N^•^e^cos.[/(7^^^— w^+e'— 6;+2;î^+2c— 2û

-| .N^*\eô'.cos.[l('ï'/-7^/+^'"-^)+27^^+2ft-a;-û>'3

+ — • m), ee' .COS. [/(«'i-/2/4.£'.£)4-«-^'J

« étant susceptible de toutes les valeurs entières positives et négatives, en y comprenant zéro, et en ajrant soin seulement de rejeter, dans ce dernier cas, les termes tout constans.

Nous supposons, pour abréger dans cette «t pression,

^,— )+2.(i— i).AC'-0, N(o)= i.Q(4f-5).A(0+2.(a/-,).a.(^)+a'.(î^-)]. NCO =-i.r4.(i-i)«.AC'-0+2.(/-i) ,a/î^^^)

NW = ^.[(£-.).(4..3).AC<-0-3.Cai.3K.(^)+«'.(^tl')^

«cwI.[4.-.ACO-^-2)...(^)],

NCO = i.^4.(^-I)^AC'-0-2.(f-,).a.(î?^I2^ NP) = i.r4.(i+i)«A('+'>+a.(»+i).a/^^!^)

Le nombre /doit être supposé positif et plus grand que zéro dans ces trois dernières expressions , le cas de / = o ne donnant dans R que des termes non périodiques. Nous désignerons par N^"^^ ce que devient N^*^ lorsqu'on y change i en — -z ; il est aisé de voir qu'on a alors NC-s)= m\

Il est commode , pour les applications numériques, de n'avoir dans les formules que les différences relatives à l'une ou à l'autre des deux quantités a et a. On trouve alors, par le n° 62 , en transformant les différences relatives à û^ en différences relatives à a,

Si l'on substitue dans les formules des n** 42 et Zfkla place de R sa valeur , on aura , par la simple ifférentiation de chacun de ses termes, les termes corespondans des variations différentielles des élémens .e l'orbite de m, et Ton en conclura ensuite par l'inégration leurs valeurs finies. On trouve, de celte nanière, en bornant les approximations aux prenières puissances des excentricités et des inclinaisons,

Pour la variation du demi grand axe

a = — m'a* . —, . A^O . cos . i(nt — nt + 1'— 1)

— ma*e , —~^^\^ • M^*^ . cos . li(n t^nt+t"-^) +nt+ 1-*»]

Pour la variation du mouvement moyen

^= - . mfa . -r-? — ^ . • A^'^ . sîn . {(nt- ni+ l'-f )

+^.m'ae. ^I''^}'f ' . MC«). sin . [i(/i'^-7it+i'-.i)+n«+i-«]

On peut remarquer ici que la double intégration où résulte la valeur de Ç donne pour diviseur à baque terme du développement de R, le carré du oefficient qui multiplie le temps t sous les signes 5*/us ou cosinus^ ce qui rend ce terme très grand , )rsque ce coefficient est fort petit. Cette observation nportante est, comme nous le veiTons, celle qui Dnduisit Laplace à la découverte de la cause des eux grandes inégalités de Jupiter et de Saturne.