Tome I

ifo THÉORIE ANALYTIQUE

Si Ton m^ItipUè ce» équatîoiiSy h première par dx^ la seconde par djr^ la troigième par dz^ qu'on le» ajoute ensuite y et que l'on su^iose la fonction X €ir + Y rf^-+-Z ^i une différence exacte, ce qui est le cas de la nature, et le seul, par conséquent, qu'il convienne d'examiner ici , en faisant ^ pour abréger

X <fcr -+• Y ^ -4- Z dissrfti,

on aura

dp ,^ A j du j dp

- «• j o«* j ap .

d oii, en intégrant et observant que l'on a

di'^^ dt -^^ ^^^^ ^'Tt

on tire

Cette intégrale devrait contenir en outre une arbitraire fonction de ^; mais on peut la supposer comprise dans la fonction ^.

Si l'on substitue de même pour j, w, i/ leurs valeur» dans Técpiation (6), on aura

C'est l'équation relative à la continuité du fluide.

DO SYSTÈME DU MONDE. i63

Ainsi donc , les équations du mouyement du fluide se réduisent , dans le cas que nous examinons , aux deux équations ( / ) et (g). Si le fluide est homogène^

on a, dans la première de ces équations , | -^ = 2, et la seconde se réduit ^

Il ne s'agit donc que d'intégrer cette équation ; elle donnera la valeur de ^, et en la substituant dans l'é^ quation (y) , on aura par de simples différenciations i^elle de p.

U n'y a aucun moyen de reconnaître à priori tous les cas où la fonction sdx -{rudj^^î^dz doit être une différence exacte ; mais on peut démontrer qu'elle le sera pendant toute la durée du mouvement, si elle l'est pour un instant donné. En effet, supposons que> pour un instant quelconque, elle soit intégrable et égale à dç ; dans l'instant suivant , elle deviendra

Elle sera donc encore une différence exacte pendant cet instant, si la fonction 37-^'^+37-^+ ^-^^ en «stune. Or, l'équation (e) donne ^

Si l'on suppose la densité p constante ou fonction de p, le second membre de cette équation est une différence exacte ; le premier l'est donc pareillement, et la fonc«-

iz • •

i64 THÉORIE ANALYTIQUE

tion sdX'jr ^X + ^^ ^st une dififérentielle complète dans le second instant^ si elle Test dans le premier^ et elle demeure telle, par conséquent, pendant tout le temps où le fluide se meut.

Si le fluide part de l'état du repos, et sans qu'il lui soit imprimé de yitesses initiales, on aura ,ç=:o, 14= o , 1^=0 pour lip premier instant : sdx'-\-udy'\'vdz sera donc une différence exacte pour cet instant, et elle le sera aussi, par conséquent, pendant toute la di]6rée du mouvement.

La fonction sdx-^-udj-^-vdz est encore intégrable lorsque la masse fluide que l'on considère ne fait que de très petites oscillations , ce qui permet de négliger les carrés et les produits des vitesses ^, m, s^ de ses molécules. Les équations (a) donnent alors simplement

dW ^5= -4-^dx + -jT^djr + -^.dz.

f dt ^ dt -^ ^ dt

La fonction -j-.dx -^ -r-^dy -+- ^ • dz^ et par conséquent la fonction sdx -^ udy '^vdz^ sera donc une différentielle exacte , si l'on suppose , comme nous le faisons, f fonction de /?. En nommant comme précédemment d^ cette dernière différence, on aura

Cette équation, jointe à l'équation (g*) relative à la continuité du fluide, renferme toute la théorie des ondulations très petites des fluides.

. 44* ^ous avons considéré dans le n* Sg une masse

DU SYSTÈME DU MONDE. i65

fluide douée d'un mouvement uniforme de rotation autour de l'axe des z; on ql, dans ce cas,

et des équations (a) on tire

Cette équation est identique avec celle à laquelle nous sommes déjà parvenus dans le numéro cité ; les deux membres sont des différentielles complètes , et en supposant la densité p constante , on a , en Tintégrant ,

L'équation (c) relative à la continuité du fluide sera également satisfaite , puisque les valeurs s, u, u^ donnent

ds du dp

dx ' dy """ ' d%

Les équations du mouvement des fluides sont donc possibles dans le cas que nous considérons, et par conséquent ce mouvement peut avoir lieu.

Il est à remarquer cependant que ce cas très simple est du nombre de ceux où la fonction sdx'\'udy*\'\^d7i n'est pas une différentielle exacte : en effet on a

sdx + udjr -|- i^dz == cû.(xd)r — jr dx) j^ expression qui n'est pas intégraible.

i66 THÉORIE ANALYTIQUE

: U suit de là que dans la théorie des oscillations de la mer, résultant de Faction qu'exercent sur elle la Lune et le Soleil , on ne doit pas regarder la fonction sdx ^ udj' + ifdz comme une différence exacte, puisqu'elle ne Test pas dans le cas même où la mer ne serait agitée que par le mouvement de rotation qui lui est commun avec la Tefrrç.

ou SYSTÈME DU MONDE. 167