^m, i 4- \^ ^ j...y(m,iH ^— — » j 9 (^m, i -+- — --j'

combinée avec les propriétés spéciales de la série ç (m, i -+- ^) (R.ll), montre immédiatement qu'elle est localement olotrope pour toute combinaison de valeurs des variables m, or où la seconde n'est pas nulle. On a de plus (R. 14)

Si donc on fait m = o dans la formule (i3) difTérentiée une fois par rapport à m, et si l'on a égard à la formule (12) construite pour le même chemin, il vient toujours au bout du même chemin

C'est la relation dont il s'agit; elle permettrait de déduire facilement, des

propriétés fondamentales de la fonction ^(vXj a?), celles du logarithme qui précèdent et beaucoup de celles qui vont suivre. Mais la méthode directe est évidemment préférable, bien qu'elle soit un peu moins expéditive.

6. Si les variables cheminent arbitrairement (à partir de x' = x" = .. ,=: x^^ =i^ et si

sont des exposants réels commensurables quelconques, on a toujours identiquement

pourvu^ bien entendu^ que Von ait pris i pour valeur initiale commune de tous ceux des monômes x'^\ af'^\ . . . dont les exposants sont fractionnaires (J^. 60).

Pour établir cette identité dans toute sa généralité, il suffit d'en vérifier l'exactitude sur les premiers développements des deux membres seulement (2, I), c'est-à-dire pour toutes les valeurs de x\ x"^ ... rendant inférieurs à i les modules des excès sur i , tant de ces valeurs elles-mêmes que de la quantité x'^' x''^\. . (5, I). Or c'est ce qui a lieu :

I. Quand g se réduit à i, car alors les dérivées par rapport à x' des deux membres de la relation (i4)) savoir

se réduisent respectivement à

de plus et, par hypothèse, ces deux membres s'annulent simultanément pour 0?' = I ;

II. Quand g a une valeur quelconque^ si Von suppose V identité démon-trée pour g — i variables, car alors les mêmes dérivées prennent encore les valeurs identiquement égales

lO CH. MÉRAY.

et, pour a;'= I, ridcntilé se réduit à

qui est supposée exacte ;

III. Quand g a une valeur quelconque et sans conditiony car notre identité ayant été établie pour une variable (I) est vraie pour deux, puis pour trois, et ainsi de suite (II).

7. Comme la distribution des valeurs ordinaires et singulière de ^observée pour la fonction ^(m, x) (R.17, 42) se reproduit exactement pour celle que nous étudions en ce moment, les mêmes particularités se représenteront aussi dans le calcul de cette dernière par cheminement, excepté, bien entendu, celles tenant à la nature propre du développement élémentaire (9) qui est ici entièrement différente. En particulier, les mêmes tracés de chemins sont praticables ou non et tout chemin conduisant de a:^, à X équivaut, pour le calcul de la valeur finale de /(a?) en X, au chemin simple [ar^^, rr^), XJ compliqué par quelque parcours de Tanneau [O^p] ceignant l'origine Oj. (R. 25).

La comparaison des valeurs finales de m = l{x) au bout des divers chemins qui mènent de a;© à X conduit à ce théorème :

En appelant U celle qui correspond au chemin simple et U'*^ celle résultant de rinsertion entre ses deux tronçons [x^^ x^t^] et [a:(,j, X] de Vanneau f O^,] parcouru k fois dans le sens direct (R. 27), on a

(i5) \}^^)=\}-^km,

où ts est une constante spéciale dont la valeur est indépendante de la forme de Vanneau,

I. Conservant les notations du Mémoire cité (R. 26), nous appellerons tt(,) la valeur acquise par l{x) en a;(,j, extrémité du premier tronçon du chemin simple, puis

les sommets de la ligne brisée formant Tanneau, écrits dans l'ordre où on les rencontre en y faisant une révolution directe, et

les valeurs correspondantes de l{x).

La formule générale (lo) donnera en posant, pour abréger,

rr — l/. ■ ^(M)^^(n \ ^(i) — ^'( ÏH )>

d'où successivement puis

(i6) «!}; = «/(,) -h TiT,

où Ton a posé

{l6 bis) TS=:TS(i)-{-lS(t)'^. . ,-hW(s),

De la formule (i6), on passe immédiatement, comme dans le Mémoire cité, à

puis à la relation générale (ï5).

II. Avec deux anneaux directs quelconques '[O^j], "[Oj.] et deux chemins non séparés par l'origine, que nous tracerons de Xq à X, nous formerons deux chemins composés équivalents (R. 26, IV). On en conclut

ce qui nous restait à démontrer.

Nous reviendrons plus loin (14 înf.) sur le calcul de Vaugment xs.

8. D'après cela, les valeurs finales de /(a;) au bout du chemin simple compliqué d'anneaux directs en nombres

sont respectivement les termes de la progression arithmétique de raison tnr,