CHAPITRE IV

Du Moui>ement ctun système de corps.

:20. Jusqu'ici^ les corps dont nous avons déterminé les mouvemens ont été regardés comme des points matériels > et nous avons vu que la force motrice avait alors pour mesure la vitesse qu'elle produit dans un temps donné, divisée par ce temps. Mais, lorsqu'on veut comparer entre elles des forces qui agissent sur des corps différens , il n'est plus possible de faire abstraction de leur nature, et leurs masses doivent entrer nécessairement dans l'évaluation des forces qui les sollicitent. Considérons en effet un corps que nous supposerons se mouvoir en ligne droite^ comme un assemblage de points matériels qui forment lés élémens de sa masse ; tous ces points seront animés de vitesses égales dirigées suivant des droites parallèles ; les forces qui les produisent seront donc aussi égales et parallèles, entre elles, leur somme représentera la force totale qui agit sur le mobile ; d'où il« suit que cette force est égale à la masse entière du corps, multipliée par la force qui anime chacun de ses élémens. Si le mobile se meut uniformément, la vitesse de chacun de ses élémens est constante , et peut représenter la force qui la produit; ainsi, les forces

dont TacHon est instantanée ont pour lïiesure le produit de la niasse par la vitesse du corps sur lequel elles agissent. Ce produit est ce qu'on nomme la quantité de mouvement du corps y parce que c'est en effet la somme des mouyemens de toutes les parties matérielles qui le composent. Si le mobile se meut d'un mouvement varié quelconque, la force accélératrice qui sollîcitef chaque élément de sa masse est représentée par la dîflerentielle de la vitesse, divisée par l'élément du temps; les forces qui agissent d'une manière continue sur un corps matériel, ont donc pour mesure le produit de la masse du mobile par l'élément de la vitesse qir^elles lui impriment, divisé par l'élément du temps:. Ce produit est ce qn'ort nomme spécialement ^^/ve motrice; on réserve le Hom àe force accélératrice à celle qui agit sur l'unité de masse. Cette même quantité prend le nom de près-* 5I072 quand la force motrice agît sur un corps qui se trouve arrêté par un. obstacle, et qu'elle ne produit qu'une simple tendance au mouvement.

Lorsque l'on considère dans l'état de mouvement plusieurs corps liés entre eux d'une tnanière quelconque , on voit que le mouvement de chacun d'eux dépend à. la fois de la force qui le sollicite, et Ae la réaction que les autres corps du système lui font éprouver. 11 suit de là qu'en général aucun de ces corps ne prend le mouvement qu'il aurait , s'il était libre , en vertu de l'impulsion primitive qu'il a reçue, et des forces accélét'atrices qui l'animent. Il faut donc connaître les variations que ce mouvement subit par la liaison du corps au système dont il fait partie, pour

déterminer le mouvemeatréel qui doit avoir lieu. Cette appréciation délicate a long -temps emban'assé les géomètres, et ils s'étaient contentés de résoudre cette difBciilté -dans quelques cas particuliers, par des considérations trop restreintes pour rien apprendre sur les lois générales du mouvemctit, lorsque d'Alembert établit le premier un principe applicable à toute espèce de système , quel que soit le mode de liaison des parties qui le composent, et propre à rendre facile la mise en équation de tous les problèmes relatifs à ses mouvemens« Voici l'énoncé de ce principe.

« Si Ton imprime aux différens corps d'un système des mouvemens qui se trouvent modifiés par leur liaison mutuelle, il est clair qu'on pourra regarder ces mouvemens comme composés de ceux que les corps prendront réellement, et d'autres mouvemens qui sont détruits; d'où il suit que ces derniers doivent être tels que les corps du Système animés de ces seuls mouvemens se fassent équilibre. )>

Ce principe a également lieu, soit que le mouvement soit produit par des forces qui agissent instant^anément sur les corps, ou par des forces dont l'action est continue; et toutes les questions de mouvement peuvent ainsi être réduites à de simples questions d'équilibre. Cette manière de ramener les lois de la Dynamique à celles .de la Statique , imaginée par d'Alembert, est extrêmement ingénieuse; mais la difficulté de déterminer les forces qui doivent être détruites , et le;5 conditions d'équilibre entre ces forces, rendait souvent l'application dç son principe embarrassante. Pour éviter cet inconvénient, les géomètres >

qui se sont empressés de Fadopter^ Tout modifié d'une

manière heureuse en l'énonçant ainsi :

: « Si Ton impriïue à chaque corps d'un système un mouvement égal^ inais dirigé en sens contraire de celui qu'il doit prendre ^ le système entier sera réduit au repos ; par conséquent il faut que ces mouyemens détruisent ceux que les corps, avaient recus^ et qu^ils auraient suivis sana leur liaison mt^luelle. Ainsi , il doit y avoir équilibre entre ces dijQerens mouvemens^ ou entre les foixes qui peuveût les produire. »

Ce second énoncé du même principe a l'avantage d'éviter les décompositions, de mouyementque le premier exigeait, et d'établir immédiatement réquililn^e entre les forces qui agissent sur le système , et qui sont les données du problème , et les mouyemens engendrés qui ea sont les inconnues. Nous avons donné, dans le chapitre deuxième, les conditions d'équilibre d'un nonibre quelconque de forces appliquées à un système de forme arbitraire } il suffira donc d'y introduire les forces qin apiment le système , et les mouyemens qui en résultent ^ pris dans des directions contraires, pour fonuer les équaticms de son mouveinent. Ces équations, jointes ai\x conditions dépendantes de la nature du système, fourniroùt toutes les données né» cessaireâ à la déterminatiqn du mouvement de chaque corps, et il ne r^estera qu'à intégrer ces équations, ce qui n'est plus qu'une simple question d'analyse.

21. Ces notions admises, considérons un système de corps réagissant d'une manière arbitraire les uns sur les autres, et sollicité^ par des forces accélératrices quelconques.

Soient rtîy m\ ni'., etc.^ les masses des differens corps du système ;x,^, Zp x'pjfff. z[p etc^, les coordonnées rectangalaires -qui déterminent leur posilicHi respective; soient X, Y, Z, les trois forces accélératrices qui agissent sur l'unité de la maiteie m, parallèlement aux axes de ses coordonnées ; mX, itiY^ mZ^ seront ksibrcesc^ui^sotiiciteat le corps* 1» 4ans la même direction. &>ieiit nfS^% -mT, niTÀj les fix^ees qui sc^lidtettl 711^ parallèlement am mêmes axes , et. ainsi desuite ; désigaonsrpar/ le temps dont nous supposerons Télément dt constant. Les vitesses qui animent le corjps m, à la fin: d'mf instant quelconque, seront

représentées par -j- , —, -j-'; lès forces qui' le soIK-

ckent, suivant les axes des >r^ ^^J^ ^^ ^.^f.,^^^^:

donc ^^9 ni -^p ^^f ^ ^^^ fowfésj e» veatude

Faction des forces accélératrices^ deviendroiif, dans l'instant suivant ,

/w.^+wîX.Î/f, m»'4:'^TnS. .dtf m.-r-'^itJ^^dt.

Mais les accroîssemens véritables que prend |)araUèlement aux axes coordonnés la vitesse du corps m , à cause de Sa liaison avec lès autres parties d^ système,

et qu'il S'agit de déterminer^ sont -^ , -^ , -^ î les

forces motrices efiectives qui sollicitent le corps m , à la fin de lllistant di, sont donie

"''Tt'^'"^-dr' '"•A+'«-A' '"•5r+'"-5r-

SS THÉOME ANA;LÏT1QUE

En supposant donc les trois premières forcés appUq'uées aU' corps m, en sen$ contraire de leur direction^ lê^ ft>rë<3s mcÂi^ices qui agissent sur ce corps seront

m,(^^Xéc),. ^.(^^Y^)r ^'.(S-^^y (A)

en marquant successivem^Ql d'tui Sicomtf de deux acceng/ek,^ les lettre; m:f^:»;;jr^\z^^j:\^^ Z, on aura • les expressions des tptcè^ sepiblablea qui prpr* , viennent des Variations du- xyipQt^jaf^t 4o chacuà des corps W, wi"> elc» .'

Or, ea vertu du principe de d'Atombert, le système entier ctst en équilibre sôus l'action de toutes ces forces réunies; il suffit donc, pour exprimer cette condition, de substituer leurs valeurs dans les six équations générales du n? 7. ' En remplaçant ainsi respectivement par les forces (A) les trois composantes Pcosfl, Pcôsî, Pcosc/on aura

Telles sont les équations ida n^ouvement d'iln .sysrtème quelconque de corps m, m% m'\ etc., qui ne contient aucun point fixe. Si quelqu'un de. ces corps était astreint à se mouvoir sur une surface ou une

<^ I (ïourbe donnée^ en. comprenant pan^^iî les îfjvces qui lui sont appliquées la îrësistance qu'il ëprotiye de la, part de cette «urface ou de cette courbe, on pourrait le regarder ensuite comme entièrement libre» et leg équations précédentes seraient encore^ dans ce casy celles du mouvement du sy$tème,

23. Les six équations (B) renferment plusieurs principes généraux de mouvemeiit que nous allons successivement développer. Faisons d'abord abstraction des trois dernières.

Si l'on désigne par x, y, z, les trois coordonnées ^u, centre de gravité du sjstèn^e de corps m^m!^ rri^ ètc.| on aura, U** 8,

d OÙ l'on tire, en différenciant dçux fois par rapport à t.

- d*x . dy d^z

d'x di* d^Y dV" d'^ dt^

dt* S.77i ' dù^ 2./71 ' dt* X.m *

On aura donc, en vertu des trois première^ équa-r tions (B),

IF 2 m ' '^ 2. m ' ST» 2.//* ' ^-^

c'est-à-dire que le centre de gravité du système so meut dans l'espace comme si toutea les ma^s m, m', w!\ etc. , y étaient réunies , et comme ^i toutes les forces qui sollicitent ces corps lui étaient directe-» nient appliquées.

Si raction mutuelle des différens corps du'syslèine est la seule force accélératrice qui agit sot ces corps , les trois quantités X.mX^ Z.7?iY^ X,mZ, seront nulles. Il suffit^ pour s'en convaincre , de considérer que, dans la nature, l'action devant toujours être égale à la réaction, la somme des actions et des réactions qu'un nombre quelconque de corps exercent les uns sur les autres Èe réduit nécessairement à zéro. Eu effet, désignons par t Faction qu'exerce un élément dé ia massé* ffi sur un élément quelconque de m!: quelle que soit la nature de cette action , mlP sera la force accélératrice dont rn esf animé par l'action de m' ; en nommant donc p la distance mutuelle de ces deux çorps^ on aura , en vertu de cette action seule,

^^m'P.ji^'^x) ^^m%{y—y) ^^m'I^.jz'-z) P ' P ' P '

L'action de m sur m' donnerait de même

d'où Ton conclura '

/wX+m'X'=o , mY+m'Tz^o, mZ+m'Z'= o.

On trouverait des équations semblables en considérant les actions rédproques de m et m", de m' et m", etc. Si le système n'est sollicité par auctme force étran-* gère , on aura donc