CHAPITRE VIL

Du Mouvement des Jhiides.

40. Lies lois dès mouvemens des fluides sont faciles^ à déduire de celles de leur équilibre, au moyen du principe de d'Âlembert, auquel nous avbns déjà ramené toute la Dynamique.

EnefTet, considérons une masse fluide dont toutes le^ molécules sôilt sollicitées pat* des forces accélératrices quelconques. Soient jc, j, z les trois cootv données d*un des élémens dm du fluide > %, Y,Z les forces accélératrices qui agissent sur lui parallèlement aux axes coonionnés , et ^ sa densité; Au bout de ïinstaLnt dt, les vitesses dont cet élément est animé

dans la direction des mêmes axes^ seront ^, ^, -^,

et au com|iiencement de l'instant suivant, ces vitesses prendront respectivement les accroissemens HdtfYdt, lidt p^r laction des forces accélératrices; les vitesses de Félément dm parallèlement aux axes des coordonnées oc^jjZ^ deviennent donc

mais au commencement de ce même instant , les vitesses de lelément^/n sont évidemment

dx ^^ f (ix dy ^^ , dy dz» -^ , dz»

di'^^'dï' di'^'^'dT* ât'^^-dî'

B faudra donc, cx>nfoniiétnent au principe énonce, qu'il y ait équilibre entre ces six vitesses ou les forces qui les produisent ^ en supposant les trois dernières appliquées à dm en sens contraire de leur direction. On aura donc> n"^ 58^

Ces équations ne suffisent pas pour détêmiiner leis lois du mouvement des fluides ; il reste encore à exprimer que le fluide n'a pas changé de masse pen-« dant qu'il se meut , et cette condition , qui résulté de la continuité du fluide , fournit une nouvelle équation du mouvement. En efiet, dm désignant la masse de Tun quelconque des élémens du fluide et/ sa densité, on a dmz=^f.dx djr dzila, condition de la continuité du fluide sera donc exprimée par Féquation f.dx djr dz = const. ou par 1 équation difierentielle

d.f. (dx djr dz) = o. (2)

Cette équation, jointe aux trois équations (i), serviront à déterminer les quatre inconnues ot:,j', zetp en fonction du temps.

41 • Pour développer l'équation (2), observons que les trois dimensions du petit parallélépipède ikrk deviennent, au bout de l'instant dt, dx '^ d.dx, df'^d.djf dz'\^d.dz. Mais il £siut faire ici Une remarque essentielle , c'est que la variation de dx ne provient que de Taccroissemént que reçoit la coor-

i58 THÉORIE ANALYTIQUE

donnée x, les variables ^ et z restant les mêmes; de ^ naéme , lés variations de dj^ et de dz ne résultent que des accreîssemens que prennent respectivement ces deux dernières, coordonnées. Four exprimer ces conditions f nous écrirons de cette manière les trois nou- ^ velies dimensions de dm : ^

SJL Ton suppose qye ^ dans le second instant ^ la figure de dm soit encore celle d'un parallélépipède rectan- ' gulaire, ce qui est exacte aux quantités près du cinquième ordre , comme il est facile de s'en convaincre par la Géométrie^ on aura pour le volume de ce parallélépipède

Qtiant à la densité f , si on la regarde comme une fonction de x^j^ z et f , elle deviendra au bout de l'instant dt

En multipliant donc la densité par le volume , et négligeant les infiniment petits du second ordre ^ on aara

dm = f.dxdjr,dz.(i H-^-^^+j^-^+T^ •dj

et rëq\iatk>ii^ {:2) deviendra par conséquent

' ' j dx j dy y dg'

Si le fluide est incompressible^ non-seulement sa masse ne doit pas varier, son volume doit encore rester le même pendant toute la durée du mouvement; on aura donc

et relativement à la densité

Ces équations remplaceront dans ce cas l'équation (2), et, jointes aux équations (i), elles serviront à déterminer les cinq inconnues PfP,oc , j*, z en fonction de t. Enfin, si le fluide est à la fois incompressible et homogène, la dernière de ces équations deviendra idep- I tique, et les quatre autres suffiront pour déterminer les inconnues du problème.

42. On peut donner aux équations (i) et (3) une formeplus commode dans quelques circonstances.Pour cela, on prend pour inconnues, au lieu des coordon-

f ji ? 1 •- dx dy dz • •

nées ûCpjr, z,aeam, les vitesses -jif-^f-^ T" ^^^

ment cet élément dans le sens de ces coordonqicies^ et qu'on regarde comme des fonctions de Xjjr, zet t. Faisoiis pour abréger

dx .««^ ' dz

^—di' ^-^'dt' ^"^Tr

i6o THÉORIE ANALYTIQUE

Si l'on différencie ces équations , en supposant que ^ ûc^j^fZett Tarient à la fois, et qu'à la place des > accroissemens dx^ dy^ dz, (m substitue leurs ya- fi leurs ^dt, udt, vdtf^Cfn aura

du±=^.dt+£.sdt + ^.udt + £.i^dt, difssz g-.dt'^'j-.sdt'^g^.udt^j'.ifdt.

En mettant ces valeurs à la place de — r- • -r'- » -r^

' dt ' di ^ di

dans les trois équations (i) , on aura les suivantes

dp /«v- d^ ds da ds \

dp ^ ^ /\T àu du du du \ \ , ^

dp . /j ^ dp^ ^^ di^ \

• cfe '''\ dt dx* djf* """S* /*

Enfin réquation (5) deviendra, par une transforma-* tion semblable

«équation qui, pour les fluides homogènes et incompressibles, se réduit à celle-ci

ds , tlu t dp , K

as + ^ + s^*»- C'')

Les équations (a) et (6) . donneront les valeurs de

SfUfif^ïL foBCtien de a:,jr^ z, t, et Ton aura en3uite les valeurs dea^,jr^zen fonction du temps t , au moyen des trpis équations

dx:=:sdt, dj':=:iidt, dz:=rPdt.

4^* l^oute la difficulté de la théorie du mouvement des fluides se réduit donc à l'intégration des équations aux difierences partielles {a) et (b). Mais cette difficulté est telle^ qu'elle a arrêté jusqu'ici^ même dans les questions les plus simples , les efforts des géomètres. Il existe cependant un cas fort étendu ^ dans lequel ces équations deviennent susceptibles d'intégration : c'est celui où la quantité sdx-^udj'^'Sfdz est une diffé-. rentielle exacte d'une fonction des trois variables x^ jTy z, en sorte qu'en la nommant ^, on a

s dx^udjr -{'vdzz=:zd(p. ,

La fonction (p fait connaître les vitesses de chaque

molécule du fluide parallèlement aux axes coordon-^ nés , car on a . •

"^ dx' """ dy^ "~" dz'

Si Ton substitue ces valeurs et leurs différentielles dans les trois équations (a)^ elles deviennent

dp ^ f^ ds d^ ^ d^ ct'^ d^ J^\

dx \ dt dx* dx^ dy' dy dx dz * dg dxj *

dp / du d(p d*^ dqt d^ dp d^ç \ \ .«.

dy ^ \ dt'^dx'dxdy dy' d^^ ds' dzdy) (

dp / d$f dp dV dp d^p dp d*p\

dz \ ,dt dx' dx dz dy' dy dz , dz' dz^ )