Tome I

434 THÉWllE-ANALYTIQDE

Si Ton suppose ^ comme dans les n** 46 et 64 f

la formule {h) deviendra

Cette formule servira à déterminer la variation séculaire de la longitude 6 de l'époque, causée par l'action de la planète perturbatrice ni ; l'action des planètes /7i'% /«'", etc. , ne fera qu'ajouter au second membre de l'équation précédente des termes semblables , qu'on obtiendra en y marquant successivement d'un accent de plus les lettres a' , A% c% p* et /. Si dans l'expression résultante on change ce qui a rapport à la planète m en ce qui est relatif à /n% et réciproquement, on aura une formule semblable pour déterminer la variation dé^ relative à m' j et Ton aurait de la même manière les variations rfê", rfe'", etc. , qui se rapportent à wi', wl" ^ etc. Nous continuerons, pour pliâ de simplicité, à ne considérer que l'action mutuelle de deux planètes m et wl ^ ce que nous dirons pouvant aisément s'étendre à un nombre quelconque de corps /w, m', ni y etc.

Nous aurons ainsi

A' ^ (?;s)+(?;^). .(6'-+c'*)+(^), .(W'+co ]

Il est aisé de vérifier sur les équations (i) et (3) la

ation que nous avons vue exister généralement Ire les variations séculaires des longitudes d'un itème quelconque de planètes m, m' y ni' , etc. En

et, si l'on multiplie la première par m s/a, la se-

ide par mt \/a\ qu'on les ajoute en observant que

/a.nz=2 al\/al . ii'= i , et que les valeurs que nous

)posons aux quantités(fl, al) , \aly a\ etc., donnent m v/â . (^yÇjri V^.(^) = mni • A^,

—7 . mni . aa! . BCO; m y/Z. {afi\ + mV^ • {^\q)^

= - • mm' . F- . aa\ BCo)— (a* + a'*) . BCO,"!

ml/ a.(a^^^+m' y^^.(y^Yz=:^Lmm\aa .BCO^

aura, en mettant la fonction F du n** 53, à la ice de la valeur qu'elle représente

+ imii»\ ^-aû\BCo)— (a»+û'*).BCOn . (iy +cO,

nation qui, en substituant pour B^*^ et B^*^ leurs vaars, et les sjrmboles [a,a'], [ô^îj à la place des lantités qu'ils représentent , devient

• — m V/â . [^] . (éy + ce'), (c)

fonction F est constante relativement aux varrians séculaires n* 57; il en est.de même dci la fotic-^

tion

En effet, si on la diflefencie par rapport Sib^V ^Cy c', et qu'on substitue pour dby db\ dc^ de* leurs valeurs données par les équations (F) du n^ 64 > dans lesquelles on ne considérera que l'action de deux planètes /w et m', et qu'on observe que l'on a parles n*^ 65 et 69

d'où Ton tire par conséquent

on verra que cette différentielle se réduit à zéro. Ainsi donc le second membre de Téquation (c) est constant ; de sorte que si l'on ne considère dans dé et de que les ternies qui sont dépendons du temps t, ou pourra en faire abstraction, et l'on aura entre ces termes l'équation

Nous verrons, comme nous l'avons dit n** yS, qu'il est inutile d'avoir égard dans les expressions des va* riations séculaires de £et de 6^ aux termes simplement proportionnels au temps ', parce qu'ils se confondent avec les moyens mouvemens nt et nU dans les expressions des longitudes moyennes de m et de m' ^ et qu'ils demeurent d*ailleurs toujours insensibles; on aura donc immédiatement, au moyen de l'équation précé^

ente, la variation séculaire de c' lorsque celle de f 3ra connue y ou si Ton a calculé séparément ces variations y cette équation servira à vérifier les valeurs rouvées. Ces valeurs seront de signes contraires, et en

adson inverse des produits m \Ja et rrl \/cl , ce qui accorde avec le résultat auquel nous étions parvenus ar une autre voie n* 56.

75. Occupons-nous maintenant de déterminer la aleur de €; pour cela reprenons la formule (i)

5= (fZ) + (iîî'). • (*• + ^') + ^X . Q>V + ce')

Pour intégrer cette formule, il faut, dans le second membre , remplacer les quantités A , ^ , A' , c' ,/?,/?' , 1><f j par leurs valeurs en fonction du temps u Or 30US avons donné deux moyens de les obtenir, l'un lui peut servir à déterminer ces valeurs pendant plusieurs siècles avant ou après Tépoque que Ton a choisie >onr origine du temps ^ Tautre'qui embrasse un nombre d'années indéfini. En substituant donc les premières valeurs dans le second membre de Téquauon (i), on aura, pour déterminer la variation de la longitude € de l'époque, une expression qui pourra se'tendre à plusieurs siècles, ce qui suffira presque toujours aux besoins de l'Astronomie, et en employant 'es secondes, une expression qui fera connaître sa va- 'cur exacte lorsque cela sera jugé nécessaire.

Si l'on désigne par h^, c^, h\, c'„ p,, q^,p\, q\, les •valeurs de è, c , V yc\p ^q ^p' ycf relatives à l'époque * Ou Ton compte le temps, les équations (P) et Çc)y

n*' 64 et 69^ donneront^ après les avoir intégrées en y regardant les élémens elliptiques comme constans, et en négligeant les termes très petits de Tordre ^%

Qu'on substitue ces valeurs dans l'équation (i) et j qu'on fasse pour abréger \

" d< ''' dtj* 1

on aura !

d€^=iÈL.ndi'\':i.'Ridti d'où l'on tire en intégrant

C'est l'expression de la variation de la longitude et de

44o "^^?:- THÉORIE ANALYTIQUE

turbations sont les plus considérables , ce terme est pour Jupiter^

— o'.ooôooo65oi • ^•,

d'où^ en vertu de Tequatiou (3), on conclut pour Saturne

+ o'.oooooi5ii4 • ^*#

t désignant un nombre d'années juliennes. Ces inégalités ne s'élèveraient pas, par conséquent, k un soixantième de seconde sexagésimale dans un siècle; elles sont insensibles par rapport aux plus anciennes observations qui nous soient parvenues.

Mais ce même terme devient très sensible dans la j théorie de la Lune , et sert à expliquer la variation séculaire que les observations ont fait remarquer dans l'expression de sa longitude. En eflFét ce terme est pour la Lune

De sorte que, dans un siècle, cette inégalité peut s'élever à plus de 10'', ce qui s'accorde assez bien avec lés observations qui là font ' monter à 9' à peu près. En multipliant 10', 2066 par le carré du nombre de siècles écoulés depuis l'époque d'où Ton compte le temps , on aura l'accélération du moyen mouvement de la Lune, due à son équation séculaire. 76. Déterminons maintenant, quoique cette donnée paraisse peu nécessaire dans l'état actuel de l'Astronomie, la valeur exacte de la variation séculaire de €. D faudra pour cela substituer , comme nous l'avons dit^ dansrexpression de di les valeurs des quantités &, c,b',

DU SYSTÈME DU MONDE. 44i

^\ Pf 9 9 p' 9 ^'9 déterminées par les formules des il* 65 et 69 , et comme ces valeurs sont exprimées par des suites de sinus et de cosinus d angles croissant avec le temps t, la variation de, sera intégrable. Les termes constans qu'elle pourra contenir donneront dans £ des termes proportionnels au temps qui se confondront avec le moyen mouvement dans l'expression de la longitude moyenne y et les termes en sinus et cosinus produiront des termes semblables qui exprimeront les variations séculaires dont cette longitude peut être affectée.

Les formules du no 65 donnent , en ne considérant que Faction mutuelle de deux planètes met m',

Zr» + c» = M« + M% + 2.MM^.cos.[(A'— A).i + /— /] W'-Ha?'=:MM'+M M;+(MM;+M'M^) . C08 . [(A A)<+/ /].

On a , en second lieu , en nommant ^ Tinclinaison mutuelle des deux orbites, et en remarquant que cette inclinaison est invariable, n° 55,

tang«(p. = (;;'— ;;)* + (y'-7)*=N%

N étant une constante.

Si Ton substitue ces valeurs dans la formule (i) , en faisant pour abréger

A'i»=(â^')+(â2), . (M»+ M/) + (^\ .(MM'+M,M;)

B'=2. (ô^'), .MM'— 2.(^), M'M',+@), .(mm;+m;m').

44a THÉORIE ANALYTIQUE

on aura

Si, dans cette équation, on néglige le premier ternie du second membre qui ne produit dans l'expression de £ que des termes proportionnels à n/, termes dont on peut faire abstraction comme nous l'ayons vu n* yS, on aura en intégrant

J^ez=: , . . sin .[(^/'— ^) -^H-'j — /]•

C'est l'expression de la variation séculaire de la longitude de l'époque relative à un temps t quelconque.

Cette variation séculaire, comme celles des autres clémens de l'orbite elliptique, est périodique ; mais sa période , qui dépend de l'argument h^ — h, est extrêmement longue. Nous verrons, par exemple, dansla théorie des planètes, que, pour Jupiter et Saturne, elle est de 70414 années.

L'expression précédente de J^e monti^ encore comment la variation différentielle de, quoique composée de termes de l'ordre des masses m et /// , peut cependant devenir sensible dans la suite des siècles, en acquérant par l'intégration un très petit divisear ^^ — Adu même ordre. Nous montrerons toutefois; lorsque nous appliquerons les formules précédentes à la théorie des planètes, que, relativement à Jupiter et à Saturne, celles d'entre elles dont les masses sont le plus considérables, ce coefficient ne s'élèverait guère

<|u'à un millième de seconde , et que par Conséquent les variations séculaires de la longitude de l'époqiie peuvent étire regardées dans cette théorie comme al> solument insensibles > ce qui est conforme à ce que nous avons dit dans le n** jS.

Enfin la formule (d) peut servir à trouver une valeur de e plus exacte que celle que nous avons donnée dans le n^ cité , en réduisant en série ordonnée par rapport aux temps t les sinus qu'elle renferme^ et en négligeant les termes constans ainsi que ceux qui sont simplement proportionnels à ^^ et qui se confondent avec le mouvement moyen dans l'expression de la longitude moyenne.

De la stabilité du système solaire.

77. Nous avons vu, dans le n* 65, que la stabilité du système solaire reposait sur deux conditions: i "". l'invariabilité des grands axes des orbites planétaires, a"", le peu d'étendue des limites dans lesquelles doivent être constamment renfermées les variations séculaires de leurs excentricités et de leurs inclinaisons.

Nous avons démontré la première proposition en ayant égard à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons , et en portant les approximations jusqu'aux carrés des masses perturbatrices.

Nous avons prouvé ensuite, en regardant les excentricités et les inclinaisons comme de très petites quantités dont il est permis de négliger les carrés ,

> et les produits^ que les orbites des planètes resteroi;^ dans tous les temps presque circulaires et peu îyiw clinées les unes aux autres ^ comme elles le sont aujourd'hui. Cette approximation. suffit sans doute aux besoins de l'Astronomie; mais le pdncipe de la conservation des aires fournit une démonstration nouvelle de cette proposition , qui a l'avantage d'embrasser toutes les puissances des excentricités et deà inclinaisons , et qui peut même s'étendre aux termes du second ordre , par rapport aux forces perturbatrices. Gomme un point aussi important dans la cod&! titutiondu système du monde ne saurait être établi avec trop de précision^ nous allons la développer id^ et prouver par ce moyen l'éternelle petitesse des excentricités et des inclinaisons des orbes planétaires^ en poussant les approximations aussi loin que nous l'avons fait pour démontrer l'invariabilité de leurs grands axes. ...

Reprenons, pour ceteflFet, les trois intégrales qii6 nous Ont fournies n° 9 , en vertu du principe cité , les équations différentielles d'un système de corps w, 7w% m", etc., circulant autour de MjNCes formules peuvent s'écrire ainsi

C, C, C étant de& constantes arbitraires.^^

n est aisé de retrouver,- au moyen de ces équations, les diverses relations qui existent entre les excentricités et les inclinaisons des orbites d'un système de corps, m, m', m'', etc. En eflFet, ydx — xdy est le double de l'aire que décrit pendant Tinstant dt la projection du rayon vecteur de m sur le plan des xy. L'aire décrite par ce rayon sur le plan de Torbite sup-

posée elliptique pendant l'instant dt est — \/^a.(i-e*)j

pour rapporter cette surface au plan des xj^ iliaut la multiplier par le cosinus de l'inclinaison ^ de l'orbite sur ce plan \ on aura ainsi

On aurait de même, par rapport à /w',

y'dx'-^x'dy' y , , , , A.a\(i— «'*)

dt r r \ ^ "^ V I +tang>' '

et ainsi de suite.

Il faut remarquer que ces valeurs déduites de la considération du mouvement elliptique subsisteront encore dans le cas du mouvement troublé ^. puisqiie "pendant chaque intervalle de temps infiniment petit de , les corps m, m% etc. , sont supposés se mouvoir dans des orbes elliptiques; seulement' il faudra alojps regarder lesélémens a, a\ e, e', <^,<p', etc., comme variables en vertu de leurs inégalités périodiques et séculaires. Nous ne nous occuperons ici que dé ces dernières variations. Cela posé, si l'on substitue les

valeurs précédentes dans la première des équations (Â)y qu'on néglige les masses m^rn! y etc. , par rapport à la masse M du Soleil prise pour unité, ce qui donne /t =s I y ft' = I y et qu'on fasse d'abord abstraction des termes qui sont de l'ordre du carré des forces pertn^ batrices, on aura j

•v/"t^+"' -v/fi^^^^"-»*:, «

G étant une constante égale à la valeur du premier membre de cette équation dans un instant donné.

Cette équation exprime donc une relation qui doit toujours exister entre les excentricités et les inclinaisons des orbites planétaires, quelques changemensqne leurs valeurs éprouvent dans la suite des temps en vertu de leurs variations séculaires.

Si l'on néglige les quantités de l'ordre e^ et e* f ; cette équation devient

m {/â+m' v/ô'+etc.-i.m v/fl.[^+tang«f]-îm' V^^.le^+Um^f'] — etc. = C.

On peut faire passer dans le second membre la partie

m \/a -f- ni \Jo!\ + etc., qui est constante puisque tf, ci y etc., sont constans séparément; on aura donc, aux quantités près de l'ordre e* et e*^*,

i»j/^(*»+taiig»fp)+w*' j/5".(/*+tang»^0+etc. =consl.(fl)

Nous avons vu , n** 54, que lorsqu'on n'a égard qu'aux premières puissances des excentricités et des

inclinaisons, les variations séculaires de cesëlémens sont données par des équations différentielles îndé* pendantes les unes des autres, c'est-à-dire que les variations des excentricités sont les mêmes que si les orbites étaient dans un même plan , et que les variations des inclinaisons sont les mêmes que si ces orbites étaient circulaires. L'équation précédente , en y supposant tour à tour ^=o, ^'=o, etc., et e=o, é:=zOy etc., donnera donc, dans ce cas,

m Va. e*-f-m'v/^' •^'*+ etc. = Constante, m \/a . tang*Ç» + m' \/? . tang* ^'4- etc. = constante ,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans Jesn®* 54, 65 et 69.

Si, dans la seconde des équations (A) , on substitue

de même, à la place de — ^ — , savaleur \/a.(i-a*)

multipliée par le cosinus de l'angle que forme le plan de l'orbite avec le plan des xz , cosinus qui est égal à sin ^.cosât, (t étant la longitude du nœud ascendant de cette orbite sur le plan des xy j en négligeant les termes de l'ordre m/»', on trouvera

Ht |/a.(i — e%fî\VL^ cos#t-f-/i»' V^a'.(i — e''').sin^'cos«'-|-etc.:=cott8t. (i)

La dernière des équations (Â) donnerait de même , en observant que sin ^ • sin a est égal au cosinus de Viaclinaison de l'orbite de m sur le plan des j^z.

m v/a.(i — tf").8În^sîii «+»*' j/a .(i— ?*).sin ^^sînee'4-'etc.=const. (c)

Si dans ces équations on néglige les quantités de

l'ordre du carré des excentricités et des inclinaisons

ce qui permet de prendre les tangentes des angles (fj <p^, etc. f k la place de leursi sinus, en faisant

p = tang (p . $m et., ? == tang (p • cos cl, p' = tang <p\ sin cl', ç'sss tang ^'4 cos a/, etc.,

on aura

m s/a.p-^-rn! \/a\p*+,rri' \/a''.;9"+etc.=const. m\/a . ^ 4- /7i' y/a' . 9'+ m" V^a" . q^'+ etc. = const . ,

équations auxquelles nous sommes déjà parvenus dans

les n* 54 et 69.^

Si Ton ne considère que l'action mutuelle de deux planètes m et m', qu'on désigne par y Finclinaison de leurs orbites l'une sur l'autre ,^ et qu'on obsene que p i q i cos ^, et p' , q\ cos (p' étant les cosinus des angles que forment les plans de ces orbites avec les trois plans coordonnés, on a

cos y = ùôs ^.cos ^' +pp' + qq^*

On trouvera , en ajoutant ensemble les carrés des trois équations (a), (b), (c)

+ 2./?*/w'. \/a.(i-e*).V/a'.Ci-tf''').cosy;==const.,j

ou bien en observant que cos y^=:ï — 2.sin*.-.j'; on aura

[m. y/aXi^^y^it'. t/a'.(i— «'«y

— 4.»»»»'. V «•Ci-«')-V^« .(i-#"').sm*.-y= court.

Si Ton néglige les quantités du quatrième ordre , par rapport aux excentricités et aux inclinaisons , et qu'on fasse passer dans le second membre les termes tout constans, on trouve

i»l/â.^+ii»V^-«'*H 7= 7=^ =C.

mya + mfya'

La constante C est égale au premier membre de cette équation à une époque déterminée ; elle doit donc être indépendante des variations des élémens e, e', y* Si l'on désigne donc par J^e, ^T^, ^y ces variations^ et quV)n observe que a et a' sont con&* tans , on aura

my a^m y a

relation qui doit toujours exister entre les variations séculaires des excentricités des deux orbites et de leur inclinaison mutuelle, et qui se vérifie en effet , lorsqu après avoir déterminé leurs valeurs , on les substitue dans cette équation.

78. Voyons maintenant comment, à Taidç des équations (A), on peut démontrer que les excentricités des orbitçs et leurs mutuelles inclinaisons resteront toujours très petites, en ayant égard au carré des masses m , /w', etc. , et à toutes les puissances des excentricités et des inclinaisons.