Tome L
donc aller en augmentant des pôles à ré({uàtetrr, ef elle tend à diminuer de plus en pliis 1 action de la pesanteur. On a trouvé , en réduisant en nombres l'équation précédente, que le rapport de la force centrifuge à la pesanteur qui aurait lieu si la teri'e était supposée immobile , était à lequateur égal à fort peu
près à f — rj. En sorte que si le mouvement de rotation de la terre était 17 fois plus rapide, la force centrifuge serait égale à la pesanteur, et les corps^ resteraient en équilibre sous l'action de ces deux forces à Téquateur.
1 7. Nous allons considérer maintenant , comme une application intéressante <^es forniules générales (A) , le mouvçmént d'un point matériel pesant dans l'intérieur çl'une surface sphérique. .
Nommons r le rayon de la sphère, et fixons à son ccrntre Torigine des coordonnées; l'équation de la surface sur laquelle Iç mobile est fqrcé de^-esler, et que nous avons représentée généralement par L=a„ deviendra , dans <:e cas ,
**+/*H-^* — r» =5= Oy
et Ton aura, par conséquent,
dL ^__^ X tlL y dh z
ce qui donne
K=5I^ COSâts=:-, GOs€ = ~^ COS> = -.
La pesanteur étant la seule force accélératrice qu'on suppose agir sur le mobile^ on aura X=:q^ Y = o> 2 = g^, et les équations générales du mouvement (A) donneront^ par la substitution de ces valeurs^ les trois suivantes :
à^'x IV * ^'y — ^ y ^'' — TV "^ -J- /y fTK\
Si l'on multiplie respectivement ces équations par idx^ 2d)r, 2dz, qu'on Jes ajoute^ et qu'on intègre leur somme en observant que l'équation de la sphère donne, en la différenciant,
xdx +jdjr -|^ zdz =; o, (i)
on aura pour déterminer la vitesse dont le mobile est animé
c étant une constante arbitraire.
Là vitesse du corps est donc la même que s'il était tombé verticalement de la hauteur z, ce qui est conforme à ce que nous aVods dit n® 16.
Déterminons la pression que le mobile exercé contr^ la surface. Pour cela, nmltiplioris les équations (B), la première par x, la seconde par^, la troisième par z; ajoutons-les ensuite, en observant que l'équation de
la sphère donne jc* "f-^^-f- ?* == ^> nous aurons
L'ëquation de la sphère difierénciée deux fois y domie
xà^x ^ yd^y + zd'z ^ ^ d^jc^ + tfy* 4- fl?»* rf^ ~ dt"^
L^cquatîon précédente donne donc^ en vertu de lequation {p) ,
U nous reste à connaître à chaque instant la situation du mobile sur la surface qu'il parcourt. Pour y parvenir, observons qu'on obtient aisément une nouvelle intégrale première des équations (B) ; en effet , si l'on multiplie la première par j'y la seconde par x y qu'on les retranche l'une de l'autre , et qu'on intègre l'équation résultante, on trouve
ydx — xdyzsic.dty (5) .
d étant une constante arbitraire.
On a donc entre les variables Xyjy z, et /, les troi*; équations différentielles du premier ordre (i), (2), (5;; il ne s'agit plus par conséquent que d'intégrer ces équations pour déterminer les coordonnées du mobile en fonction du temps. La première a pour intégrale l'équation de la sphère; les deux autres^ il est vrai, ne sont pas intégrales sous forme finie , mais on parvient aisément à séparer les variables, et l'intégration est k*amenée aux quadratures.
En effet si , après avoir mis l'équation (i) sous cette forme xdX'^jdj — : zdzy on^ielève au carré, ainsi que l'éqUation^S), et qu'on les ajoute ensuite, on trouve
Sul>stîtuoQs pour X* +7"* sa valeur t^ — «', et pour — , '■■ , sa valeur ag'z-f-^?— ^ , nous aurons une équation entr^ z,dz,dl, d où il est aisé de coi:iclure ^
dt
Nous donnons au second membre le signe — , parce que le corps étant supposé s'éloigner de la verticale, z diminue quand i augmente.
Cette formule donnera, en l'intégrant par approximation , le temps i en fonction de z , et réciproquement z en fonction de /•
On connaîtra ainsi à chaque instant le plan horizontal dans lequel se trouve le mobile ; il suffira donc , pour assigner sa position sur la sphère , d'avoir un second plan sur lequel il doive se rencontrer dans le même instant.
Pour cela, soit cû l'angle que forme le plan vertical qui passe par le mobile et le centre de la sphère , avec le plan vertical des x et des z ; on aura
a: =s V^/^ — a'.cos«, jr^si y/r* — z*.sinô),
d'où l'on tire
xdjr — jrdx =? (r* — z').d(».
L'équation xdj'-^ydx = c\di donnera donc ainsi
, c'.di
:o THÉORIE ANALYTIQUE
SI l'on 3ubstituç pour dt sa valeur précédente en z, et qu'on intègre ensuite par approximation l'équation résultante, on aura l'angle cû eu fonction de z. On connaîtra ainsi pour un instant quelconque les>deux variables z et œ , et lai position du mobile sera par conséquent entièrement déterminée.
Au lieu de supposer que le point se meut dans l'intérieur d'une surÇace sphérîque , on peut imaginer qu*il soit suspendu à Textrémité d'un fil inextensible dont l'autre extrémité est fixe, et dont la longueur est égale au rayon de la spbère : les mouvemens dans les deux càsserontparfaitementles mêmes. Le fil etlepoint qu'il supporte forment alors un pendule simple , et l'on nomme demi-oscillation le temps que met le mobile à revei^ir de la plus petite à la plus grande valeur de z. On en déterminera la durée en développant en sérîe l'expression de dtyet en l'intégrant ensuite entre ces limites.
Pour y parvenir, reprenons la valeur de dt, et supposons
En comparant dans les deux membres les coefficiens des mêmes puissances de z, on aura pour déterminer a, b, k, ces- trois équations :
