rh^ == (C + 2^ (a: , /, z , x', y, z', etc

Cette ^sqîiation. est semblable à celle qne nous a'tons troayée ti^iS^ en considér^ivit le 'motrvement d\in point matériel isolée elle conduit à des résultats anaklgués.

' • On appelle ybrce vwe d'uni corps le produit de sa maMe pav le carré de 9a vitesse, fl résulte de Téquation précédente que si le système que Ton considère n'eut sollicité par l'action d'aucune force accélératrice > ta somme des forces vives des oprps qui te composent. Ou la force vive totale du système est constante, et que , s'il est sollicité par des forces quelconques, Faccroissement de la force vive du système, en passant d'un point i un autre , est indépendant des courbes

DU SXSTÈUR m .womE. 99

décrites jlair ces cBfierena corps; éoelL MiQCt$meajtent est nul , et la force vive tptale redevient la méiné toutes les fois que te système reprend la inêtbe po^on. Ce théorème o^nstitue la loi de mouvement qu'on a nonlméè principe de la coriseivatibn des forces vitres. |L'éqttation (^), d'où l'on déduit le principe que nous venons d'établir ,. suppose que la fonction

2./72.(X£i!r + Y^*-r ^^^) ^^^ une différentielle exacte. Cette condition est remplie, ainsi que nous ra.vons fait voir n"" 1 5 ^ lorsqtie les composantes X^ Y, Z^ etc., proviennent de forces attractives dirigées vers des centres fixes ^ et représentées en intîènsite par dès fonction^ de leurs distances à ces centres. ÉUe Iç serait encore si ces compostantes résultaient de Tattraction mutuelle des dîfférens corps du système^ cettie attraction étant supposée s'exercer proportionnellement aux masses, et suivant une jfouction quefconqnç^de la distance*.

Ppur le faire voir, soil^ la; distance des deux corps m et m! du système , en soiie qu'on ait

p-^(x'—xy+{f^jrY^^(z'^zy.

Soit P, une fonction donnée de p , représentant l'action réciproque de deiUxélémens des masses m et m', cette force étant dirigéje suivant la droite qui joint ces points ;./»^F sera la force accélératrice de m provenant de Faction /w'; mP, la force accélératrice de m! provenant dé Faction m. La première donneka suivant les axes des x, des jr et deë z les trois composantes

^^^'di' '^'^^'dy' ~/lllf,-g.

100 THÉMIE AHAtJTlQUE

La seecm^ 168 trois €Qmpo8a&U8

En nç Gonsidérant donc que laction mutuelle de m et m^^ on aura

quantité quî est une différentielle complète , puisque P est fonction êk p. ' \

Ainsi réquation (^)y et' le principe des forces yives que nous en ayons déduit, ont Hcù dans le mbtiye<^ ment de fout système de corps souiAis a leurs actions mutuelles et à des. attractions dirigées yèrs des centres fixes, ce quî comprend à peu près toutes les forces de la nature.

25^ H nous teste à démontrer une derrière loi générale qui s'obserye dans le mouvement d'un système de corps , et qu'on a nommée prindipe de la moindre action. Pour cela , reprenons Téquaticm (p) ; en la différenciant par rapport à la caractéijistique J", on aura

Mais si après avoir multiplié lés Â|ttations (»i)> la pretnièrè par J\r, la seconde par jy, la trôilsièifie par /z/et afttsi de shite, on les ajoute^ en trouve

Partant ,

DU StSXÈME DU UOSIBÈ. f"

Soient^if réléroentde la«onrbe décrite par m, ds' rélement-dè la coarbe décrite par m% etc., on aura

»iù ss ds, ds =s Vdx* 4- dr^ 4. d»*,

v'dtamds', ds'=a \/daf' -h dy* -#*• €^t etc.

Par conséquent

Mais en difEerendant- T^xpressioa de ds^ on a

Et ecMxinie J|e$ car^cti^ri&âques . «T et d w^fat indép^nn dantes • .

SviHf : rfdV !s± 2 . m.— =-- — d ' — ^l

AjQaton%lesd(nix éqiiatitinas (a) et (i), .«uxemiorquant que

on aiira ■

et en intégrant^ ce qui revient à supprimer la caracteVistique </ devant la parenthèse.

1 o!i ntORIE ANALtTfQCJE

Les poipis extrêmes des courbes décrites par les corps du sys&ine étant supposés fixes ^ \^ valeurs de Sx$ Jjr, J^ {^ tfy taffottimtf sofai égales à zéro; en a donc alors

l,.^,fmvd$ = o;

c'est*-à-dire que la fonction S • fm • vds ou Z . fm . i^dt est un minimum f ce qui constitue le priddpe de la moindre action dans le mouvement dVn s^stèine de corps. Ce prnidpe , qû'iDti avait lorij^-tênJps^dieFclié à déduire de considérations métaphysiques , résulte directement ^ comlmè bif "vpit , deH equàlions çKfféren-* tielles du mouvement, et Ton .peut Ténoncer ainsi : la Édimmé des fSiFcè^ vives iPHn systèin'ë âe corps /pendant le temps qu'il emploie à passer d'une position ï une autre, est im minimm^ Si les corps^ ne sont «ouatés ft^ aucune force accélératrice , la force vive du sy s-^ tème, pendant un teknpsdétenriiné', est prbpôffionnelle à ce temps; le système parvient donc alors, d'une posi* ticm donnée k ùnê autre > 4an# lé teAip» le plurimirt;

36. Nous avons, jusqu'ici , regardé comnie fixe l'origine lies coordonnées auxquelles nous rapportions la position des corps du système, dont nous considé-^ rions les mouvemens; mais il est aisé de démontrer que le principe de la conservation des aites , celui de la conservation des forces vives, et celui de la moindre action , aurai eut encore lieu en supposant k cette ori-^^ gine un mouvement réctlligné et tmîformé dans Tesi-^

pu SYSTÈME DU MONIffi. t«3

pace«.£ii^ffety soient x, y, t.^ les <xx>idoiMgii^4s9 /Q^tt^ origine mobile» par rapport k un point invariable quelconque , pris pour l'origine des cùotàqpnjtes x ^ y> «f ^^y^ «te-; » Ton désigne par a:,, 7,, «,^ ^^, y^ , 1:'^ > etc., les coordonnées des corps m, Wif^jaf^ettfJ^ relatives à la première origine t. on avfat ^

etc.

Différçqcions deux fois ces yakocs^vet f«èaâti«Miis les valeurs raBiiltaiites dans les six ë(]i|iitiiMfli{B)«il^ trois premières. de vieiidi[V>nt .; j ^i^;' tr- i:./î

Mais> en vertu du mouvement roctlIigiM^et^tù^ftirme supposé à Porigine des coordonnées^ ^& at

rf*X rf*Y

Les trois équations précédentes se réduisent ^nc à

celles-ci :

Effectuons les mêmes substitutions dans la quatrième des équations (B). On aura d'abord ' ^' '

— ^ — -t-z.wi. ^

^â^fi'dit^'j'<^Vël%ù des trois préééÉlëntëS>

Les six équations qui déterminent le mouvement ilMI^ffi^èltoë'de'^rj^^ cùnservèiitiSoiiè sbsoiiimetît la lBiliiiié}ftAmib*'{nébî^'t^^ ou tnobile

l'origine des coordonnées; il en serait -dcf Méttie des éqiiatipn$j(m)[.dii ii*'^^; ^^ pourra done^ dai^a'les deux cas, en déi&nire^r Icîsmcmes raisonnemeâSy les prin-' cygjB de,]a' edngjgrtirtion des aires et des forces vives, ainsi que \e prïticipe de la moindre action. r«i¥^0|^l»9Jùa|eBant'»ceq|ie devient, par .cette traitfr position de A^^rigii^ des, coprdoiiioeeiï , >le pUu» ^^e nous avons nommé plan invariable. Four cela, reprenons les' trois équations (E) dont la considération nous a conduits à la découverte de ce plan; si, dans ceseiÉpiations, on suWitùe potir x\fj z] leurs valeurs (o), en remarquant que par l'hypothèse du n|Qçnreaicvt.rectiligne de Torigine on a

ndx, — T^x:f==o, xrfz — iZû?x = o, zdi — Yrfz = o; on trouvera

'S».m.{z^ax^ — oc^dz^) = c' . dt,

I tion>diy)iliin:i]:iyanable; d-ôà Tpa <]»Mt«eoifèlune «fiie oe pfeo^ tomerrera totfjçurs.desdijractioiis parallèlies pendant le iiiotivènieiit de ToriginedesieeoiMiQqnë^

Nous âtW3» vu <{tie lorsque le système < n'est sou^ mis a J'wifien d'ailcÂlie fiwce ëtraii{|^; le'~éèntre-de graTitéH^tftft tmiisporie'daas l'espao? d'an motrreineiit rectiligae et uniforme fit siîitdoïk^le^equirpwQède^ que si.lk>mfiM à ce eeâlrel'oKÎgiBe des coordonnées , les print«i]pes: de Iq eonsetyalioa des aires et âè^ forces vives, anvont ejBCGfra lieu 'paù: rapport à cettewigine^ et le plan-;' invariable jpassarvt' constamment' par ee point, wva' emporté-, avee lui dans^ le mou^wment géniàfal do -système ^ea restant touj.onrsJparal1èle'ii lui— méine; '- • • ■:..>;.;.'...:. . -^i -bî' • ri ■^'.. "■■

Le -fnîaaipe de la eôînservatioa des aiivsr et . cslm des iopeeSfVivèa peuvent eeiredniir^ à de àmpiâràaL'*' tions eDtréîvléa^cooïdpnneias.-de^ distaapes) mntaellfas dé8xUâërêBs:cx>rpa,da4yitèqiei^ En effet/prtaons pour origine des coordonne'es le centre de gravité dn sys^ tème; lesvtrois^éqt^tions{E), n? 25^ peuvqnt s'e'çrire ainsi:

s . mm' .. le»'— ,) . jdx'— H)^-^ .(^'— ») • (^'— VJ] ■ ' > di

équations qui ne dépendent que des eoordonnéeà des distancés mutuelles des corps. '

io6 THÉORIE AKÂiYTIQUE

hes premiers, «membres 4^ ces ëqiiatîdD^j w^ppé^ sentent U spmme ^ aii^-lraééès sur cbàcitaii^^ pbms cootdaùoéBf ^par les piHsjectioiis é» la ..4iimk qai joint émix corps .du système^ dont Tun e«t<SHpposé se mouvoir autour de l'autre^ regardé eoianie immobile ;icha({ne airs étant mnki^ée par le fwodak des deux masses que l'on €Oiisidk:e> et.diviséeipar b scNicime dès niasses dusystème.

. . U SRiA eoccMns de ces équations^ que le. plan qv passe par Fun quelconqtte des corps du sjrstèmty et par riipport auquel la foneticm précédentai est un muâpinuan^ est parallèle au p^aa paissant. par le eentre de grayitéy et que nous avtfns.nommé plan mapoimim desiàma^ Ce nouYcau plan tesX^ également tan^oms parallèle à.lui^même pendant toute la durée dû mon- Ténaent^ et: les seconds membres; des équations précédentes soét nuls par rappûsi; à tout plan pasmat par lai màme corps ^ et qui lui est perpendiculaire^

On peut donner à Téquation {p)^ du n^ .94 ^^ forme^

z=:consl.—'22,»m.'S..fmmWdf*

Le premier membre de cette équation exprime le carré des. vitesses relatives des corps du système les uns autour des autres ^ en les considérant deux à deux , et en regardant Fun des deux comme immo-* bile ,. chaque carré étant multiplié par le produit des dc^ .masses que l'on a coi:isidérées.

Nous terminerons ce .chapitre, par une remarque

DQ SYSTÈME DU MONDE. t«7

iinj^rtantestir l'extençîoii \ donner aux quatre prin-* dpes que nous venons de développer. Celui de Tuniformité du mouvement du «entre de gravité et celui de la conservation des aires subsistent, quelle que soit l'action que les corps du système exercent les uns sur lès Autres , même en se choquant , ce qui les fend trè» ujti)es( d^ns beaucoup de circûnstances^ Mais il n'en mX pas de même du principe de la conservatioa des forces vives, et de celui de la moindn» action i pour qu'ils puissent si»bsister, il faut que les vamtiona des vitesse des* difierens corps du système s-'ppèrent par dfa. nuances insensibles ; iU n'auraient plus liem si le système éprouvait qiielque brusque cluuEigemeilt dans s^ nKmvemenSj^ soit par. Faction muto^oUe des corps qui le ciçnnposent, soit p^ la rencontre d'o^^^ tsMsles extérieurs.

i«â THÉORIE IITALYTIQUE •

GHiPITRE V* "..■■ ;C

■ ' ■ JK

Du Mouvement ^ua corps soliSe.

217. tes six équationâr^é ncms ayons troàtéiîi Aâns le clia|ntre précédent, pour déteribioer lefl[tiîotî^eiiièDS d'4ln sysfèine de points léJBtténd^ liés iètitré enx^d'ime maniètë qnëlconqtre , pedrent' aiisément s' Aehdrfe ali éas <)^'xe système forme 'un corps solide; EÀ ë&ët] Jl suflit'iddrs ilè supposer mieles distance mutttëDù de? parties du systeirne sont ihalt érables, et de 'sâ)s* tiécier aux masses m, m'; ni'; etc. , les -âétneiEis' iÀfi^ Btmetit petits du corpsr quc^roh considéré. ■ '

Soit donc dm un de ces élémens ; ^ésignbns par X, Y, Z, les forces accélératrices qui agissent sur lui, parallèlement aux trois axes de ses coordonnées rec<tangulaires j? , j*, 2 , et remplaçons dans les équations (B) du n"" 21 , le signe 2 qui désigne des intégrales finies, parle signe S, relatif aux intégrales ordinaires; ces équations deviendront

S.-^.dm^^S.Hdm, S.^.rfm=S.Yd!pw,

S • -7-7 • dm = S • Z dm.

air

s/- *^* *^.dm =s S.(zX — xZ).dmy

DU SYSTÈME DU MONIHE. wg

le signe int^al S se rapportant à Ja molécuk dm, et devant s'éten<lre à la masse entière du corps.

Ces ^ équations serviront à déterminer complètement les mouvemens d'un corps solide de figure quelconque. --Les trois dernières» renferment le principe des aires. Si. le cotps était retenu par un point fixe^ elles suffiraient pour déterminer son mouvement de xotation: autour de ce point.

Si ^ au lien dé prendre arbitrairement Torique -des coordoonées, on fixe cette origine au centre de gravité du Gorp«^y-quV>n désigne par x^. vy z, les coordonnées <Je ce points par ^dj^j tIj les coordonnées de rélémeiKt 4m rapportées au* centré de granité ^ en sorte qu'on ait

qu'on substitue ensuite ces valeurs et leurs différentielles dans les trois premières équations (a) , en désignant par m la massç entière du çQrps^ et en observant que x ^ y^ z ^ étant les mêmes pour tous les élémens.on. a

S.^..4m = /zi.^.;

que de plus^ par la nature du centre de gravité ^ ' ,

S.a/dmz=zo , S.ydm:=^Oy S.z'^/wsoj ce qui donne

S^-^.J/WsacO,. S.-— ,rf/7« = 0, S.-^^.lfol =:Q.

^.um^u,, ,^..^.urn-u, ^.^

1 lo TliÉCiHtlE AMALltlQtJË

iGes ^équattiMas deviennent > . i

■ / -. ^ ■■■. JL

.»».^îsS-Xi*fi> i«.^,**BS,¥rfi», ^.-^33:S.Èfi«»..-(i)l|

■ .-•.,.'■■■. ■ '■ (r > On déterminera par leur moyen le mou^emeiit'dii { théâtre de gravité du corps« 'On voit <|iie cc( ^pêiM €e ' meut dans ^espace comme si la masse entièpe dul corps y étant réunie , toutes les forces qtïi si^liciteiit \ le corps lui étaient immédiatement applicpiées. Cette ■ remarque est analogue à celle que nous vOnt fournies^ n^ ^a^ les équations différentielles duvmouTement du centre de gravité d'un système de corps.

Substituons de même , dans les trois dernières éqiKH tions (a) , à la place des variables x, y^ Zy et-4e leurs différentielles , leurs valeurs tirées des équations {f), La première de ces trois équations deviendra ainsi

Mais y x^ Y, Zy étant les mêmes pour tous les âémeas du corps^ on a

S , (xé/*Y — Y^'x) . dm = m . (x^y — Ydt'x) , S.(xY — ^ YX),rf/w = x.S.Y^//» — Y.S.XdiTt,

et enfin y

%.{pt!d^x—yd^yi^xSy — xd^x'\.dmz=:d^.?i.x'dm '^d^x.S.ydffi'j'X.S.dy'. dm — x^.d^x'.dfk.

Les variables x'yj^ a', se rapportant au centre de

DU SYS^ME DU Umm. lit

gravité dé U tBMse m, pris pmir origine ^de» coopixmnéegyicfu&ie» termes du second membre de cette éfaatioii Mnt nuls ; la ^«atrièùie des équations (a) devient donc simplement

&é(*yy .J/'-).dm 5= S. (or'Y ^j%)uim.

On tvo«iveTiait 4e méipe que les cleux dernièces éqfpatiODS (^) «e rédoiseat aux suivantes-:

S.(^^- '-''). dm ==$.(z,X—x;i). dm.

Les trois équations précédentes sont les mêmes que celles qui détermineraient les mouvemens du corps autour de son centra dé gi^avité si ce point était immobile; or les équations (b) font connaître à chaque instant la position du centre de gravité dans l'espace; on pourra donc le regarder comme un ppint fixe autour duquel le mobile est obligé de-tou];iier, et en déleivminant la positiopdu corps par rapport k ce point, sa situation dans Tespace sera entièrement fixée. Quelles que soient donc les lois du mouvement d'un CQi:pSji oa pourra toujours le décomposer en deux autres mouvemens, Fuji de translation relatif à son centre de gravite , l'autre de rotation autour de ce points Eavi^ sages de cçtte manière , les jpouvemens les plus compliqués deviendront faciles à saisir, et c'est ainsi que nous considérerons les mouvemens des éorps ^célestes.

aS. On peut donner atix trois dernières équations (à)