L-(Yz— Zy) = o, m — (Zx— Xz)=o

N — (Xy — Yx)=o.

Les trois dernières équations qui appartiennent aux momens^ expriment aussi une relation qui doit exister eah« les coordonnées d'un point quelconque de la Insultante* R; elles. peuvent être regardées par consé- ^ent comme les équations des projections de cette force sur -les trois plans coordonnés. Si l'on élimine eatre ces équations les variables x^ y^ z, on aura

LX 4- MY + NZ = o.

C'est Féquation de condition nécessaire pour que les trois dernières équations. (8) puissent appartenir à une même droite, et par conséquent pour que les forces P, P', etc., oient une résultante unique. Lorsqu'on sera assuré que cette équation est satisfaite , les Irois premières équations (8) serviront à déterminer immédiatement la grandeur et le sens d'action de eette force.

Si les forces P, P", etc. , n'ont pas une résultante unique, on pourra toujours les réduire à deux forces, mais ces forces seront indéterminées de grandeur et de.^Urection. Soient en effet R', R", R'^', les trois résultantes partielles que l'on obtient par la composition

de toutes les forces qui agissent sur chaque plan coor-* donne y par les directions des forces R", et R''', menons deux plans parallèles à la direction de la troisième force R'î menons ensuite par cette dernière un nouveau plan qui coupe à la fois les directions des forces R" et R'" : la force R' pourra se décomposer en deux autres agissant dans les pians parallèles à sa direction que nous avons menés suivant ^les forces R^ et R'". Les trois forces R', R", R''', se trouveront ainsi réduites à deux couples de forces agissant dans le même plan, lesquels pourront par conséquent se réduire à deux forces agissant dans des plans diflerens.

Si le système que nous considérons n'était pas libre^ s'il était , par exemple , retenu par un point fixe autour duquel il serait obligé de pivoter, les six équations (8) ne seraient plus nécessaires pour assurer l'équilibre de ce système. Il suffirait, dans ce cas, que la résultante des forces P, P', etc. , passât par le poin\ fixe. Si l'on prend ce point pour Torigine des^coordonnées, la projection de R sur les trois plans coordonnés passant par l'origine, on aura

Ce sont les seules conditions nécessaires pour assurer dans ce cas l'équilibre du système, et la valeur

V/X* •+• Y* 4- Z* de la résultante sera la mesure de la pression que supporte le point fixe.

Si le système était retenu par deux points ou par un axe fixe, toutes les forces perpendiculaires et parallèles à cet axe seraient détruites par sa résistance. En prenant donc cet axe pour l'un des axes coor-

donnés^ pour l'axe des z, par exemple, tout Teffef des forœs qui agissent dans les plans des/z et des xz sera annulé; il suflSra donc, pour assurer l'équilibre du système , que la résultante des forces qui agissent dans lé plan des ay soit dirigée sur l'axe des z, ou passe par l'origine des coordonnées , ce qui réduit les conditions d'équilibre à l'ëquation unique

Cest-à-dire qu'il faut simplement y dans ce cas , que la somme des momens relatif à l'axe fixe soit nulle*

8. Supposons maintenant que toutes les forces qui agissent sur le système soient parallèles entre elles ; à l'on fait dans les équations (8), a = a'=:i/'=:etc.y J= t' = A"==etc., c = c' = €?"=etc,, on aura^ pour déterminer la valeur et la direction de la râultante , les équations suivantes ,

cas*.[z.2.P — 2.Pz] = cos£?.[y.2.P — 2.Py], C06c.[x.2.P — S,Pa:]=icosfl.[z.2.P — 2.Pj3]> cosa*[Y.2.P — 2.P^3 = cosA.[x.2.P — 2,Px].

D^où il suit : i^. que la résultante est parallèle aux composantes, et égale à leur somme; 2'*» que les momens de la résultante , par rapport à chaque'^axe coordonné, sont égaux à la somme des momens des composantes, relatifs à cet axe.

On satisfait aux trois dernières équations préoé* ^^entes, indépendamment de toute valeur donnée aux Tome I. 5

34 THÉORIE AMALYTIQUE

angles à, b, c, en' faisant