Tome I

45o THÉORIE ANALYTIQUE

Reprenons les équations (A) du numéro précédent^ sans y rien négliger : si l'on substitue pour xdjr — ^dx^ ^'dy — ydx* y etc., leurs valeurs, et qu'on suppose, ce qui n^ôte rien à la généralité de la démonstration, M ^- m = I , M + //i' = I , etc. , la première de ces équations devient

m.\Ja.{\ — e^).co%(p-\-Tri .\/al .{x — e'*).cos^'-f-etc.

, /ydx '^xdy'+ Vdx — x' dy\ . ^ , ^ = /w/w' . [^ ^t J ^ ^*^* "^ ^'

Si Ton fait abstraction des variations périodiques, et si Pon néglige les quantités du quatrième brdi'e, par rapport aux masses m et m\ le premier terme du second membre de cette équation peut être regardé comme constant. En effet, le produit j-^à:' ne saurait contenir de termes non périodiques , lorsqu^on y substitue pourj* eï dx' leur valeurs elliptiques; caria valeur àejr ne contenant que des termes périodiques dépendans de /z'^, tandis que la différentielle dx' ne contient que des termes périodiques dépendant de lit, le produit/iijc' ne peut renfermer aucun terme où les moyens mouvemens nt et n't se détruisent. Si ce produit contient des termes non périodiques, ces termes sont donc du premier ordre , par rapport aux masses m et m' ; et comme ils sont fonctions des élémens elliptiques de m et de /;/, leur variation est du second ordre, et par conséquent la variation du produit mni.ydx' est du quatrième; il en serait de même des autres produits xdy , fdx , aidy.

La même observation peut se répéter à l'égard des autres termes du second membre de l'équation pré-

cedente, puisqu'ils sont tous absolumeiit de même forme que le: premier. Ce secoad membre doit donc être considéré comme une constante, indépendante des -variations: séculaires que subissent les élémens des orbites de m^ m'^ etc., du moins lorsqu'on néglige les quantités du quatrièpie ordre , par rapport aux masses m^ m', /w", etc.

Il est aisé dé voir encore que si, dans le premier membre de la même équation, on substitue à la place des élémens elliptiques la partie périodique de leur valeur ,^ les termes non périodiques qui en résulteront seront de Tordre ni^ , et pourront être regardés comme constans, aux quantités près de l'ordre m^.

La première des équations (i) devient ainsi

Les deux autres intégrales (Â) donneraient de même

jî». V^a.(x — c*).sîn^cos«e-4-OT'. V^a'.(i — /^).na^0Mi/

+ m' . x/aT.ii—e"^) . sîn ^'cos a + etc. =C, m, Ya.{i'^e*), gm^sin «e+m'. V^a'.(i— /').«în^'iîii^ -f I»' . \/a'.{i--é^y stn f «în et" + etc. == C.

Et ces équations, exactes aux quantités jHrès dn qua-trième ordre , subsisteront , quelques changemens que subissent dans la suite des temps les excentricités et les inclinaisons des orbites en verta de leurs variations séculaires , même en ayant égard , dans la détermination de ces variations , au carre des fwoes perturbatrices.

Si Ton ajoute ensemble les trois équations précédentes après ayoir éleyé au carré les deux membres de chacune d'elles; que pour simplifier on ne considère que Faction réciproque de deux planètes m et m!, et qu on nomme y l'inclinaison mutuelle de leurs orbites 9 en observant que

cosj/ = cos ^.cos ^'+ sin^ . sin ^' . cos {a! — a),

on aura

'•{-nmm. V^a,(i-^). V^a .(i -#'*). oo«y = constj

Celte équation coïncide avec Téquation (d) à laquelle nous sommes parvenus n* 77 , en n'ayant égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices. On voit que cette équation est exacte en considérant même les termes dépendans du carré de ces forces , et Ton en peut conclure , comme dans le • numéro cité, la relation suivante.

qui se vérifie en effet lorsqu'à la place de cT^, cT^, ^y^ony substitue leurs valeurs dépendantes nonseulement de la première puissance , mais encore du carr^ des masses m et m'y et exactes aux quantités près du quatrième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Si l'on fait passer dans le second membre de Féquation (g) les termes constans , elle devient

Oa peut écrire d'une autre manière cette équation, en observant que Ton a

sin*v C08>= I — — ; — ^— ;

'^ I + cos y

d'où l'on tire

V i-**.K i-tf •.cosy=i ^^ — ,- 7~=t ^-.

i + y/i—^a i + V^i-e'- i+cosy

Substituons cette'valeur dans Féquatîon (A:), et faisons passer dans le second membre le terme constant :imm' . a^al^nn! ^ nous aurons

C étant une Constante arbitraire.

La valeur de cette constante est une très petite quantité par rapport aux carrés et aux produits des masses m et wl ^ puisque ces carrés et ces produits sont multipliés dans le premier membre de cette équation par e*, e'', sin'^, et que nous supposons <Ju'à une épocpie déterminée les excentricités et l'inclinaison mutuelle des orbites sont très petites. Il suit dé là que chacun des termes du premier membre restera très petit par rapport aux carrés et au produit de m et m', tant que ces termes seront de même signe , puisque

454 THÉOUIE ANALYTIQUE

chacun d*eûx sera alors nécessairement plus petit que la constante C du second membre. Or, si les planètes m et m' sont supposées tourner dans le même sens autour du Soleil, comme cela a lieu dans là nature, les moyens mouyemens nt et n^t seront de même signe ; les six termes du premier membre de l'équation (Hj seront donc positifs tant que l'angle y sera plus petit que go*; mais si l'on suppose y = 90°, on a sin 5.= i, cosj' = o. Le dernier terme de l'équation (H) n'est donc plus très petit par rapport à mm' , ce qui est impossible, puisque la constante. G est très petite par rapport au produit des masses m et /?/ et que les autres termes du premier membre sont positifs. L'angle y ne pouvant jamais atteindre 90* , il s'ensuit que l'inclinaison y et les excentricités e et e' des deux orbites demeureront toujours peu considérables; car cos j^ ne pouvant pas devenir négatif, tous les termes du premier membre de l'équation (H) seront positifs, et chacun d'eux par conséquent restera toujours très petit par rapport aux carrés et aux produits des masses m et m\ ou, ce qui revient au même, les coefhciens e*, e'*, sin*^ de ces termes seront toujoui^ de très petites quantités, comme ils le sont aujourd'hui.

Les mêmes raisonnemens s'appliqueront évidemment à l'équation (H) quel que soit le nombre des planètes m, m', m', etc., que l'on considère, puisque chacune d'elles ne fait qu'ajouter au premier' membre des termes semblables à ceux qui le composent.

Concluons de là que la stabilité du sjstème plané-

taire est assurée par rapport aux excentricités et aux inclinaisons des orbites ^ comme elle Vest par rapport aux grands axes, quelque loin que C on pousse les approximations relativement aux excentricités et aux inclinaisons , et en ajant égard aux termes du second ordre par rapport aux masses perturbatrices. ^

79. Nous avons vu , dans le n° 28 du I" livre > que dans le mouvement d'un système de corps , il existe un plan qui reste toujours parallèle à lui-même et que, par cette raison , nous avons novaxaéplan inva^ riable. La propriété remarquable qui le caractérise , c'est que la somme des masses des diflerens corps du système, multipliées respectivement par les proj ections des aires décrites par leurs rayons vecteurs dians un temps donné; est un maxinçium par rapport à ce plan, et qu'elle est nulle par rapport à tout autre plan qui lui est perpendiculaire.

La position du plan invariable se détermine au moyen des trois équations (A). En effet, si l'on nomme <S> son inclinaison sur le plan des xjr, et II la longitude de son nœud ascendant , on aura , n^ ^3 , liv. 1% pour déterminer ces deux angles, les équations

tang<&.sinn=-^, tang<&.cosn=~,

et par conséquent en substituant pourC, C , C, leurs valeurs

'.8inn= ■ = ' • ■ ■ I

m. V/a.(i-e*).cos^4-iîi . V/a'.(i-« *).cos^'+6*c.

m,v a,(i^e^),sm(^.costt'^m\t^ a Ji^e *).sin^'.cos«'+etc. J^.C08lI= — ■ -^— -^

ome L *

Nous dirons démontré que les seconds membres dès équations (A) sont constats , quelles que soient les variations séculaires qu'éprouvent les élémens elliptiques qui entrettt dans le premier membre , et lors même qu'on a égard aux termes du second ordre dans la ^ détermination de ces variations ; d'où il suit, par conséquent, que la position du plan maximum des aires demeure encore invariable lorsqu'on a égard auxperturbationâ causées dans les mouvemens elliptiques des planètes par leur action mutuelle , et qu'on porte les approximations jusqu'aux carrés des masses»

On voit par les équations (K) que, pour fixer exactement la position du plan invariable, il faudrait coù* naître les masses de tous les corps du système solaire, et les élémens de leurs orbites; c'est ce qu'on est loin encore d'avoir avec précision'; mais comme les planètes dont nous connaissons les masses sont celles qui doivent le plus influer sur la position du plan invariable, et que tés masses des comètes paraissent en général àsses^ petites pour que l'on puisse négliger leur action , il sera facile au moyen des équations (K)^ et avec les données que nous avons sur les élémens du système du monde, de déterminer d'une manière approchée là position de ce plan. En prenant pour plan fixe celui de l'écliptique au commencement de l'année i ySo , et la ligne des équinoxes pour la droite à partir de laquelle on, compte les longitudes , on a trouvé ainsi ^ pour l'époque de i ySô ,

n===io^«57'5o^

£a sùbstitaant ensuite dans les équations (K) poiir e,(p, a, e\ ^', a', etc. , les valeurs que ces quantités auront en 1960 , on a trouvé pour cette époque ,

Ces Valeurs diffèrent très peu des précédentes , et ce résultat peut .servir de vérification aux formules (K) et auk données employées pour les convertir en nombres.

Un géonfiètre distingué a fait dans ces derniers temps , sur la théorie du plan invariable^ quelques observations d'où il senfible résulter qu'elle n'est pas complète et que sa détermination, telle qu'elle résulte des formules pré^ cédentes, n'est pas suffisamment exacte. Il lui paraît évî^ dent que pour fixer la détermination de ce plan, on doit avoir égard aux aires engendrées par la rotation du So* leil et des planètes autour de leurs centres de gravité. La remarque est de toute justesse si l'on considéTe en général le mouvement d'un système de dorp6 stftfràb à leurs attractions mutuelles; maison va voir que la constitution du système solaire autorisée! justifie Tomi^ion que nous nous sommes permise de ces quantités.

I*. Nous remarquerons d'abord que c'est un fait confirmé par toutes les obsei^vations , que lorsqu'il s'agit des mouvemens des centres de gravité des corps célestes, les grandes distances qui les séparent ne lais* sent subsister que les effets résultant des actions prin^ cipales qu'ils exercent les uns sur les autres , et font disparaître l'influence des causes tecondaires, telles que là loi de lettr detlsité , leur fotme, lés fluides qui

les recouvrent , etc, La figure presque sphérique des corps célestes contribue encore à Texactitude de ce résultat, qui forme Tun des principaux avantages qu'ofire aux géomètres la constitution du système du monde. On peut donc^ lorsqu'on n'a en vue que de déterminer les mouvemens généraux des planètes et des comètes, considérer le système solaire comme un assemblage de points matériels réagissant les uns sur les autres , et le plan invariable , tel que nous l'avons défini jusqu'ici, est celui qui existerait dans un pareil système. Ce plan ne coïncide pas exactement, il est vrai , avec celui qui a lieu dans la nature , où les corps célestes ne sont ni homogènes ni parfaitement sphériques, mais il n'en difiere sans doute que très peu , puisque les quantités négligées dans sa détermination ont paru jusqu'ici insensibles.

2*. Dans tout système de corps de formes quelconques, et soumis à leurs atti^actions réciproques, il existe un plan invariable ^ et ce plan est unique , si l'on entend dans un sens absolu le mot im^ariable. Mais le plan invariable n'existe pas de fait dans la nature, c'est une abstraction mathématique qui résulte des lois générales du mouvement; il suffit donc aux besoins de l'Astronomie de connaître un plan dont on soit toujours certain de retrouver la position à telle époque qu'on voudra. En ce sens, il peut exister plusieurs plans invariables, selon qu'on négligera ou qu'on aura égard aux dimensions et à la nature des difierens corps du système ou de quelqu'un d'entre eux. U suffira, pour les déterminer^ d'évaluer les quantités qui servent à fixer leur pooitiou dans la

même hypothèse aux diverses époques qu'on voudra considérer. Ainsi doncles équations (K) ne doivent être regardées que comme une relation qui existe entre les élémens des orbites qu'elles renferment, sem* blables à celles qui ont lieu entre les excentricités et les inclinaisons^ et qui se vérifiera toutes les fois que ces élémens seront calculés en faisant abstraction des quantités que nous y avons négligées.

5®. D après cela, et comme Ta fort justement observé M. Poisson, on ne voit pas quel serait lavantage de faire entrer dans la théorie du plan invariable la considération de la rotation du Soleil, ce qui obligerait à avoir égard aussi à la densité de cet astre dont la loi nous est totalement inconnue , et ce qui rendrait par conséquent la détermination rigoureuse de ce plan absolument impossible. Sa position au contraire, telle qu'elle résulte de la théorie précédente, ne de*' pendant que des rapports des masses des planètes, et d autres données fournies par 1 observation, sera toujours facQe à retrouver, et Ton poorra juger aiim des changemens réels sorvenus dans les positions des orbes et des éqnatenis planétaires, œ qui rend ladé-^ couYerte du |dan dont il s'agit si prédense aux astfo*

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