mx = o , 2 • mj = o , Z . mz = o

La position du centre de gravité est donc déterminée par la condition que, si Ton fait passer par ce point un plan quelconque, la somme des produits de chacun des points du système, par sa distance à ce point, est nulle ; car cette distance est une fonction linéaire des coordonnées j:, j^, z de ce point; eu la multipliant donc par la masse du point, la somme de ces produits sera nulle en vertu des équations précédentes.

Cette propriété sert à fixer d'une manière très simple la position du centre de gravité. En effet ^ soient x^ y^ z^ ses trois coor^Pn^^^i rapportées à

Si le corps était assujetti à tourner autour de Forigine des coordonnées ^ les trois dernières équations suffiraient pour assurer l'équilibre.

S^il n'était soumis qu'à l'action de la pesanteur^ on aurait, pour déterminer son centre de gravité, en nommant M la masse entière du corps, et en remarquant que S . dm = M , les équations

S,x.dm S>y*dm ^^^ S.z.dm

Enfin , si le système que Ton considère est composé d'un nombre quelconque de corps solides /n, m', etc., sollicités par des forces quelconques, on cherchera, d'après ce que nous venons de dire, les résultantes partielles des forces qui agissent sur chacun de ces corps, et Von n'aura plus à considérer que des forces de grandeur donnée agissant sur des points liés entre eux d'une manière invariable, dont on déterminera l'équilibre par les considérations précédentes.

I o. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des systèmes de forme invariable ; mais quel que soit le système qui se présente, il est évident que l'on ne changera rien à son état d'équilibre , en joignant par des droites inflexibles les différens points dont il se compose , de manière à rendre invariables leurs distances mutuelles. Les forces qui lui sont appliquées doivent donc, s'il est libre, satisfaire toujours aux six équations générales (7) n* 7, quel que soit d'ailleurs le mode de liaison de ses différentes parties.

Mais ces équations ^ sans lesquelles l'équilibre ne

saurait avoir lieu, ne suffiront plus dans ce cas pour assurer son existence. Les forces qui animent le système de forme variable devront en outre satisfaire à certaines équations de condition qui dépendront de sa nature. Voici comment "on pourra , dans tous les cas , parvenir' à les former de la manière la plus facile.

On observera que Féquilibre du système n'est pas troublé lorsqu'on suppose invariable un nombre quelconque de ses parties; l'équilibre subsistera donc encore en rendant fixes tous les points qui le composent, moins un. On exprimera ainsi les équations d'équilibre de chacun des points du système, en ayant égard à leur liaison mutuelle, et les équations de condition qui résulteront de leur combinaison ou de l'élimination des arbitraires qui dépendent du mode de liaison des parties du système , seront celles que les forces qui le sollicitent doivent remplir pour assurer son équilibre.

Ces considérations générales serviront à faciliter la mise en équation de tous les problèmes que peut présenter l'équilibre d'un nombre quelconque de forces appliquées à un système de fornid variable, quelle que soit sa nature. On en déduit d'une manière très simple la solution de deux questions de ce genre,, fort remarquables, celles de l'équilibre du polygone funiculaire et de la lame élastique. Nous regrettons que les bornes de cet ouvrage ne nous aient pas permis de les développer ici.

constant. On pourra d'ailleurs étendre à cette quantité ce que nous avons dit sur la composition des vitesses ^ dans le mouvement uniforme.

Ces considérations sur les lois du mouvement suffisent pour résoudre toutes les questions relatives au mouvement d'un point matériel sollicité par des forces i quelconques. En général ^ tout problènïie relatif au i mouvement doit avoir d'abord pour objet de doter- ■ miner à chaque instant la position du mobile^ sa : vitesse et sa direction. Ce qu'il y a de plus simple ^ pour y parvenir, c'est d'établir une relation entre les accroissemens de ses coordonnées et les forces dont ils dérivent , en sorte qu'on puisse ensuite remonter, par l'intégration de ces valeurs infiniment petites à leurs valeurs finies^ ce qui n^est plus qu'une question d'analyse. Aussi la Mécanique a-t-elle fait de rapides progrès à mesure que cette branche de nos connais-* sauces s'est développée.

12. Soit donc M un point matériel que. nous regarderons comme entièrement libre ; supposons les forces qui le soUicitent^éduites à trois forces X, Y, Z, respectivement parallèles aux trois coordonnées rectangles XyjTyZy qui déterminent sa position; supposons^ de plus, que ces forces agissent en sens contraire de l'origine des coordonnées, et tendent à les accroître. Les directions des trois composantes X^ Y, Z, étant perpendiculaires entre elles, chacune d'elles est indépendante de l'action des deux autres, et peut être regardée comme si elle agissait seule. Elles auront donc pour mesure la différentielle seconde

de Tçspace qu'elles feraient parcourir séparément au poipt M^ divisée par le carré de 4'élénient du temps, et Ton aura par conséquent

ce sont les équations générales du mouvement du point M ; elles expriment la relation qui doit exister entre les accroissemens différentiels des coordonnées qui fixent sa position y et les forces accélératrices qui les produisent ; elles sufTiseot pour détern>iner à chaque instant toutes les circonstances de son mouvement daii$ respace«

Si ce point est libre , les trois iutégrales premières des équations (A) feront connaître à chaque instant la vitesse dont il est animé, et leurs intégrales finies donneront la valeur des coordonnées Xyj^ z en fonction du temps t. Si l'on élimine t entre les équations d'où ces valeurs dépendent, il en restera deux entre les variables x,jr, 3, qui seront les équations de la courbe décrite par le point M dans l'espace; cette courbe sera généralenïent à double courbure; c'est ce qu'on nomme ïa trajectoire du mobile.

Si le point M n'est pas libre, s'il est assujetti, par exemple , à se trouver sur une surface ou une courbe donnée , au moj|ren de3 équadons de cette surface ou de cette courbe, on éliminera, de l'équation entre jc, ^ et 2 , rés|iltant de l'intégration des équations (A), autant de ces variables qu'il y aura d'équations données, etil ea résultera, entre les forces X, Y, Z, des équations db condition nécessaires pour que le mobile pwase MiHplir tes conditions demandées.

Si le corps était assujetti à tourner autour de Torigine des coordonnées , les trois dernières équations suffiraient pour assurer l'équilibre.

SU n'était soumis qu'à l'action de la pesanteur^ on aurait^ pour déterminer son centre de gravité^ en nommant M la masse entière du corps, et en remarquant que S.dm:=iM, les équations

S.x.dm S»y»dm ^^ S.tt.dm

^ — mT"' ^ = ~m~' * — "nr~*

Enfin , si le système que Ton considère est composé d'un nombre quelconque de corps solides m y ni y etc., sollicités par des forces quelconques, on cherchera, d'après ce que nous venons de dire, les résultantes partielles des forces qui agissent sur chacun de ces corps , et Von n'aura plus à considérer que des forces de grandeur donnée agissant sur des points liés entre eux d'une manière invariable, dont on déterminera l'équilibre par les considérations précédentes.

I o. Nous n'avons considéré jusqu'ici que des systèmes de forme invariable ; mais quel que soit le système qui se présente , il est évident que l'on ne changera rien a son état d'équilibre , en joignant par des droites inflexibles les différens points dont il se compose , de manière à rendre invariables leurs distances mutuelles. Les forces qui lui sont appliquées doivent donc , s'il est libre, satisfaire toujours aux six équations générales (7) n** 7, quel que soit d'ailleurs le mode de liaison de ses différentes paxties.

Mais ces équations ^ sans lesquelles l'équilibre ne

saurait avoir lieu, ne suffiront plus dans ce cas pour assurer son existence. Les forces qui animent le système de forme variable devront en outre satisfaire à certaines équations de condition qui dépendront de sa nature. Voici comment "on pourra , dans tous les cas , parvenir' à les former de la manière la plus facile.

On observera que 1 equililire du système n'est pas troublé lorsqu'on suppose invariable un nombre quelconque de ses parties; l'équilibre subsistera donc encore en rendant fixes tous les points qui le composent, moins un. On exprimera ainsi les équations d'équilibre de chacun des points du système, en ayant égard à leur liaison mutuelle, et les équations de condition qui résulteront de leur combinaison ou de l'élimination des arbitraires qui dépendent du mode de liaison des parties du système, seront celles que les forces qui le sollicitent doivent remplir pour assurer son équilibre.

Ces considérations générales serviront à faciliter la mise en équation de tous les problèmes que peut présenter l'équilibre d'un nombre quelconque de forces appliquées à un système de forme variable, queUe que soit sa nature. On en déduit d'une manière très simple la solution de deux questions de ce genre, fort remarquables, celles de l'équilibre du polygone funiculaire et de la lame élastique. Nous regrettons que les bdrïies de cet ouvrage ne nous aient pas permis de les développer ici.

5o THÉORIE ANALYTIQUE

rélëment da temps, on. a d'ailleurs

ds =2 v^e/or* + ^* + dz^ } ds i=: vdt ^ d'où l'on tire

J^.dszzz'^.S'.dx '{'Y'*J'*djr-+' ^.J^.dsy ds.S'v = i^Si^.dt.

Si dans la première de ces équations on substitue pour ds sa valeur i^dt , elle donnera

Si Ton différencie par rapport à la caractéristique cT l'équatîoh (i), elle donne

OU bien en méditant X, Y, Z, leurs valeuri

Réunissant les deux parties dé la valeur S" . i^ds , on trouve

D'où , en intégrant par rapport à la caractéristique d,^ en tire

^^jifos PS '^ — ■ > ^ ■ ^ -+• constante.

Si l'on suppose fixes les deux points extrêmes de

DU SYSTÈME DU MOSDE. 5i

la courbe 9 les variations S'x^ J^y cTs seront nulles

par rapport à ces points , on aura donc entre ces

limites S'.fvds s= o, et par conséquent l'intégrale

fvds sera un minimum.

Si le mobile n'est soumis à l'action d'aucune force

accélératrice ^ sa vitesse f^ est constante ^ et l'on a

fvds =ivsj en sorte que l'arc de courbe décrit par le

mobile est alors le phis court que l'on puisse 'mener

du point de départ an point ^'arrivée ; et comme les

espaces sont dans ce cas proportionnels au temps , il en

résulte encore que le mobile parvient du premier

point au secondons un temps moindre que s'il était

obligé de suivre toute antre courbe.

Ces r^ultats, très remarquables^ supposent que la

fonction ^dx •+• \djr ^ Zdz, est une différentiélic

exacte. Il existe, dans la nature un cas fort étendu ,

où cette condition est remplie, c'est celui où toutes

les forces ^ccélératricjss-.qui agissent sur le mobile

sont diriges vers deft ççntV^^s fixes, et où l'i^tetisiré

de chacuipie d'elles est un0 looctipp de lu distalicq du

mobile à son centre d'action.

Ea effets si Ton représenter pirP rititensiié d'une

de ces fopces> par a, b, c les coordonnées d H point

fixe vers lequel elle est dirigée ^ par p la distance de

ce point au mobile dont les varioles JOyf, i dé^çr-

minent à chaque instant là position , en sorte qu'on ait

p^z=:{x — ay + ( j — by + {z — cy ,

les cosinus des angles que forme la droite^ avec les

X — a y — If

axes coordomiés seront respectivement

52 THÉORIE ANi^LYTIQUE

- "^ , ou, en difierencîant l'équation prccédeiTte^

-^Ty '£'f'^* ^^ composantes de la force P> parallèles aux mêmes axes , seront donc

S ^ dy"^ dz

On aura, par conséquent , en vertu des actions réunies des forces P, P', P", etc. , qu'on supposera toutes de la meHcie nature que. la force P,

X = S.PJ, Y = 2.P#/ Z = 2.P^.

dx^ dy ' dz

Si l'on makiplte respectivement par dx, dy^ dz ces valeurs ^ et- qu on les ajoute , on a .

T^dx + Y^ + Zdz = 2 . ^dp.

Les forces P, P', etc. , étant fonctions des distances ^, p\ etc. , chacun des termes du second membre de cette équation est une différentielle exacte; son premier membre l'est donc pareillement.

lin'efi serait pas de même si quelqu'une -des forces P, P', etc., était dirigée vers des centres mobiles; dans ce cas, les coordonnées a^ hj €^ deviendraient variables , et la différentielle de dp qui entre dans la valeur de Xdlr+Y^ ^^TAz n'étant plus complète, cette formule xie serait pas une différentielle exacte.

14. Lorsque les forces qui agissent sur le mobile se réduisent à une force unique dirigée vers un centre fixe, le mouvement qui en résulte jouit d'une pro-

priétë très importante dans la théorie du système du monde, et qui se déduit d'une manière très simjde des équations différentielles (A). Elle consiste en ce que les aires décrites autour du centre fixe par la droite menée de ce point au mobile^ sont proportionnelles au temps employé à les parcourir. .

Pour le faire voir, multiplions la première des équatijpus (A) par j^, la seconde par a:, et retranchons-les ensuite Tune de l'autre; nou$ aurons

On trouverait d^une manière semblable lés deux autres équations

— ^ ~ ^ — = (zX — jcZ).dt,)

Si l'on prend pour origine des coordonnées le point fixe vers lequel la force accélératrice P est constamment dirigée, on a X==P.-, Ys?:P,-, ZœP.-;

e n faisant , pour abréger, r = \/x^ •+•/* + s*^ on tire de là ,

a:Y=jrX, zX=^Z, jZ=^z\. {c)

Les seconds membres des équations {a) sont donc nuls , en vertu des équations précédentes , et ces équations donnent, en les intégrant,

xdy—jdoczzzcdty zdx — xdz=:c^dty jrdz—'zdjzzzd' dt , Cf c\ d^ étant trois constantes arbitraires.

SivPpn ajoute ces intégrales après avoir multiplié la première par \z , la seconde par y, la troisième par X, on a

cz -f- ^y "+■ ^'«^ = o ;

équation qui nous montre que la trajectoire décrite par le mobile est contenue dans un plan passant par l'origine des coordonnée^é

Il est aisé de s'assurer que les premiers membres des équations (2) représentent le double de Taire élémentaire tracée pendant l'instant dt par la projection du rayon vecteur du niobile sur chacun des plans coordonnés; cette aire est donc une quantité constante j par conséquent l'aire décrite par les projections du même rayon pendant un tçmps fini < sera proportionnelle à ce temps. La directicm des plans coordonnés étant arbitraire, on peut prendre pour Tun d'eux le plan même de la trajectoire du mobile , d'oii il suit, par conséquent, que les aires décrites par le rayon vecteur autour du centre des forces sont proportionnelles au temps.

Réciproquetïient, si les aires, tracées par le rayon vecteur autour du point fixe, croissent comme les temps , on en peut conclure que la force qui les fait décrire est constamment dirigée vers ce point. En effet ; les équations (2) étant satisfaites d'après cette hypothèse, leurs différentielles, et par suite les premiers membres des équations (â), seix)nt nuls; on retrouvera donc ainsi , entre les forces X; Y, Z et les coordonnées .r, j, z du mobile ; les équations (c) ; 'd'où l^n'tirc

UV • 1- • /<i •*• X 9 "} m m>*

La résultante des forces X> Y, Z est par conséquent dirigée suivant la ligne droite menée do mobile k Tongine des coordonnées.

Les propriétés du mouvement d'un point matériel, que nous venons de développer, sont générales, et s'appliquent à une classe très étendue de forces accélératrices. Nous allons faire maintenant, sur la nature de c^ forces, quelques suppositions particulièi^ , et résoudre plusieurs problèmes qui sont d'un grand intérêt dans la théorie du système du monde..

i5. Proposons-nous d'abord de déterminer le mouvement d'un point matériel sollicité par l'action de la pesanteur-, et qui se meut dans un milieu résistant.

La pesanteur nous offî'e l'exemple d^une force qui exerce une action continue sur les corps qu^elle anime. Elle agit d'une manière semblable sur toutes les moIécules de la matière, soit dans Fétat de repos, soH dans l'état de mouvement , et parait tendre à les attirer vers le centre de la terre. L'action de la pesanteur varie suivant les diiférens points que nous occupons sur le globe, et suivant les distances où nou$ sommes de son centre. Sa direction change avec l'horizon du lieu auquel die est toujours perpendiculaire ; mais comme les courbes que Ton considère dans le mouvement des projectiles ont infiniment peu d'étendue comparativement aux dimensions de la terre, nous regarderons, dans ce qui va suivre, l'action de la pesanteur comme constante, et nous la supposerons dirigée suivant des droites parallèles. La résistance que le mobile éprouve de la part du milieu qu'il traverse dépend à la fois et de

56 THÉORIE A» AtïTIQUE

la densité: de. ce miliçtt et de la : vitesse dont il est ammd*. ^ • »... ... ^

Cela posé , désignons par g l'intensité de la pesanteur,t et par ^ la résistance du milieu> que. nous regarderons commç une force dirigée suivant la tangente à la courbé que le nM>bile* décrit, et agissant £U sens contraire de son mouvement, son intensité dépendant de la vitesse du mobile. Supposons le plan des x et desjf horizontal, et plaçons Forigine des coordonnées au point le plus élevé de la trajectoii'e. Si Ton désigne

par ds un élément quelconque de cette courbe , — ,

^ , ^ , seront les cosinus des angles que foraie sa tangente avec les axes coordonnés , çt la force Q donnera paraUèlement à ces axes les trois composantes suivantes:

fi dx p dy p -dz r» r \ j ^ * j* •

^"d»^ ^•ûT* ^"T* *-^s lorces tendent a dimmuer

les variables x^ jr^ z. L'action de la pesanteur au contraire, qui s'exerce tout entièi^ suivant Taxé des z, tend a augmenter cette coordonnée; en désignant donc par X, Y, Z, les forces accélératrices dont le mobile «st animé parallèlement aux trois axe3 coordonnés, on aura^^

liCS trois équations du mouvenient deviendront

donc

t I Si Tea multiplie la première par (fy, la seconde par dx, el qu'on les retranché l'une de l'autre', on aura

dx d^f 4y ^^

di* dt '^ Tt'di^^'

d'où l'oo tire , en intégrant ,

^ = flo: + *,

a^tb étant deux constantes arbitraires.

Cette équation , qui appartient à une ligne droite , est celle de la projection sur le {)lan des x y y de la courbe décrite par le mobile ; cette courbe est donc entièrement contenue dans un plan vertical. En prenant par conséquent ce plan pour celui des coordonnées a: et z^ on aura généralement ^ = o. Si de plus on suppose y comme on le fait ordinairement^ la résistance du milieu proportionnelle au carré dé la vitesse

dont le mobile est animé, .ce qui donne ^ =^ /». ^,

m étant une quantité qui dépend de la densité du milieu, et qui varie avec elle, les équations du mouvement se réduiront aux suivantes :

d^x da dx d^z ds dz . , x

La première s'intègre immédiatement, et il en résulte

C étant une constante arbitraire et c la base des logarithmes dont le module est l'unité. Pour intégrer la seconde, faisons dz^=^j'4Xf j étant une fonclioa

quelconque de z.; eu difTerençiant ,par rappoit a t, Atfj^ en résultera m

^Substituant cette valeur dans la seconde dçs équa- |^

lions (a), elle se réduit, en vertu de la première, à

dt'Ti ^'

ou bien, éliminant '^^ au moyen de 1 équation (£); et faisant, pour abréger, « = — -^, on aura

Cette équation différentielle du premier ordre donnera, en rintégrant, k valeur de^ en fonction de x\ cette valeur, substituée dans l'équation dz = ydx , fournira une nouvelle équation du premier ordre ïpntre z et or sans t , qui sera par conséquent Féqua^ tion différentielle de la trajectoire.

Si l'on suppose nulle la résistance du milieu, on a 771=0, et leqùalion précédente donne, en intégrant,

y = o,ax •+• h»

Mettant potir^ sa valeur ^, et intégrant de nouveau , on aura

z = ax^ -\» bx ^ h\

h et h étant deux constantes arbitraires.

Celte équation est celle d'une parabole dont le

DU SYSTÈME JW MONDE. Sg

^^^ grand axe est vertical; ce^t la courbe que. décrirait

un corps pesant projeté dans l'espace avec une vitesse

quelconque, si Tair ne lui opposait aucune résistance.

L'équation {b) donne , en supposant m^s^Of et en

, rintégrant , i==:a:.t/— + A:,A: étant une constante

a " ^ ff

arbitraire. Si Ton suppose xzzzo, 2=0 quand ^=0| on aura A=o, A: = o, et par conséquent

d'où l'on tire

j ^^i-gt^ + ài.'^^. (2)

La première de ces équations montre que le mou^ vement est uniforme dans le sens horizontal , et il résulte de la dernière, qti^^ dans le sens vertical, il est le même que si le corps tombait suivant la verticale.

On déduit de ces trois équatiods toutes les lois du mouvement dés projectiles dans le vîde^ Elles coiiiprennent aussi, comme cas particulier, le mouve-* ment accéléré ou retardé d'un corps pesant suivant la verticale. En effet, ci l'on suppose rirtipulsion primitive dirigée verticalement, la parabole, qui résultait dans le cas général d'une vitesse initiale quelconque combinée avec la pesanteur, se change en une ligne droite et se confond avec la verticale. Si le corps part de Fctat du repos, i = o, et l'on a himpîcnicnt

dz ,

6o THÉORIE ANALYTIQUE l

La vitesse croît donc comme le temps, et lespace ^ comme le carré du tiemps. Si Ton imagine un triangle rectangle dont un côté représente le temps, Tautre 2 côté pourra représenter les vitesses; et la surface de ce triangle, égale à la moitié de la base multipliée par la hauteur, représentera l'espace que la pesanteur fait dé- 3 crire au mobile. Si, après le temps f , la pesanteur ces- ^ sant son action , le corps était abandonné à lui--même, ^ U continuerait à se mouvoir uniformément , et décri- j rait, en vertu de sa vitesse acquise, dans un temps égal à celui de sa chute, un espace ^t^ double de celui qu'il a parcouru. Telles sont les lois de la chute des graves dans le vide,, découvertes par Galilée. {

^ i6. Considérons maintenant le mouvement d'un .point matériel assujetti à demeurer sur une surface ou une courbe donnée. Désignons par N la résistance qu'il éprouve dans le sens de la normale de la part de cette surface ou de cette courbe; en ajoutant cette résistance aux forces accélératrices dont il est animé , nous pourrons le regarder ensuite comme entièrement libre, et faii;e abstraction de la surface ou de la courbe qu'il doit parcourir. En nommant donc «3», f , ^, les angles que fait la normale avec les axes coordonnés , les équations du mouvement deviendront

^ = X4.Ncosa, g=:Y.f-N cos^,

^ = Z + N cos j/.

Si l'on ajoute ces équations après avoir multiplié

DU SYSTÈME DU MONDE. 6ï

la première par arfo:, la seconde par ndjr^ la dernière par txdzy et qu'on intègre leur somme ^ on aura