g-jr^ + a
! Oa peut aux arbitraires ç et d substituer les deux itioQ I nouvelles arbitraires a et b^ dout la première répoud Q à la plus graade ^ et la seconde à la plus petite valeur
de z , puisqu'en effet la suppositioa dez=sii^etzc=& donne dz =: o.
Cela posé, faisons
L'expression de dt deviendra
taux par
en faisant pour abréger <«• =s (^^^)>^^^,>
Cette expression intégrée depuis z = a jusqu'à is ;^3 ^, ou depuis or = o jusqu'à a: = i , donnera le temps que le pendule emploi^ à faire une demi-oscillation. Nommons \ T ce temps , développons en série la
fonction (i — a*x')- • ce qui donne
Multiplions chacun des termes de ce développement
par — , et intégrons ensuite ; nous aurons
x[t+(i)-. a-+(i^^)' ^*+^(i^^)'.«-H-... etc.],
ir étant la demi-circonférence dont le rayon est l'unité.
Si , lorsque z^sih y on suppose nulle la vitesse du mobile, ce qui revient à prendre le commencetnent d'une oscillation pour origine du mouvement, on aura c= — ^g^f </î=o, ce qui donne û> = constante; c'est-à-dire que le mobile oscille alors dans un plan vertical : les équations (o) donnent ensuite
ûrzrr; d'où a^= — > — . L'ordonnée z divisée par r
exprime le cosinus d^ l'angle que forme le pendule avec Taxe des z ; le cosinus de son plus grand écart
de la verticale sera donc -, et la fraction "^ exprimera le carré du sinus de la moitié de cet angle ; la durée totale de l'oscillation sera alors
T=,v^D+e)'-(^)+(^)x^ov
+(mym+^-']
Si le pendule s'écarte peu de la verticale, — — est
une très petite quantité que l'on peut négliger; ou aura donc, dans ce cas,
La durée des petites oscillations est par conséquent indépendante de leur amplitude ; ces oscillations sont donc isochrones ou de même durée, quelle que soit leur étendue , et cette 'durée ne dépend que de U longueur du pendule et de l'intensité de la pesanteur.
L'expression précédente de T donne le moyen de^
déterminer, àTaide du pendule, les variations de la pesanteur dans les divers lieux de la terre , d^une manière beaucoup plus exacte qu'on ne pourrait le faire par des expériences directes sur la chute verticale des corps. En effet, en l'élevant au carré, on en tire
gz= — ; g représentant (n° i5) la vitesse que la pesanteur imprime aux graves, ou le double de l'espace qu'ils parcourent dans la première seconde de leur chute. Eu faisant donc osciller un pendule de longueur donnée r pendant un intervalle de temps connu, on aura la valeur de T en divisant ce temps par le nombre d'oscillations du pendule, et l'équation précédente, dont le second membre sera entièrement déterminé, donnera la valeur de g ou de l'intensité de la pesanteur. A Paris, la longueur du pendule à secondes, me^ sure avec beaucoup d'exactitude, est de o"*,74i887î on a de plus ^* = 9 . 8696 , ce qui donne g = 7^,522 1 4 J d'où il suit que la pesanteur y fait tomber les corps de 3"*,66i07 dans la première seconde. Des expériences précises ont montré que celte valeur est la même, quelle que soit la substance dont est formé le pendule que l'on fait osciller ; il en faut conclure que la pesanteur agit également sur tous les corps de la nature dans un même lieu de la terre, et que, par conséquent, sans la résistance de l'air, elle leur imprimerait à tous, dans le même temps, une vitesse égale. Quant aux variations de la pesanteur sur les différens parallèles, on observe que son intensité diminue en allant du pôle à l'équa-^ teur; et la variation totale qu'elle subit entre ces deux point3 ç élève h environ 77^ de sa valeur moyenne,
1 8. Nous venons de voir que l'isochronisme des oscillations du pendule circulaire n'a lieu qu'en supposant leur amplitude très petite; il est curieux de déterminer quelle est la courbe sur laquelle un corps pesant doit se mouvoir pour arriver dans le même temps au point le plus bas, quel que soit l'arc qu'il ait décrit depuis son point de départ. Pour résoudre cette question, plaçons l'origine des coordonnées au point le plus bas de la trajectoire; nommons ds un quelconque des élémens de cette courbe , et désignons toujours par g l'action de la pesanteur. La force accélératrice , le long de l'arc de la courbe , sera la pesanteur décom-posée suivant sa tangente ; elle sera égale y par consé-
dz '
quent, à g^-jr* Cette force tend à diminuer l'arc s
que nous supposons compté, ainsi que z, du point le plus bas ; on aura donc
dt' "~ '^ ^''ds'
Si l'on multiplie les deux membres de cette équation par ads, et qu'on intègre, o^ trouve '
ds^ ^^:=C^2gz;
c étant une constante arbitraire.
Soit h l'ordonnée du point où le mouvement commence, et supposons nulle en ce point la vitesse du mobile; on aura cz=3 2gk, et l'équation précédente, résolue par rapport k dt, donnera, en observant que
DU SYSTÈME DU MONDE. nS
'il'.
uti
Jarc s diminue quand t augmente.
ou bien , en développant le radical du second membre ,
Quelle que soit la nature de la courbe cherchée, s e$t une fonction de s, et Ton peut supposer que cette fonction développée et différenciée ensuite ^ donne
-J- z=z azf + hz^ + etc.
En substituant pour ds sa valent dans l'expression de dty on aura
— etc.
Si Ton intègre cette expression depuis s=/i jusqu'à 2 = 0, on aura le temps que le mobile emploie à parvenir au point le plus bas. Ce temps, d'après les conditions du problème , doit être indépendant de la hauteur h dont le corps est descendu, ce qui exige que l'on ait i-f" i =î^ et que tous les termes de la valeur de dt soient nuls, à l'exception du premier. Or, il est évident que cette condition ne peut être
,6 THÉORIE AWÂLYTJQUE
satisfaite à moins de supposer 6 ?= o , etc. ; Féquatiba différentielle de la courbe tautochrone devient donc ainsi ♦ 3
ds =: az'^^dz; I
d'oùTon tire, en intégrant, s = 2az», équation d'une cjcloïde à base horizontale. La cycloïde est donc la .. seule courbe tautochrone dans le vide.
Soit r le double du diamètre du cercle générateur' de la cycloïde , ce qui donne , d'après les propriétés connues de cette courbe, rs=:2a% et substituons la
valeur de ds dans l'expression (/^) de dt ; nous aurons
dts=z — i . t/? , . ^. ; d'où l'on tire , en intégrant ,
-.y/^.arc.(cos=-5j-)
Nous n'ajoutons pas de constante , parce que nous supposons que Ton compte le temps t de l'origine du mouvement, ce qui donné ^ = 0 quand z=:h.
Si Ton nomme j.T le temps que le mobile emploie à descendre au point le plus bas de la courbe, z étant nui en ce point, on aura
T = \/r.arc.(cos = — 1)5=^.^-.
Le temps de la chute par l'arc de cycloïde est donc égal à la demi-oscillation du pendule, dont la longueur serait r, et dont l'écart de la verticale serait
rcs petit. C'est ce qui doit résulter ea effet de ce quau point le plus bas l'arc ds de la cycloïde se confond avec. Tare infiniment petit du cercle osculateur dont le diamètre est vertical et égal à sr.
II est uD autre problème du même genre que celui que nous venons de résoudre ^ et qui a long-temps exercé la curiosité des géomètres du dernier siècle, c'est de déterminer la courbe que doit suivre un corps pesant pour parvenir d'un point donné à un autre dans le temps le plus court. Us ont trouvé que cette courbe , qu'on a nommée brachjrstochrone ^ ou ligne de plus vile descerUe, était une cycloide dont l'origine était au point le plus élevé.
19. Après avoir considéré le mouvement d'un point matériel dans les trois cas qui peuvent se présenter^ c'est-à-dire lorsqu'il est libre , et lorsqu'il est astreint à demeurer sur une courbe ou une surface donnée , nous allons^ pour terminer ce chapitre, résoudre une question très importante dans la théorie du système du monde. Nous nous proposerons de déterminer l'attraction qu'une couche de figure sphérique exerce sur un point situé dans rintérieur ou à l'extérieur dé sa surface ^ en supposant cette action en raison inverse du carré dei^ distances.
Soit a la distance du centre de la couche au point attiré ; si l'on joint par une droite ces deux points, il est évident que tout étant symétrique autour d'elle, l'action totale du sphéroïde sur le point attiré «era nécessairement dirigée suivant cette ligne. Nommons dm l'un quelconque des élémens du sphéroïde, et
la
•j8 THJÉORIE ANALYTIQtJE
soit\f sa distance au point attiré; -y- exprimera raC-
tîon que Tçléinent dm exerce sur ce point suivant la
droite y, et en nommant ^ l'angle que forment entre
elles les deux droites f et a, -^.cosy sera la com- ^
posante de cette action parallèle à cette dernière droite. \ Soit donc A l'attraction totale que le sphéroïde exerce j sur le point attiré^ on aura
Ardm ^ =y — .c)os>;
le signe intégral se rapportant à l'élément dm et j aux quantités qui varient avec lui, et. devant être étendu à la masse entière du sphéroïde.
Cela posé, soît rie rayon mené du Xîentre du sphéroïd<^ à rélément dm, 8 l'angle que forme ce rayon | avec la droite a, et c» l'atigle que forme le plan pas- j sant par ces deux droites, avec un plan fixe quel- j conque passant par la droite a. L'élément dm peut être considéré coûime un petit parallélépipède réc*tangulaire dont tes troip dimensions sont dr, rdQ et rsinèdi» ; en supposant donc, pour plus de simplicité, la densité du sphéroïde constante > et égale à l'unité , on aura dms^i^dr d^ d€ù sin Qj on aura ensuite > en considérant le triangle formé par les trois droites a, f, r,
y**s=:4^ — torcosfif»+*/^?, cos^=s=> -p
L^expression précédente de A deviendra donc ainsi
A =^ fr* drdc^ ^ sin d. ^ ^^J-j^^^- .
/ DU SYSTÈME DU MONDE. 7g
^7 Pour étendre la valeur de A à la masse entière de la couche, il faut intégrer, !*• par rapporta r, depuis la valeur de ce rayon à la surface intérieure, jusqu'à sa valeur à la surface extérieure; 2*. par rapport à où^ depuis o) = o jusqu'à cù égal à la circonférence ; 3®. enfin relativement à 6, depuis fl = o jusqu'à 0 égal à deux angles droits.
On peut donner une autre forme à l'expression précédente. En effet, si l'on différencie par rapport à a la valeur de y, on a
df a — rcosâ da"^ f
on aura donc
ou bien , comme les variables r, o; et 6 sont dahfes àe a, •
> j f^r* dr dit d6 sm 6 A — J S
indépen-
d*oti il suit c}u'on a:ura ^'actioin entière du sphéroïde sur le poiiit attiré, en différenciant, par rapport ka^
l'intégrale r — - — ^ — î^, et en divisant sa diff^-^
rentielle par da.
Faisons, pour abréger^
Y Çr" dr dtf M sîn 9
Si l'on intègre cette formule par rapport à cù , depuis
8o THÉORIE ANALYTIQUE
cûsszo jusqu'à €0 =3s :k7r, tt étant la demi--circonfë-» ^ rence dont le rayon est l'unité > on aura ; P
^r /*r* dr de sîn 9 V =.2^« / — ; ^ ^
Four intégrer maintenant, par rapport à 0, remarquons que la valeur de jf différenciée relativement à cette variable , donne
rffl sîn 6 t Y /.
d'où il résulte, par conséquent,
\=:^.frd,df.
L'intégrale relative [à 6 doit être prise depuis 0 = o jusqu'à 9=^j à ces deux limites on a f^z=:.{a''^r)* et y* = (« + r)*, ce qui donne , en remarquant que/ doit toujours être positif, f^^^r-^^a et /= « -f- ^> dans le cas où l'on a r>û, c^est-à-dire dans le cas où le point attiré est placé dans l'intérieur de la couche sphérique ; /* == a — r et /* = <ï + r, dans le cas où l'on a r«<fl, c*est-à-dire aans 1q xiaô où le pain t attiré est extérieur au sphéroïde. Ainsi , dans le ^premier cas on aura ,
V = fyrr.frdr, et dans le second
La différentielle de V, prise par rapport à «, et divisée par cfe, donnera, comme nous ï'àvons vu, en
DU SYSTÈME DU MONDE. Si
changeant son signe ^ rattraction du sphéroïde sur le point attiré ; or, la première des formules précédentes étant indépendante de a , donne
d'où il faut conclure. çrtt'^/i point placé dans t inférieur {Tune sphère creuse nen éprouve aucune action^ ou, ce qui revient au même, qiiil est également attiré de toutes parts^
La seconde des mêmes formules, différenciée par rapport à a, donne
Soient / et /' lés rayons des surfaces intérieures et extérieures du corps attirant ; en intégrant l'expression précédente depuis /'= /jusqu'à r=r, on aura
c^est la mesure de la force attractive qui agit sur un point extérieur au s^éroïde, suivant la droite a. Mais , si l'on désigne par M la masse de la couche sphérique dont l'épaisseur est /' — /, M sera évidemment égal à la différence des deux sphères dont les rayons sont / et /'; on aura donc
et par conséquent
