CHAPITRE IL
Équations différentielles du Mouvement ^un système de çoFjfs soumis à leurs ^attractions mutuelles.
5i. Pour embrs^sser dans toute sa généralité la théorie 4es mouvemens des corps célestes , nous commencerons par former le$ équatipns différei^tielleç du mouvement d'un système de corps soumis à leurs attractions mutuelles, en supposant, conformément aux résultats trouvés dans le chapitre précédent, que ces attractions s'exercent en raison directç des masses et en raison inverse du carré des distances. Nous restreindrons seulement l'étendue de cette question par l'hypothèse que les parties du système sont assez éloignées entre elles pour que l'on puisse faire abstraction de la figure des corps attirans , et les regarder comme des masses concentrées dans leur centre de gravité. Cette hypothèse est conforme, comme nous le ferons voir, à ce qui a lieu dans notre système planétaire.
Soient donc m la masse de l'un quelconque des corps du système que nous considérons; x, y, z, les coordonnées de son centre de gravité relatives à trois axes rectangulaires passant par upe origine fixe quelconque; 0Cfjr,Zf les coordonnées d'uu des élémens dm de sa masse rapportées aux mêmes axes; nommons m\ m', etc., les masses des différeus corps attirans que
,DU SYSTÈME DU MONDE. i85
nous regardons comme des points, et soient j?',^', 2' les coordonnées de m!; x^^fj", 2", les coordonnées de ml'j et ainsi de suite.
Désignons par r la distance de l'élément dm au corps m^^ en sorte qu'on ait
L'action qu'en vertu de la loi de la pesanteur uniyer-* selle ce corps exerce sur dm sera égale à ^. Cette action étant dirigée suivant la droite r, pour la décomposer parallèlement aux axes des coordonnées, il faudra multiplier Texpression précédente par le cosinus de l'angle que forme le rayon r avec chacun de ces axes; on aura ainsi
m'.{x—x) în\{y' — y) m' .(/^z)
ou bien
dx ^ dy ^ dz *
En marquant successivement d'un accent les lettres m^ et a/f y, :£ qui entrent dans la valeur de r, on trouvera des expressions semblables pour les actions que les corps m", m'", etc., exercent sur dm^ parallèlement aux axes des x^ des^ et desz. Soit donc
Vix'- xf +■ (/ ^yr + (.' - «)•
•4- -4^ etc.
i86 THÉORIE ANALYTIQUE
La fonction FI désignant la somme des masses wlj ni\ etc;, divisées respectivement par leurs distances à la molécule dm^ les trois différentielles par-
tielles yzf 'j'f 'JZ exprimeront les forces accélératrices dont cet élément est animé , en vertu des actions réunies de tous les corps du système , décomposées parallèlement aux axeâ coordonnés , et dirigées en sens contraire de leur origine. Ces forces sont celles que nous avons désignées par X ^ Y^ Z dans le n^ 2j du premier livre. Si l'on fait doi;ic , pour abréger, V = S . n dni , le signe intégral S se rapportant à rélément dm, et aux quantités qui varient avec lui et devant être étendu à la masse entière du corps m, on aura
^ s ''^ rf„ '^V .àa . dV dn
dx dx dy dy ' dz dz
et les trois équations (6) du n** 27 deviendront
de" m* dx \ dt^ "" I»' dy * de~'m dz* ^ ^
Ces équations serviront à déterminer les mouvemens du centre de gravité du corps m dans l'espace.
Supposons maintenant que l'on désigne -ps^Tx^jr^z les coordonnées de l'élément dm rapportées aux trois axes principaux qui se croisent en ce point, et par oc', y, z', jc^', f\ J', etc., les coordonnées des corps m\ rri\ etc., relatives aux mêmes axes; on aura, comme précédenmien'c ,
et les trois forces qui agissent sur l'élëmeût dm, parallèlemeni aux axes des x^ des jr et des z^ et
/ t 1 • • ^ dn dïi du
eu sens oppose a leur origine, seront -j- j -y- f "t- •
En désignant donc, comme dans le n^ 3o, par N, N', N" la somme des momens de ces forces rapportés respectivement aux mêmes axes, on auta
wr a f du dn\ , dV dV
et les trois équations différentielles (C) n* 5o deviendront par la substitution de ces yaleuis
Bd^+(A— C).rp.^=(z.Ç— a:.Ç).rf<,J (B)
Q/r-f- (B— A) .pi . ât =(^x .j^ — j . 5j) . dt.
Ces équations serviront à déterminer les mouvemens de m autour de son centre de gravité.
i88 THÉORIE ANALYTIQUE
6. Les équations (A) et (B) sont indépendantes du nombre des corps agissans du système; elles conserveraient encore la même force dans le cas où Ton voudrait avoir égard aux dimensions et à la figure de l'un de ces corps. En effet, il suffirait pour cela de supposer que m', m", etc. , dans la fonction II , représentent les élémens infiniment petits de la masse de ce corps.; la valeur de Y serait donnée alors par deux intégrations indépendantes l'une de l'autre , la première relative à la masse du corps attiré, la seconde à celle du corps attirant, c'est-à-dire que l'on aurait
-KT ^^^ Q Q/ dm , dm
/(*'-*)• + (y -yr + (i»' - ^y ' -
dm' étant un élément de la masse de m'; x\ f , /^ les coordonnées de cet élément rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les coordonnées x^j^zy enfin, le signe intégral S' se rapportant à cet élément et devant s'étendre à la masse entière de m'.
Les six équations précédentes déterminent complètement les mouvemens du corps m dans l'espace ; les tro?3 premières donneront à chaque instant la position de son centre de gravité par rapport à trois axes fixes pris à volonté , et les trois autres détermineront son mouvement de rotation autour dei ce point supposé immobile. Nous pourrons donc , conformément à ce que nous avons dit dans le n"" 27 du premier livre, simplifier la question dont nous nous occupons , en la divisant en deux parties. Dans la première , nous examinerons les mouvemens des centres de gravité deis
corps célestes dans l'espace, et dans la seconde, lears mouyemeiis de rotation autour de ces points.
7. Lorsqu'on ne considère que les mouvemens de translation d'un système de corps m, m', w", etc. , et qu'on suppose les distances mutuelles de ces corps très considérables relativement à leurs dimensions respectives, on peut, sans erreur sensible, faire abstraction totale de leur figure, et regarder à la fois les corps attirans et les corps attirés comme des points concentrés dans leur centre de gravité. Les équations (Â) prennent dans ce cas une forme plus simple; en effet, les coordonnées or, y^ z de l'élément dm sont alors identiques avec les coordonnées x, y, z du centre de gravite du corps m; si Ton fait donc, pour abréger.
»/(«' - «)• + Ck' - yy + (/ -«)'
I ^ --' I rrr .
on a
dx dx^ dy -dy ^ dz"^ dz ^
et les trois équations (Â) deviennent
df^m'li' de'^m'd^' dt^^m'Tz ^
En marquait successivement les lettres i?i,, x, /, z d'un accent, de deux accens, etc. , on aurait des équations semblables pour déterminer les mouvemens des corps w! ^ rri\ etc. Le système de toutes ces équations réunies fournit tm certain nombre d'intégrales rela-
igo THÉORIE ANALYTIQUE
tives aux principes généraux du mouvement, conformément à ce que nous avons dit n^ 22 et suivans ; c'est ce qu'il est facile de vérifier. Mais, pour intégrer complètement ces équations, et déterminer, par leur moyen, les valeurs des coordonnées x,^, z , etc. , en fonction du temps , on est forcé de recourir aux méthodes d'approxi mation.
8. Pour pouvoir employer avec avantage les équations (c) dans la théorie du système du monde , il est nécessaire de leur donner une forme plus appropriée aux usages astronomiques. En effet, dans l'impossibilité où nous sommes de juger de leurs mouvemens absolus dans l'espace, c'est au centre du Soleil que nous rapportons les mouvemens des planètes et des comètes; il faut donc, pour pouvoir comparer la théorie aux observations , déterminer les mouvemens d'un système de corps m, m', m", etc., autour de l'un d'entre eux regardé comme le centre de leurs mouvemens.
Spit M la masse de ce dernier corps, /ti, m!, m", etc., celles des autres corps dont on veut déterminer les mouvemens relatii^ autour de M; Ç, n, Ç, les coordonnées rectangles de M rapportées à une origine fixe ; H+^7 ^+Jf Ç-ir^r ççUes de m; ^+x\. n+jr% l^+z% celles de m% et ainsi de cuite ; en sorte que x, j", z seront les coordonnées de m par rapport à M; x', y, z', les coordonnées de /w'par rapport au même corps, et ainsi de suite ; faisons de plus, pour abréger,
et supposon»
mm
V{yl— *)• + (y — yr + (»' - *)•
WtTfl
i/(*' — «)• + Cy* — jr)» + («• — «;■
L'action de /» su^ M sera exprimée par -^^ et cette
action décomposée parallèlement aux axes coordonnai^ et dirigée en sens contraire de cette origine, donnera , suivant chacun de c&s^ axes , les trois forces
mx m y ms
En marquant successivement d^un acqjppt, de deux accens, etc., les lettres m, x, y, z et r, on aura^ pour les aqticois de m', de m", etc<, sur M, d^ expressions semblables ; le mouvement de M sera donc déterminé par les équations différentielles
cP^ mx d^n ^ my ^{« ''»*
Cela posé, l'action de M sur m, para^èlement aux axes de ses coordonnées, et dirigée vers leur origine,
M* My M« 1 X-. • r *• \ dx \ dx
sera —rt — î^, — ?-; les trois fonctions — . :7-, *-.t-,
1^ ^ r^ ^ r» ^ m dx' m dy*
— • -j- exprimeront la somme des actions qu'exercent
sur m les autres corps m', m", etc. , décomposées parallèlement aux mêmes axes et tendant à augmenter
iga THÉORIE ANALYTIQUE
les coordonnées de m; on aura donc, en verta des actions réunies de M, m', nJ', etc. ,
. oft. (Ç + x) . lAx I dh,
5? "*" "75" "^ m'dx'
Si l'on substitue pour "^9 -^9 ^f leurs valeurs 2 . ^ , 2 • ^ , 2 . ^ , ces équations deviendront
On peut leur donner encore une autre forme. En effet, si pour abréger on fait M 4* m s= ;t et qu'on suppose
j-OT» r ' xx'+yy+zz-\
'Lt/(*'-*)"+0'"-ry)H (*•--*)• ''' J
*|-etc., elles deviennent .
d'x . (tx û[R '
. c//* "*" /^ ~ dx^
d^z ^. {iz û?R
Lagrange est le premier qui ait présenlé de cette manière les équations du mouvement des centres de gravité des corps célestes. Ce qui contribue surtout à Jes simplifier^ c'est la considération de la fonction R^ qui a la propriété de représenter par ses différences partielles les actions perturbatrices qu'exercent les planètes /;/', fri\ etc. , sur nu L'emploi de cette espèce de fonctions est également utile dans la théorie des mouvemens de rotation des corps célestes, dans celle des attractions des sphéroïdes d'où dépend la détermination de leui^ figures, dans la théorie du flux et du reflux (}es mers^ dans toutes les questions enfin où Ion a à considérer un grand nombre de forces de même nature et agissant d'une manière analogue. £n réunissant sous un même point de vue des expressions qui seraient sans cela très compliquées, il rend leurs rapports plus faciles à saisir, et cette notation fort simple introduite par Lagrange dans la mécanique céleste, en contribuant aux rapides progrès qu'elle a faits dans ces derniers temps, a eu pour la théorie du système du monde tous les avantages d'une véritable découverte.
£n changeant successivement dans les équations(D) les lettres m, or, /, i5, /• en celles-ci, /»', x\j\ z\ r', nf, a?'^ j'y z'f r% etc. , et réciproquement , on aura trois équations semblables pour chacun des corps m', Tri\ etc. , ce qui forme un sjstème d'autant d'cquations différentielles du second ordre qu'il y a de coordonnées a:,/, a, ^,^, z\ etc., à déterminer en fonction du temps. Il ne s'agit donc plus que d'intégrer ces équations, pour être en état de déterminer Tome L ij
a chaque instant la position des corps /w, 7fi% etc., dansTespace; malheureusement cette intégration n'est pas possible en général , dans Tétat actuel de l'analyse : le système des équations (D) et des équations semblables relatives à m', m', etc. , fournit seulement un petit nombre d'intégrales finies , dépendantes de s lois générales qui s'observent dans toute espèce de mouvement. Comme ces intégrales sont de la plus grande utilité dans la théorie des peilurbations planétaires, nous allons les développer ici.
g. Si Ton multiplie l'équation différentielle en ^ par M + 2m, et les équations en x, x', x', etc., la première par m, la seconde par m\ et ainsi du reste, qu'on les ajoute ensuite, en observant que, par la nature de la fonction A , on a
dx , dx , dx ,
on au,ra
dt^ ' di
d'où Ton tire, en int^ra,ut.
M + s.wi'
a eib étant deux constantes arbitraires. On aurait de
même
M + S.wi'
DU SYSTÈME DU MONDE. ig5
4a', h\ d^ V\ étant des constantes 'arbitraires. Ces e'quations serviront à déterminer le mouvement absolu de M dans lespace , lorsque Ton connaîtra les mouvemens relatifs de //i, ni y nC^ etc. , autour de ce corps. Si l'on multiplie lequation en x par
f équatioB ea j par
, — ïnx + /» • ,., . ^ — «
réquation en o^ par
réquation en j' par
