CHAPITRE VII

Dés^eloppement des formules qui déterminent tes variations des élémens des orbites planétaires ^ et relations qui existent entre les inégalités sécu/* laires de ces élémens.

47 • Nous Tenons de voir qu'en vertu de l'action réciproque des corps du système solaire , les élémens des orbites des planètes étaient soumis à deux espèces de variations distinctes.. Les unes^ indépendantes de la configuration de ces différens corps et de leurs posi*»* tions respectives , qui reviennent les mêmes après de courts intervalles , peuvent croître indéfiniment avec le temps , ou être assujetties à des périodes qui leur sont propres, mais dont la durée est toujours extrêmement longue.' Les autres, au contraire, dépendent uniquement de la position des planètes, soit entre elles, soit à l'égard de leurs nœuds et de leurs apbélies, et reprennent les mêmes valeurs toutes les fois que la disposition générale du système redevient la même.

Ces dernières ont été nommées variations pério^ diques. Les élémens de l'orbite , en vertu de ces inégalités , ne font qu'osciller entre des limites qu'elles ne sauraient dépasser; leur effet est de changer à chaque instant la position qu'aurait la planète dans son orbite supposée invariable , mais la stabilité du système du monde n'en peut être altérée.

Les premières^ qui sont en même temps les plus importantes et les plus difficiles à déterminer , ont été appelées variations séculaires , parce que leurs accroissemens étant extrêmement lents, ce n'est qu'après un grand nombre d'années que leur effet peut se manifester. Elles font varier de siècle en siècle , et par degrés insensibles , la figure des orbites et leur position dans l'espace ^ de sorte que ^ comme leur action est permanente , et continue , il est impossible de décider à priori si la forme générale du système planétaire n'en sera pas à la longue entièrement bouleversée.

Il faut , pour résoudre cette importante question ^ examiner avec soin les valeurs finies de ces variations, valeurs qu'on obtiendra^ comme nous l'avons dit, en intégrant les formules du n** 46- Cette intégration ^ il est vrai, est impossible en général dans l'état actuel de l'analyse, et il est, par conséquent, impossible aussi d'avoir rigoureusement les valeurs finies des variations des élémens elliptiques; mais le peu d'excentricité des orbites des planètes , et la petitesse de leurs inclinaisoiis mutuelles , piermettent de déterminer par des approximations successives leurs valeurs approchées , aussi exactement qu'on le peut désirer.' — -

48.|Pour le faire vôir^ et pour calculer généràletaenl toutes les inégalités que l'action mutuelle des planètes peut produire dans"leu4*s mouvement ,- il est nécessaire de réduire en série, la fonction qtae nous avons d^gù^é jpar R. Occuptons-rious donc d'abord de ce développement. En ne conéidérant que l'action

342 THÉORIE ANALïtIQUE

d'une seule planète perturbatrice vd sur /ti ^ on a

L'action des autres coi^ /w", m'", etc,, introduit dans cette fonction des ternies semblables.

Désignons par r, le rayon vecteur de m projeté sur le plan des ^, et par v^ l'angle que fait ce rayon avec Taxe des x\ désignons de même par r^ le rayon vecteur de w! projeté sur le même plan y et par s^\ l'angle que forme cette projection avec l'axe des x^ nous aurons

X = r^ . cos ^^ , jr szz r^ . sin u^ , a:'= r/. cos î^/ , /'== ^f* sinp/.

Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction R, elle devient

Les excentricités et les inclinaisons mutuelles des orbites planétaires étant de très petites quantités^ puis* que ces orbites s'éloignent peu de la forme circulaire, et que leur plus grande inclinaison à l'écliptique ne surpasse pas 7'', si l'on développe la fonction précédente en série ordonnée par rapport aux puissances et a^x produits de ces deux élémens, cette série sera nécessairement très convergente. Cela posé, choisi&îsons le plan fixe ij^es Xy^, qu'on est libre de prendre g volonté j de mabière que les inclinaisons des or>-

bites sur ce plan ^ soient peu considérables ; les valeurs des ordonnées z et 2' seront très petites^ et en développant dans cette hypothèse la fonction R, on aura

•Lv/[r;«-2r/;.co8(v;-i/'H-ir»3; ^/ J

m^ Si/, 3m'. r/^ .co9{pf'P^) m'.^d'^s^*

4" etc.

Supposons^ pour un moment , les orbites circulaires, et couchées toutes sur le plan des xy, en désignant par a et â' les distances moyennes des planètes m et m^ au Soleil, et par nt+e et rit^^ leurs moyens mouvemens autour de cet astre , nous aurons

Qt si l'oA QQnmie R/ ce que devient ,^ dans ce cas, la valeur de R, on a

R =m'. I [a'*-2aa'.co8(/i'^-ji*+i -i)+û']"*- -î^ . cos (71'/ -w^+i'r-i) | .

Nous démontrerons toulà l'heure que toute fonction

de la forme (a'* — 2012^ cos ^ + a')"" ^ peut toujours se développer en une série procédant suivant les cosinus de Tangle «p et de ses multiples : soit donc

+ A /*>. cos 2 [n't' n e+ %-^ 1) + etc. ,

on aura

+^A/0-4j \ cos(7i'/-7i^+ 1 -O+'^/^^^-cos 7.{n't'-nt'\' «'-1)4- etc.

Si Ton observe que les ares negatife ont mêmes cosinus que les arcs positifs correspondans^ on pourra représenter, pour abréger, par

la somme de tous les termes de cette série, Le nombre i devant prendre toutes les valeurs entières positives

ou négatives comprises depuis i=o jusqu'à is==db-,

en^^ant soin dç faire A^""'^'= A^'^ ; et le coefficient A^'^ étant donné par l'équation A^'^ = A/'^ toutes les fois que t'est un nombre quelconque différent de

l'unité , et par l'équation A^'^=A/'^ 71 quand i= i ,

Cette manière X^s^ simple de représenter une série procédant suivant les mulliples du cosinus d'un arc donné et composée d'un nombre jndéfîni de termes, est fort usitée dans toutes les branche^ de Fanalyse , et elle est dW usage très' conimode dans la théorie dû système du moûde, où Ton a souvent de pareilles suites à considérer.

La valeur précédente de R^ deviendra ainsi

ïl<= - .2 . AW.cosi («'<~-n«+e:— é).

Revenons maintenant aux orbites supposées peu excentriques et peu inclinées les unes aux autres. On ' aura dans ce cas, d'après les valeurs du rayon vecteur et de la longitude vraie dans l'orbite elliptique, développées n° 25 ,

r^=a.(i-f-w), /^=:a\{i + ii),

en représentant par u,u', v, v'de très petites quantités dépendantes des excentricités et des inclinaisons. Si l'on substitue ces valeurs dans la fonction R, et qu'on la développe par rapport aux puissances et aux produits de w, w', v, v\ z et z', il suffira de remplacer ensuite ces quantités par leurs valeurs pour avoir une série ordonnée par rapport aux puissances et auk produits des excentricités et des inclinaisons, comme nous nous le sommes proposé. Mais la substitution que nous venons d'indiquer revient évidemment à donner aux quantités a, a%nt^e, rit +6', qui entrent dans la fonction R^ les accroissemens au^ a'u\ V et v', et à joindre à la fonction qui en résultera les' termes du développement de R dépendans des variables 2 et j^. Si l'on fait donc

[a'» — 2fla' . cos (n'< — n« -f- g' — g) -f- o»]" » ?= - . W^ + B^'J. cos {n't — /?<+ e' — «) + B^»^ . cos 1 {rit ^nt + i — g) -f- etc. î=-.2.B^^5cos i{rit — nt-^i — g),

le nombre î dans cette série ^ comme dans la precé-< * dente , deyant s'étendre à toutes les valeurs comprises entre i= — ^ et i = ^, en observant que B^""''^=B^^, on trouvera par la formule ordinaire du développe-^ ment des fonctions de plusieurs variables

R==— .2.A«.cos i(7i7-^n^ + 6' — g)

'rfACO

+ — .M.2.a.f -^-j.cosi(7ï7 — nt^î! — e)

+ -T- • "*. 2 . a* . y-y-r) • cos / {n't-^ nt + g'— g) + j.tt'\2.a'*/-2^).cos/(n'^— n^+g'— g) — —*{v — v).ii\:E.ia.l'^j.smi(nt — n^-f-g'— g)

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ni.zz' , 3ni,az''^ , . . # v

îiJir^\ 2.BW,C0S/(«'/— 7l/ + é'— g)