Pcos^=o, 2.Pcosi = o, 2.Pcosc=o

C'est-à-dîre que, dans le cas de l'équilibre d'un point matériel M sollicité par un nombre quelconque de forces, la somme des composantes de ces forces parallèles à trois axes coordonnés rectangulaires, doit être séparément égale à zéro.

5. Ce théorème offre un moyen curieux de construira géométriquement la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point, ou de yérifier l'équilibre qu'on supposerait exister entre ces forces. En effet, soient P, P', P". . .P^"^ les forces données , que nous supposerons en nombre /z-f-i, et représentées par des lignes prises sur leurs directions. Soient a, b, c, a', b\ etc., les angles qu'elles forment respectivement avec les trois axes coordonnés. Si l'on ajoute toutes ces droites à l'extrémité l'une de l'autre, dans un ordre quelconque, mais dans des directions parallèles à celles qu'elles ont autour de leur point commun d'application , on formera un polygone d'un nombre tz + ï de côtés, ces côtés pouvant être situés ou non situés dans le même plan. Plaçons l'origine des coordonnées à l'origine de l'une quelconque des forces P, P', etc., à lorigine de la force P, par exemple, et désignons

par x^*^^ Y^**\ z^*^- x^'\ Y^*^ z^»^ x«, \W, z^">,

les coordonnées des différens sommets de ce polygone ; il est aisé de vérifier qu'on aura généralement.

i4 THÉORIE ANALYTIQUE

x^"^ = Vcosa + Fcosû' + P^->cosa^-^,

Y« = Pcosi -I- P'cosA' + P^->cosè<»^

z^*^ = Pcos £? + Fcos£?' . . . . -h F'^coscW.

Si les forces P, P'. . . F*^ sont en équilibre , on a n' 2 , jfi) = 0, Y^"^ = 0, z^"^ s= o;

et par conséquent le polygone est fermé. Si l'équilibre n'a pas lieu, les coordonnées x^"^, y^"^, z^"^, étant égales respectivement aux trois coordonnées de la résultante des forces P, P'. . .F"^, n** 2, celte résultante se confond avec la ligne menée de l'orîgipe pour fermer le polygone ; elle est donc représentée en grandeur et en direction par cette ligne. Quant à son sens d'action, il n'est pas équivoque, puisqu'elle doit toujours tendre à augmenter les coordonnées x^"^, y^"^, z^"^; d'où l'on peut conclure encore que cette résultante est égale et directement opposée à la force qu'il faudrait ajouter aux forces P, F. . .P^"^ pour établir l'équilibre dans ce système, ce qui d'ailleurs est manifeste.

Il suit aussi de là, comme corollaire, que si le système de forces que l'on considère se réduit à deux forces P, F, formant entre elles un angle quelconque, la résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces, et que, si ce système se compose de trois forces P, P', P'' non situées dans le même plan, leur résultante est représentée parla diagonale du parallélépipède construit sur ces trois forces.

DU STSTÈICE DU MONDE. i5

4. Supposons maintenant que le point M sur lequel agissent les forces P, P', etc. , ne soit pas libre et qu'il soit assujetti à rester sur une surface donnée; il en éprouvera une résistance que nous désignerons par N, et qui s'exercera suivant la perpendiculaire à cette surfece. S'il en était autrement, cette résistance pourrait se décomposer en deux autres forces , l'une dirigée suivant la normale à la surface, et qui empêcherait le point dç la pénétrer, l'autre parallèle à cette surface, et qui s'opposerait à ce que le point pût s'y mouvoir librement; ce qui est contre la supposition. Si l'o^ considère la résistance N comme une force pouvdUle dofA k point M est animé, il est dair qu'on {Vmrr^ 1? regarder ensuite comme par£dtement libre , et £ûre abstr^iction de la surface donnée. Soient donc a, €, y, les angles que forme la direction de la normale au point M avec les axes coordonnés ; soient X, Y, Z la somme des composantes , respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point M; on aura , pour les conditions d'équilibre ,

N cosa 4- X == o, N cosC + Y =5 o, "j

Ngos> + Z = o- )('")

De ces équations on tire d'abord

c'est la mesure de la résistance dont la sur£ace doit être capable pour n'être pas pénétrée par le point M ; elle est égale à la résultante des forces qui agissent sur ce point , ou à la pression qu'il exerce contre la surface^ suivant la direction de sa normale.

iG THÉORIE ANALYTIQUE

Soit L = o l'équation de la surface donnée ^ x^ jTy z les coordonnées du point M situé sur cette surface; on aura ^ par les formules connues ,

en faisant, pour abréger, K =

fê)-+(^)'+©-J

Si Ton substitue à la place de cos et ^ cos^^ cosy^ leurs valeurs dans les équations (m) , et qu'on élimine entre elles l'arbitraire N, les conditions d'équilibre du point M se réduiront aux deux équations suivantes :

\ ... An)

'^(f)-KS)=»-

Pour voir ce qu'expriment ces équations, désignons par R la résultante des trois forces X , Y, Z , les cosinus des angles que forme R avec les axes coordonnés seront exprimés par -^ , g- , ^î en nommant

donc A, B, C ces trois angles, les équations précédentes donneront

cosA.cos^ = cosB.cosâ&y

cosA.cosj^ = cosC.éosat.

DtJ SYSTÈME DU MONDE. 17

D'ailleurs ,

cos*A + cos'B + cos*C = i,

On aura donc

cos A = cosa, cosB = cosf , cosC = cosj^.

Cest-à-dîre que, pour assurer Téquilibre du point M , il ne sera plus nécessaire, comme dans le cas gênerai, que la résultante des forces qui le sollicitent soit nulle ; il saiEra que la direction de cette résultante soit normale à la surface donnée, afin que le point M ne puisse glisser en aucun sens sur cette surface.

Si la position du point M n'était pas fixée sur la surface , et qu'il s'agît au contraire de déterminer ce point de manière à ce qu'il se maintint en équilibre sous l'action des forces X, Y, Z , les deux équations (n) jointes à l'équation L = o serviraient à faire connaître les coordonnées du point cherché.

Supposons actuellement le point M assujetti à rester sur deux surfaces données ou sur la courbe de leur intersection. II éprouvera de la part de chacune de ces surfaces une résistance dont l'action s'exercera suivant les directions de leurs normales ; en comprenant ces nouvelles forces, dont la grandeur est arbitraire, parmi celles qui sollicitent le point M, on pourra faire abstraction de la courbe donnée, et regarder ce point comme entièrement libre. Désignons donc par N et N' les résistances que le point M éprouve, par cl, €, y, et a', Ç', y', Iss angles que