CHAPITRE PREMIER

Des Forces qui produisent les Mouvemens des Corps célestes, ou Principe de la Pesanteur universelle.

I • Nous voyons chaque jour tous les corps du système solaire, transportés par un mouvement propre d'occident en orient, changer de position dans les cieux et parcourir d'immenses espaces avec d'incroyables vitesses, n en faut conclure , en vertu de ce principe général de la nature que nous avons nommé l'inertie de la matière, que ces corps sont sollicités par des forces qui sont invisibles à nos yeux , mais dont Faction est permanente. Sans elles, ces corps resteraient immobiles; ils ne varieraient pas par rapport aux étoiles, et nous les verrions toujours reparaître dans les mêmes lieux du ciel où nous les aurions aperçus d'abord. Telle est donc la première idée- que présentent k l'esprit de l'observateur les mouvemens de$ corps célestes, et la théorie du système du monde se rattacjie par conséquent à un grand problème de Mécanique, qui consiste à déterminer les mouvemeps dans l'espace d^un système de corps soumis à des forces quelconques. Les élémens des mouvemens des astres , leur figure et leurs masses sont les arbitraires de ce problème, et des données indispensables que la

mécanique céleste doit emprunter à V Astronomie. Mais pour déduire de la solution de cette question générale des résultats comparables aux observations, il faut ôécessairement connaître la nature des forces que l'on considère, il faut savoir quelle est la puissance invisible qui anime ces grands corps isolés dans l'espace, qui fait mouvoir ces masses immenses, sans jamais laisser après die d'autres traces de son action que les effets qu'elle a produits. Pour nous guider dans cette recherche, et pour éviter de nous égarer dans de vains systèmes , c'est à ces efiets mêmes qu'il fetut avoir i^ccoursj c'est en interprétant convenablement les faits qn^elle nous présente , qu'on peut deviner la nature ; c'est en examinant avec soin les phénomènes observés que l'on peuf espérer de s'élever jusqu'à leur cause. Si les résultats de cet examen nous ont révélé les véritables lois de la nature , il faudra qu'en les combinant avec les principes généraux du mouvement, nous voyions êe reproduire, non-seulement les phénomènes particuliers dV>ti nous les aurons déduites, mais encore tous les autres phénomènes du système du monde que Tobservatiôn nous a fait connaître. Cette découverte aura cessé alors d*étre une simple hypothèse, et elle aura atteint le plus haut degré de certitude dont les vérités physiques soient susoeptîWeis.

De tous les phénomènes que nous offrent les cîeux , le mouvement de révolution des planèteSi et des comètes autour du Soleil est celui qui parait le plus propre à nous découvrir la lot des forces qui les produisent, La similitude des otîïttes des planètes et des tx>mètes, Fidentité de leurs figures semblent nous in-

di({uer d^avance que ces forces dérivent toutes d'un {Nrincipe général^ et qu'elles ne se modifient qu'a raison de circonstances particulières aux corps auxquels elles sont appliquées. Considérons donc le mouvement d'une planète ou d'une comète circulant autour du Soleil y et déterminons la force qui doit l'animer pour produire ce mouvement.

Une observation attentive du cours des planètes a établi d'une manière positive les faits suivans, qu'en mémoire de l'astronome qui les découvrit, on a nommés les lois de Kepler.

I®. Les aires décrites par les rayons vecteurs des planètes et des comètes dans leur mouvement autour du Soleil, sont proportionnelles aux temps.

2*. Les orbes des planètes et des comètes sont des sections coniques dont le centre du Soleil occupe un des foyers.

3®, Les carrés des temps de rés^olutiorjis des planètes sont proportionnels aux cubes des grands axes de leurs orbites^ ou , ce qui revient au même , et qui peut s'appliquer également aux planètes et aux comètes^ les aires décrites en temps égal^ dans différentes orbites j sont proportionnelles aux racines carrées de leurs paramètres .

a« Cela posé, formons Ws équations du mouvement de la planète ou de la comète que nous considéroïis de manière à satis&ivQ aux conditions précédentes. Rap^ porl)OQ$ la positioti de l'astre au plan même de son (n*bite ; soient x ety les coordonnées de son centre de

i7!i THÉORIE ANALYTIQUE ^

gravité relatives à deux axes rectangulaires menés par .. le centre du Soleil ; X et Y les forces accélératrices qui ^ le sollicitent parallèlement aux mêmes axes, les équations différentielles du mouvement seront, n** 12, livre I,

Si Ton retranché ces deux équations l'une de l'autre, après avoir multiplié la première par^, et la seconde par a: , on aura

Il est aisé de s'assurer que xcfy'-^j'dx est le double de l'aire que décrit autour du Soleil le rayon vecteur de la planète pendant l'instant dt. Cette aire, d'après la première loi de Képler> est proportionnelle à l'élément du temps; on aura donc

xd/ — jrdx =; €dt , (ô)

c étant une constante arbitraire.

La différentielle du premier membre de cette équation est nulle , et l'équation (i) donne par conséquent

Yx — X;^=o.

Il suit de là que les composantes X et Y sont entre elles comme les coordonnées x et^, ce qui indique que leur résultante passe par l'origine des coordonnées, ou par le centre du Soleil. D'ailleurs la courbe ' que décrit la planète ou la comke étant concave vers

ir

le Soleil , la force qui l'anînie est évidemment dirigée vers cet astre.

\ Déterminons maintenant les intensités de cette force à différentes distances du Soleil. Reprenons pour cela les deux équations {a). Si on les ajoute après avoir multiplié la première par ndxy la seconde par 2^, et qu on intègre leur somme , on trouvera

^jL^^c' + tx.fi^x+Xdj), (2)

c' étant une nouvelle constante arbitraire.

Transformons les coordonnées x et j* en d'autres variables plus commodes pour comparer cette équation aux résultats des observations. Soit r le rayon vecteur de la planète dans son orbite , i> l'angle que forme ce rayon avec l'axe de a:; on aura

a: = r cos i^, ^ = r sin i^, r= \/a:* +^% d'où l'on tire cbc^ -f- dj^ = rfr* + r*rfp% xdjr ^-^ ydx = r^dv.

Désignons de plus par R la force totale qui agit sur la planète^ cette force étant dirigée suivant le rayon vecteur r, et tendant à diminuer les coordonnées x etj", on aura

X = — R.cos.i^, ¥=— R.sin.i;, R=v/X»+Y%

et par conséquent

"Sidx + Ydjz^—Kdr.

Si Ton substitue ces valeurs dans Téquation (2) et quon élimine dt au moyen de l'équation (i), on aura

c^dr" . c*

';f^ + ^;r=c'-.../R«fr. (3)

Cette équation donnera en Tintégrant la relation qui doit exister entre le rayon vecteur r et la longi-^ tude p, c'est-à-dire l'équatîon polaire de l'orbite, lorsque R sera donné ; dans le cas contraire ', en la comparant à l'équation diiOTérentielle de l'orbite , supposée connue , elle servira à déterminer cette force.

, Les planètes et les comètes se meuvent dans des sections coniques , dont le Soleil occupe le foyei^, d'après la seconde loi de Kepler; Téquation générale de ces courbes rapportées aux coordonnées polaires , peut être mise sous cette forme :

1 I + «.OOS.(i' — et) 0 >

a désignant le demi grand axe , ou ce que les astro^ nomes appellent ladistance moyenne; e V excentricité, ou le rapport de la distance focale au demi grand axe. Le point de l'orbite le plus rapproché du Soleil se nomme le périhélie^ et le point qui en est'*ie plus éloigné Vaphélie; cù est l'angle compris entre le grand axe , ou la ^ligne des apsides , et la ligne fixe d'où l'on compte l'angle t^, ou, ce qui revient au même, la longitude du périhélie.

L'équation précédente est celle d'une ellipse lorsque a est positif, et que e est plus petit que l'unité; elle devient celle d'une parabole quand a est infini et que e

DU SYSTÈME DU MONDE. i^S

^e Tunitë; enfin elle représente une hyperbole ItMrscpie a est négatif et que e surpasse l'unité. Elle donne ^ en la différenciant^

d'où, en élevant les deux membres au carré , et éliminant e* sin*.(c — cù) au moyen de Féquation (c)^ on tire

L'équation (5) devient ainsi Cette équation donne , en la différenciant ,

*Wia*-iM««*

Ainsi donci de ce que les orbes que les planètes et les^ comètes décrivent autour du Soleil sont des section» coniques, il s'ensuit que la force qui les sollicite est réci{Ht>qBe au carré des distances du centre de ce& astres au centre du Soleil. C'est en vertu d^une force accélératrice dirigée vers le Soleil , et variable suivant cette loi, combinée avec une impulsion primitive,, que chacun de ces corps est mis en mouvement dans l'espace*

Récifproquement ,*^8i la force R est supposée en

raison inverse du carré des distances , ou égale à -^ ^

po]iy.p,n^ observer; mais, comikie les grands axes de leurs orbites et la durée de leur tevolution sont gén^ralefcoent inconnus, on calcule letu^ xnouyemens dans des orbes paraboliques. En nommant D la distance du foyer au sommet de la parabole , le parapaetre qui, dans l'ellipse^ est exprimé par aa.(i — e*), p6tf par rapport à cette nouvelle courbe^ égal à 4D; on a donc, relativement a une comète quelconque,

h =? --g. D'ailleurs les^ aires décrites pendant le même

intervalle de temps dans di£férente$ orbites, sont entre elles (iomihe les racines carrées de leurs paramètres, ce qui donne la proportion

et par suite

Le coeÂcieht h est ^onc le même pour tous les corps de système isblaîre|/ Il'jluit de là que nntènsîté de la force R est ^ reîativement aux planètes et aux comètes, réciproque au? carré de leurs distances au Soleil, et ne varie de Fune à l'autre qu'à raison de ces distances.

Deuk plafiètes supposées également éloignées du Soleil seraient donc attirées vers cet astre par des forces égales , et , abandonnées à leur pesanteur, . elles s'y précipiteraient avec la même vitesse : la force qui les sollicite est donc 'encore proportionnelle à leur massif.

Les satellites , dans leur mouvement autour de

leurs planètes, obsenrent , à quelques inégalités près ^ les lois de Kepler; ils circulent d'ailleurs ai;^tour du Soleil à très peu près cqmoie leurs planètes elles^ mêmes I de sorte qu'en même temps que les. satellites se meuvent autour de leur planète , le sjçtème eutiei^ de la planète et de ses satellites est emporté d'un mouvement commun d,ans l'espace, et ret^^u par. la même force autour du Soleil. Il en faut conclure que les satellites sont attirés vers le centre de leur planète , et vers le centre du Soleil , par des forces réciproques aux carrés des distances. Le mouvement elliptique de la Lune autour de la TeiTe étant , il est vrai , seitsiblement altéré par l'action des forces pert^batrices, la loi de diminution de la force attractive de cette planète ne saurait s'en déduire d'une manière aussi évidente; mai$j en comparant la pesanteur que la Terre exerce sur les cqrps qui l'epvironnef^t à la puissance qui retient Les planètes dan3 leur orbite, on voit que ces forces s'exercent suivant les mêmes lois, et qu^elles ont entre elles la plus grande analogie. La pesanteur terrestre se manifeste sur le sommet des montagnes les plus élevées ; il eist ^Quc naturel de supposer. qu'elle s'étend jusqu'à la Li^x^ :è^,. en etfetr, si l'on compare son mouvement i^yçc f elluî^Jun projectile transporté. a son çi^zi^re, et spUi^ yep la Terre parafa pç^nteur, la différence qu'on, remarcjue dans les rpsujt^ts est tellemçj^t. petite, qu'9n.ne peut l'attribuer qu'aux împerfî^^OQS des Ç|bsç|:^atipns et des donnée employées dans le calcul.. La pesanteur terr^ftr^ n'est donc qu'un c^ particulier 4!u^^ propriété attia^ctive do^t spfi|; doiféjss les autres planètes.

i8o THÉORIE ANAiYTIQUE

3. Là seule comparaison des observations aux lois du mouvement nous conduit donc, sans aucune hypothèse étrangère , à regarder le Soleil et les planètes qui ont des satellites comme le centre de forces attractives qui s^exercfent sur tous les corps qu'embrasse leur sphère ti'actrvité , en raison directe des masses et inverse du carré des distances. Il est naturel de supposer, par analogie, que la même propriété s'étend aux comètes et aux planètes qui n'ont pas de satellites; mais d'ailleurs c'est un principe de la nature généralement admis, que la réaction est toujours égale et contraire à l'action : les planètes et les comètes attirent donc le Soleil de la même manière qu'elles sont attirées par lui , les satellites réagissent pareillement et suivant la même loi , sur leurs planètes et sur le Soleil, et la gravitation de tous les corps célestes les uns vers les autres doit être regardée par conséquent comme une suite incontestable des résultats que l'observation de leurs mouvemens nous présente.

Cette forcé d'attraction dont sont doués tous les corps du système solaire n'est pas utie propriété qui leur appartienne en masse ; elle pénètre également leurs dernière^ molécules. En e£fet, les expériences faites à Faide du pendule prouvent que tous les corps que nous connaissons pèsent vers le centre de la Terre en raison' directe de leur masse : chacun d'eux réagit donc sur elle, et l'attire suivant là même loi. La pesanteur terrestre est d'ailleurs, comme nous l'avons vu, uiie force identiquement de même nature que cette tendance générale qui {k)usse les corps

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célestes \^s .nos vers les autres ; il faut donc reçonnaitre comme nne yéritë démontrée par l'accord du calcul avec tQus les faits observés ^ cette grande loi de la nature , savoir : que toutes les molécules de la ma-' tiere s* attirent en raison directe des masses, et inverse du carré dejs distances.

4* Le mouvement elliptique que nous ay<ms supposé au planètes .n'est, il est vrai, qu'approximatif, et les corps célestes ne se meuvent pas rigoureusement dans les sections coniqueç; mais il faut considérer qu'en v^ertu de leurs actions mutuelles les unes sur les autres, les planètes doivent s'écarter: ded orbites elliptiques qu^elles décriraient si elles n'étaient soumises qu'à la sevde action. du Soleil, commet cela aiw rive en effet dans la nature. Ces perturbati^ots ne sont donc qu'une nouvelle conséquence du {wineipe de la gravitation universelle ; ot ce qui cairactérise éminemment cette grande loi, dont nou3 devons à Newton l'immortelle découverte,. c'est. que toutes les anomalies qui se sont présentées dans les mouvemens des corps célestes, et qui ont semUé d'abord devoir en faire coiltester l'existence, ont été expliquées par elle à mesure que l'analyse a fait de nouveaux progrès, et n'ont servi qu^^à la Êdre: ressortir avec ua nouveau degré d'évidence.

Une fois ce grand principe adosis , on voit tous les pbénomènes célestes s'en déduire sans peine. Les perturbations des planètes, des comètes et des satellites en sont, comme nouç l'avons dit, la première con-r séquence , et la détermiqation de leurs in^alités. ne

ï8a THÉORIE ANALYTIQUE

dépend pflus cpe de causes qui nous sont connues ^ et dôtit nous pouvons par conséquent éfilculer les effets. Réunies par leurs attractions mutuelles, les molécules dont les corps célestes? se composent ont dû foritiéi^ d'abord une masse à peu prèà sphérîque; mais leur mouvement de rotation a bfehtàt altéré cette figure, et, en vertu de la force centrifuge, il a dû tiplatir leurs pôles et élever leur équateur. La figure des corps célestes n'étant pas spliérique, la résultante de leurs actions mutuelles n^a plus passé exactement {>ar leur centre de gravité, et il a dû en résulter des mouveMens qui déplacent insensiblement leurs* axes de i4>€ation : «c'est ce que l'observation confirme. Enfin Faction illégale du Soleil et de la Lune sur les eaux del'ÔCéaïï doit y faire naître des mouvemens d'oscillatioû àisaliigu^ à* ceux que nous présente le phénomène dti^'fi^ et du reflux de la mer. Mais c'est à l'analjrse^qu'il appartient de développer ces grands effets de la' loi de la pesanteur universelle; c'est à elle de donner à de simples inductions toute Tévidence démérites rigoureuses.

■ Nous iexbmineron^^^uccessivement ces principaux points de la théorie du système du monde, avec tout le soin que leur importance exige. Les grands progrès qu'a faits y analyse dans ces derniers temps , nous mettront à même de présenter ce tableau avec un ensemble et une clarté qui peut-^tre lui avaient manqué jusqu'ici. Newton, par la force de son génie, uvait découvert le secret de la nature ; mais l'état d'imperfection où était encore de son temps le cdcul tlgébriqtae, ne luipermit pas d'en faire ressortir toutes

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les conséquences avec ce degré d'éyidence qui peut seul arrêter lenvie et imposer silence à Terreur. Les géomètres des siècles suivans consacrèrent leurs travaux à achever Touvrage qu'avait si heureusement commencé le géomètre anglais. En poussant successivement plus loin les approximations^ ils démontrèrent l'admiraUe concordance qui existe entre les calculs résultans de la loi de l'attraction universelle et les phénomènes observés, et ils parvinrent à établir enfin sur des bases inébranlables le plus beau monument que l'esprit humain ait élevé à sa gloire.

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