LL AG

et l’on obtient, en intégrant les deux membres de l’équation précédente,

dé? d'n? dé? 2

: CESR ER EC Ge ATAOURALUEE dr? AE ve ° avec OU + ; ; (i) J=— Su de" Je U(e—e!,)dr (à une constante près); en effet QUMAU CD RE RUES ST dp' 7 p'? dr Rs (Es E 1)p Ajoutons (/)et(k),ona ide 21 ë ; -, dn : dé es #2.

ga = US sUSR Je ER NA

ajoutons encore membre à membre l'équation d multipliée par — 2, 1l vient

(j) ee 26 —— U'—oU—2J—2J", équation qui, comme (d), n’est vérifiée qu’à une constante près.

Les deux équations (d) et (7) feront la vérification de £ et 1 et peuvent servir d’ailleurs à les calculer.

En vue de la vérification de €, on peut encore former les combinaisons suivantes :

Soit

PTE in, DEN PÉENR

Muluplions (a), (b), (c) respectivement par — €, +€, — p et ajoutons; multiplions encore ces mêmes équations respectivement par — €, — €, — get ajoutons, il vient

dc. d p dp oU oU oU NET PR RD nb OC ed PE ,dg dq Ts QU PS UE EAN 1%: FE ee ne Ne à + € on AIRES

équations conjuguées que l’on peut mettre sous la forme

oU

res

d [ d d 0 gawn—pta[ (ee) + sen

d? d D uns) +en Do,

Mons qe TEA PR oU qui sont propres à vérifier € et mème à en simplifier le calcul, car —

: d0 contient & en facteur.

Si Æest voisin de ++, la seconde ou la première sera plus simple.

Conduite des calculs. — De même que les racines de l'équation caractéristique, les coefficients /,, fa, ... et A,, B,, C, peuvent être obtenus soit sous forme de développements suivant les puissances de y, soit d'une manière purement numérique en remplaçant 1 par sa valeur.

La première méthode est plus générale, d’une application plus facile si l’on fait seulement intervenir les premiers termes des développements, car leurs coefficients ont des valeurs numériques simples et ils sonttrès convergents; c’est celle que nous avons adoptée: Cependant la seconde méthode présente des avantages quand on recherche des valeurs numériques très précises; elle devient préférable à la précédente quand il doit être tenu compte de termes d’ordre n°.

Les calculs ont été mis en train par les deux méthodes et nous avons

LE ., obtenu pour les termes du premier ordre de & et de D d’une part les

développements et leurs valeurs numériques : > ss 1 ) 2200: > RAT PAS EP ER :

Fu a] er | 167 x u)| — 0,49949529 — ri 0,00031044

La

s 5e 3 +8] Va var +A(= Gex 8 w)] +.

—0,05356433 — se 0,00041245

dESn I 9 DEN LITRTE 3 aie ee. a[—;+$e+ Haut PE —0,49783595 — À. 0,00030945 V3 13 3 — | du 3 L? +7 (- 8 PNEI fes

—à 00430980 ter 0 00003319 V3

d'autre part, à une unité près de la huitième décimale,

Dan:

| M …. AAQONEAT — Ne v,00081045 )

— 0,0)356930 — o0004 1245) en

1 0,49783970 — "A o 0003095 ) + Bi (

D'après ce qu’on à vu plus haut on connaît les termes du premier dn dé ÉrTeCTE Que l’on ait adopté l’une ou l’autre méthode, supposons que &, ", &, d£ dn d de” dt” dt vu que la détermination des termes d’ordre n se ramenait à la recherche

Le | 2e oR 0R des coefficients des monomes M, dans > > te dE? on” dË

ordre de n, ©

soient connus jusqu à l’ordre n — 1 en &, B, ..., nous avons

Il n’y a là aucune difficulté théorique, mais seulement de longs développements algébriques et la multiplicité des éléments qui interviennent impose une discipline sévère de ces calculs.

Voici done comment nous avons procédé :

.. À cet instant du calcul, nous disposons de tableaux comprenant jusqu’à l’ordre n — 1 les coefficients des monomes et de leurs conjugués M,, M, M, M,, M,, M, ..., dans la totalité des éléments tels que 6, n, C, £?, n°, ... qui constituent les équations et les formules de vérification.

Il s’agit de trouver le coefficient d’un monome M, d'ordre À? dans un élément d'ordre inférieur ou égal à », £2n par éxéimple.

Nous décomposons le monome M, en facteurs d'ordre » — 1 au plus.

Cette décomposition comporte à

2 facteurs quand x = 2, 6 » ES RT

ot

SI M,= «&, «, 5, 6, ces quatorze facteurs sont : A1) of: 6; CT 1 Bi Ge,

Bi, 1 184,

Sa 1 %1fB,

; e XX, Bi D 1 CAT D RS e ASP R 2 X1 P--15 X]PD1e.

Le plus souvent certains de ces facteurs se confondent, ils se réduisent par exemple à dix dans le monome à «,6,, à huit dans &; «°,, à quatre dans &;, mais il est à remarquer que leur nombre est toujours pair et qu'on peut les associer de manière que leur produit deux à deux reconstitue le monome comme nous l'avons fait ci-dessus.

Cette décomposition est essentielle; une fois qu’elle est effectuée, les opérations deviennent pour ainsi dire mécaniques.

Un élément quelconque peut toujours être considéré comme un produit de deux facteurs; £21 est le produit de £ par én.

Le coefficient de &,« ,86,8, dans £?n est donc la somme des produits :

du coefficient de &; dans £ par celui de &,6, (5, dans £n,

» es VERE SEE, œ Bi Bi »

» 154 » To »