X* Y^ XY XY

Les deux dernières agissent en sens contraire et se détruisent ; les deux premières agissant dans le même sens, s'ajoutent, et leur somme forme la résultante R. On aura donc

d'où l'on peut conclure que la résultante des deux forces X et Y est représentée en grandeur par la diagonale du rectangle construit sur les droites qui représentent ces forces.

. I^terminons maintenant la forme de (px. Four

ceia^ cokisidérons nive notitléllé fofbé Z tàgissaiit sut le point matëriei M, et dônl là dîïéctiôh Sdît péi^JeiiàcuJaire au plan des forces X et Y. Pour avoir la résultante des trois forées X, Y, Z> on composera d abord en une seule deux quelconques d'entre elles; on composera ensuite leur résultante avec la troisième , et il est évident que la force qui en résultera sera la rbême dans quelque ordre que cette composition se soit opérée. Soit donc, comme précédemment, R la résultante des forces X et. Y, a: Fangle que forme cette force avec la direction de X. Soit S la résultante des forces R et Z , et ^ l'angle que forme sa direction avec la force R ; on aura

X = fti<pjc, R = s.tpy.

Mais si , après avoir composé en une seule leis forces Y et Z , on regarde S comme provenant de la composition de leur résultante et de la force X , et qu'oa désigne par z l'angle que forment entre élleis les forces X et S, on aura

X = S. (pi.

Cette équation, conipàréè à celles qui ptéiM^t,

donne

Çz = Çx.^jr. . . .(a)

Pour déduire de cette équation la valeur de çx, je remarque que les angles x eiy devant être absolument îtidéjiehdÀns Tun de l'autre, on peiit ftiire Varier ces deUit âilglës ^{^afëmént ; si l'on difTétehcië donc par rappolt h x l'équation, précédente , (ju'oii là dif-

féreucie ensuite par rapport à /•, et qu'on divise les deux résultats lun par l'autre ; en faisant pour abréger.

on aura

dx ^ ' dy

dz

dx P'x»^y

az Çx.çy

dy

équation de laquelle la fonction inconnue ^z a déjà disparu.

Considérons maintenant le triangle sphérique rectangle intercepté entre les directions des trois forces X, R, Sj on aura entre les trois côtés oc ^ j^ z de ce triangle, la relation %

COSJ5 = cosa:.cos/j

d'où, en différenciant, on tire

dz sînar cosy d% cosy ûvl y

dx'^ svaz ' dy '^^ sin a

En substituant pour -j- ^^ 'T l^^^s valeurs dans l'équation (i) , on en déduit

smx.ipx ûay.^y

Puisque les deux angles jc et^ sont indépendans l'un de l'autre, il est clair que l'un quelconque des deux membres de cette équation peut demeurer cons-

tant; quelque valeur que Fon donne à la variable contenue dans l'autre membre; on aura donc généralement

^ — Cf

sinx.çx

c étant une constante indépendante de l'angle x. Cette équation, après y avoir substitué pour ç'x sa

valeur -^ donne en l'intégrant

(px = Ccos"^.^,

Ce'tant une constante arbitraire. Cette valeur, substituée dans l'équation X = R.^o;, donne

X = R.C.cos""'. X.

Il ne s'agit plus que de déterminer les deux constantes C et c. Or, si l'on suppose Y nul, on a évi-s demment R=X et xzmo; donc cos.r=T et C = i.

Si l'on suppose Y=X, on a R= v/XM^= X V^

et a: = 5o® j on aura donc X = X.V^.cos—^. 5o**;

mais cos 5o' = —-7=- ; donc c:=i— i , et par conséquent

X = R.cos«r.

Cette équation détermine l'angle x ; elle fait voir que la résultante des deux forces X et Y est dirigée suivant la diagonale du rectangle dont les côtés représentent ces forces.

Concluons donc, enfin, que la résultante de deux forces rectangulaires appliquées à un même point matériel M, et dont les intensités sont représentées

lo THÉORIE ANALYTIQUE

par des lignes prises sur leurs directions , est représentée en grandeur et en direction par là diagonale du rectangle construit sur ces droites.

Il suit de là, qu'à une force donnée on peut toujours substituer deux autres forces qui forment les côtés d un rectangle dont elle est la diagonale. Soit R la force donnée, X et Y ses deux composantes, et a l'angle que forme la force R avec la forcé X; les trois forces R , X , Y et l'angle a seront liés par les équations de condition

X = Rcosa, Y = Rsina, Ji=0L^-f-Y\

Ces équations, qui n'équivalent réellement qu'à deux équations distinctes, serviront à déterminer deux des quatre quantités X, Y, R et £i, lorsque les deux autres seront données.

En étendant à trois dimensions le théot*ème précédent, il est aisé d'en conclure que la résultante de trois forces rectangulaires appliquées à un même point matériel est représentée en grandeur et en direction pai* la diagonale du parallélépipède dont les arêtes représentent ces forces. Soient donc X, Y, Z ces trois composantes, R*leur résultante, et a, A, c les trois angles que fait sa direction avec celle des forces X, Y et Z. On aura

R.COSâ^ Y = R.COS^, té ==: R.COSC

équations qui S accordent entre elles, puisque les

trois angles a, b, c sont liés par la condition

cos*^ •+• cos^b •+- cosV s= I.

Les équations précédentes serviront à déterminer trois des six quantités X, Y^Z^R, aet^^ lorsque Jes trois autres seront connues. Elles détermineront la valeur et la direction de la résultante , lorsque les trois composantes X ^ Y et Z seront données ^ et réciproquement on pourra^ par leur moyen, décomposer une force donnée R en troià autres perpendiculaires entre elles, et formant avec sa direction des angles donnés.

2. De là résulte une manière très simple de déterminer la grandeur et la direction de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel M. En effet, soient P, t', F', etc., les intensités de ces forces; a, af, d , etc. ; h y V ^ ll\ etc. ; Cy c\ d'y etc., les angles qui font respectivement leurs directions avec les trois axes coordonnés ; on décomposera chacune des forces données en trois autres parallèles à ces axes; désignant ensuite par X, Y et Z la somme de toutes les composantes , respectivement parallèles aux axes des x , des y et des z , en sorte qu'on ait

X=2.Pco8a, Y=2.Pcos4, Z = 2.Pcosc^

Toutes les forces qui agissaient sur le point M se trouveront ramenées à trois forces rectangulaires X, Y, Z, et si l'on désigne par R la résultante de ces

trois forces, et par A, B, C les angles que fait sa direction avec les trois axes coordonnés, on aura, pour déterminer ces quatre inconnues , les équations

X = R.cosA, Y = R.cosB, Z = R.cosC.

Si l'on place l'origine des coordonnées aii point M; qu'on désigne par Xy yy z, les coordonnées de l'extrémité de la force P ; par ody jr'y z', les coordonnées de la force P', et ainsi de suite , on aura

cr = P.cosdJ, ^c=P.cosA, z = P.cosc, x' =zY . cos a^y etc. ,

et par conséquent

X= X + x'+ etc. , Y =:^ +^' + etc. ,

Z = z + 2' + etc. ;

dans ce cas, X, Y, Z représentent les coordonnées de l'extrémité de la résultante , dont le carré sera la somme des carrés de ces coordonnées; on aura donc ainsi immédiatement la grandeur et la direction de la résultante.

Si le point M est en équilibre , en vertu des forces qui le sollicitent, leur résultante doit être égale à

zéro ; mais la fonction \/X' + Y* + Z% valeur de cette résultante, ne peut être nulle, à moins qu'on n'ait séparément-

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

ou bien