Tome I. ^o

On trouve de même ^ pour la variation de Texcentricité ,

+ m'a e , —-7 — TT .N^'*^.cos.[£(»'^-ii/+f'-i)-f-2/i^+2i-2«]

+ -.m'a e', rr-i — T": JÎÏ^*).C08.[£(7»'/-;it+i'-i)+27»t+3f-#-#'l

,ma e.TTn — : . N^'^. cos . ri(/i'^-/»<+/-i)+i»-«»'l

+ ".m'a e.-7}—, c . N^*) . cos . [i(fi'^-/i*+i'-i)-i»+»']:

Pour la variation de l'époque ,

dt=r — m a. -77—, — r-a-l -j — l.sin.w/i *-7»*+i -1) Uji'^n) \ da / ' '

'^ma^e . tti — r^j — •"~r"~ • ^^^ • W'* ^/l'+i -i)4-»^+i-«J t(»-7i)4-/» da ^ • ■•

Pour la variation de la longitude du périhélie ,

«.^•=r -,ma, -r-i — t": — • MC*>) . sin • [£(/*' /-7ïH-«'-0+w^+<-*'] 4- m'a e . -n-7 — r-jj- — . NC*») . sin . [i(7i'^-n*+i'-i)-f-2/i^+2«-2i»]

4- TJi'a e . T7-7 — X . N^^^ . sin . iin't- tï^+i -1) ' 1(7» -/i) ^ • -^

+ -. ?7i'ae'. --7-^r-î .NCO.sin.r*(7iV7i«4.i'-04-2/i/+2« •'•1

+ ^.m'ae.rj^- ..N^*^sin.[i(7*'^-/»/+i'-0+âr-#'] 2 i[n — Ti-j

+i.77i'ae'.T7-^r.N^^>.sîn.ri(7»'/-/i^+f-iW+<»'1. * 2 i\n -/O ^ * / • j

Enfin y la troisième formule du n* j^5 donnera^ pour la variation du demi-paramètre k,

JA = . -7 . A^'^ . cos . i . {nt~nt+/-t)

.ê. T7-7 — rT--M^*).cos.[J(»'/-n*+i'-i)+»^+i-#]

2 l{jl — /»J-J-7ï

.e\ TT-? — TT — • MC'Xcos. [i(/i'^-7i^+i'-i)+n^+ 1-#'].

11 nous reste à déterminer les variations des quantités petq. Nous avons trouvé , n® 55 , z — pX'^q/ ; si Ton suppose donc la fonction R développée par rapport à 2 ^ on aura

dR /dR\ dz /dK\

dp -^KdzJ'dp^ ^'\dz)'

dR /dR\ & /û^\

dq~\dlj'dq'^ ^'Kdzr

Prenons pour plan des ay le plan de l'orbite de m à une époque déterminée; l'inclinaison de son orbite mobile sur ce plan fixe , ainsi que l'ordonnée z, seront de Tordre des forces perturbatrices : on

pourra donc supposer 2=0 dans la différence -j- ^

puisqu'on néglige le carré de ces forces. L'expression de R du n"" 48 donne de cette manière^

la valeur de i s'étendant à tous les nombres positifs et négatif, depuis 1=1 jusqu'à l'infini.

Nonmions y la tangente de rinclinaison de l'or-

bîte de ni sur le plan fixe ^ Il la longitade de son nœud ascendant, et désignons, comme dans le n"* 53, par // la projection du rayon vecteur de nJ sur ce même plan, et par (^'/ la longitude de r\ comptée à partir d'une ligne fixe : on aura

z' :=ir, .y . sîn((^'/ — lî).

Substituons pour r'/Ct t^', leurs valeurs numéro cîté, et négligeons les produits des excentricités par les inclinaisons, nous aurons

%'=:a! .y. sin (/l'f 4- c'— FI) ; et la valeur de -j- deviendra par conséquent

dR ni

--J- = — ^ . > . sm . (» t + < — n)

la valeur de i devant s^étendre ici , comme dans ce qui va suivre, à tous les nombres pasitife et négatifs ^ la seule valeur i =: o exceptée.

Si dans les formulés (g) et (lo) du n* 44 ^^ substitue pour^ et ^ leurs valeurs ainsi déterminées , et que l'on néglige le produit des excentricités par les inclinaisons, ce qui permet de supposer a:=:fl.cos(7^/-^-€), 7=a.sin(7z/+6) dans ces valeurs, on aura , pour la variation de /? ,

et pour la variation de ç ,

=-.-7r-y- iniz^s-C" ^+'»H-« +«-n)+-r-~.cos.(/i /-/i^+i i-n)

•^.a*a /i.2.BC»-0.y. [J! xos.R(w'i— n^+/— «)-n]

"•^7"? ri — *-.cos.[i(7i'/ — ni-^t — f)+2n<+2« — n] ] .

»^7I- — /lJ+2/* j

82. Nous n'avons pas ajouté de constantes aux valeurs de JW, cTe, J'co, J'e, ^p, J'q, parce que leur considération était inutile à l'objet que nous nous proposons ^ et que l'on peut d'ailleurs les supposer comprises dans les valeurs des élémens a, e, a», e, p, ^ du mouvement elliptique , qui deviendront ainsi ,

représentant par a^, e^, o)^ , e^, p^, q^ de très petites quantités de Tordre des forces perturbatrices. Les élémens de l'orbite troublée seront donc

€ H- €^ + «Tfi , p -^rPf^^Pi -y + 9, + JV*

Comme a^, e^, etc., ainsi que /^z, cTe, ete.> sont de l'ordre m', on pourra substituer dans ces dernières quantités a-+-«^, e H-e^, etc., à la place de ^, e, etc. ; ^es deviendt^onl par conséquent des fonctions du temps et des six constantes a^a^^ ^+^/> •*«• i^es Tome L *

formules du mouvement trouble ne contiendront donc en définitive y comme celles du mouvement ellip^gtle y que six constantes arbitraires , et par là dis-^ paraîtra ce que pouvait avoir d'étrange Tîntroductioi^ des six nouvelles constantes «/, ^,> 00,^ ^ly p^y 7>, dan^ une question qui, par sa nature , n'en* comportait qu^ six.

Quant à la détermination de ces arbitraires, elle se fera très simplement de la manière suivante : supposons que l'on veuille connaître les perturbations que subit la planète m pendant un intervalle de temps donné, on déterminera les constantes a y Cy etc. , daprès sa position , sa vitesse et sa direction à l'instant que l'on a choisi pour époque, et les constantes a^f e^y etc., par les équations

«; -H eTfl = o, e^ + cTc = o , etc. ,

dans lesquelles on substituera pour cTa, J^e, etc., leurs valeurs relatives au même instant.

L'effet des forces perturbatrices, pendant la période quel^on considère sur chacun deséléméns elliptiques, sera alors exprimé, tout entier, par les quantités a^-^ia^ ^yH~ ^^y ^*c-/ ^"i ^? contiendront plus rien d'arbitraire. Ce procédé est le même , comme nous le vei^ rons, que celui que Ton suit dans la théorie des CO' mètes, où l'on est forcé de calculer par des quadratures les variations que subit chaque élément de l'orbite pendant l'intervalle de temps qui s'écoule entre deux retours successifs de l'astre à son périhélie.

En réunissant les valeurs de ^a , ^ï^ , J'e, J^i, ^ù^, i'p) cT^ déterminées par les formules précédentes, à

celles qui dérivent des équations différentielles (i 1), n** 46, et que nous avons considérées avec étendue dans le chapitre précédent, on aura les deux parties dont se composent les variations des élémens de l'orbite elliptique, résultant de Faction des forces perturbatrices ; l'une de ces parties dépendant;, n^ 4? 9 ^^ ^^ configuration mutuelle des corps m, m\ etc. ,«et l'autre indépendante de cette configuration.

Variations périodiques de rayon vecteur^ de la Ion--

gîtude et de la latitude.

85. La position d'une planète dans l'espace est fixée lorsqu'on connaît son rayon vecteur projeté sur un plan fixe , sa longitude vraie ou l'angle que fait la projection de ce rajon avec une ligne fixe, et sa latitude, ou l'angle que forme le rayon vecteur de l'orbite vraie avec celui de l'orbite projetée. C'est donc à la détermination de ces trois élémens que doivent finalement aboutir toutes les recherches qui ont pour objet les mouvemens de translation des corps célestes. Nous avons donné dans le n^ 24 les expressions du rayon vecteur, de la longitude vraie ,. et de latitude dans l'orbite elliptique ,^ en séries procédant suivant les puissances ascendantes des excentricités et des inclinaisons ; il nous suffira donc de substituer à la place des élémens elliptiques dans ces formules, ces élémens corrigés au moyen de leurs variations périodiques et séculaires que nous venons de déterminer, pour avoir la vraie valeur du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude dans l'orbite

472 THÉOIUE ANALYTIQUE

troublée. Or, on voit par les formules du n® 25 que la valeur du rayon vecteur et de la longitude dans l'orbite projetée, ne diffère de celle du rayon vecteur et de la longitude dans l'orbite vraie, qu'aux quan--. tités près du second ordre relativement aux inclinai--, sons, quantités très petites qui ne produisent que des variations insensibles, lorsqu'on prend, comme nous le ferons , pour plan fixe , celui de Torbite de la planète à une époque donnée. Il en est de même des termes de Texpœssion de la latitude qui sont de l'ordre du produit des excentricités par les inclinaisons. Il résulte de ces observations que , dans la recherche desvariations du rayon vecteur et de la longitude, on pourra faire abstraction des inclinaisons des orbites, et dans celle des variations de la latitude faire abs^ traction de leurs excentricités, ou, ce qui revient au même , regarder dans le premier cas les orbites comme étant toutes dans le même plan , et dans le second, les regarder comme circulaires , ce qui facilitera le cal^ cul de leurs perturbations.

Reprenons les valeurs du rayon vecteur et de la longitude développées dans le n^ 25 ; on a généra-^ leuient par ces formules

r=fonc. (a, Ç, e, €, û)), i^ = fonc. (Ç, e, 6, û)).

Si à la place de a, Ç , e, e, cù on substitue dans ces équations, leurs valeurs corrigées, ^ + cr«> Ç + ZÇ? e^J'e, € -4" ^^> ^ + ^^f ^^ désignant par la caractéristique cT les variations périodiques dépendantes de la première puissance des masses , on aura , en ne considérant que les termes de cet ordre.

Pour la variation du rayon vecteur,

Pour la yariation de la longitude ^

Il ne s^agira plus maintenant que de substituer dans ces deux expressions^ à la place des variations J^a, SÇ, JW , <f 6 et J'œ , leurs valeurs développées précédemmenty pour avoir celles du rayon vecteur et de la longitude vraie , exactes aux quantités près du second ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Mais^ au lieu d'effectuer ces substitutions dans l'expression de cTi^^ il sera plus commode de faire dépendre la détermination des inégalités de la longitude de celles du rayon vecteur, au moyen de l'équation (A) u? 30, que nous avons déjà employée dans un cas analogue n* 24* ^^ effet, cette équation donne pour le cas de l'ellipse invariable

Cette équation étant une différentielle du premier ordre, a encore lieu dans l'ellipse troublée, et ne doit pas changer de forme lorsque les élémens de l'orbite varient ; on aura donc en la différenciant par rapport à la caractéristique cT

d'où l'on tire , en intégrant et négligeant le carré des forces perturbatrices,

cTps — . AcTa.ûf^ -^-i.j S'e.ds^ — 2 . j —.dv, (a)

On peut donner à cette équation une forme plus simple encore. En effets k étant le demi-paramètre de

l'orbite, on a k=^a . (i — e*), d'où en différenciant on tire

fk ï f. * IN

Jb 2a I — e*

On aura donc ainsi

formule très commode qui donnera immédiatement les perturbations de la planète en longitude lorsque celles du rayon vecteur seront connues.

84* Occupons-nous donc uniquement de déterminer la valeur de JV.Nous avons trouvé n* 2^, en négligeant les cubes et les puissances supérieures des exceûtri' cités,

.1 ïH — ,e^ — e.cos(72^+« — m) .e*.cos2(n^4"« — •) y

En différenciant par rapport à la caractéristique i' cette valeur , on aura

— S^^a.cos (/î/4- < — •) + Oioei'e'^ae, (^C+ ^1). sin («*+ « — •)•

Si dans cette expression on substitue, pour ^a, h y eS'ûùf «TÇ et cTfi leurs valeurs, et qu^on n^ait égard qu'aux termes du premier ordre par rapport aux excentricités , on trouvera

.!lf!î.r i. ACO+ -L...Mt'0 l.cos.i(nt'-n«+,'-,) . a La —I» t(n-it)4"'» J ,

N('>" JL..ACO+!. 7^,AC0. ^-..a^n J.[i(/i'^— fii + 1'— i)+n^+i — •]

L*(n -/i)4-'» a *(/i -/i)+î^'» 2i(ri-/i) 2i(«-7i) J

Si Ton remplace dans cette expression M^'\ M^'\ NCo)^ NC.y NCs)^ nc4)^ NC-s)^ par leurs valeurs , on

aura , après les réductions convenables ,

^== — .2:.CC0.cos.i(/i'« — n«+«'— 0

-f m'. e.l.DCO. COS. [*•(»'« — n«+ •'—•) + n^+f—ar] fW

En faisant pour abréger

~i,(7i'-n)+n'* rfa '^^ Ai» J*

Le signe intégral Z devant s étendre dans Texpres* sien de cTr à toutes les valeurs positives et négatives de if la seule valeur £== o étant exceptée , parce que nous examinerons ce cas séparément «

Après avoir ainsi déterminé la valeur* de J^r, on aura celle de ^v au moyen de la formule (a')* Eu faisant pour abréger

F(0= -^-A - Jl-,.aACO .t- ^"T-,,, ,:'^-^ . ».(n-n)l n-n n.'—i*.(n — »)" \

GC

fr; .^» -.[/.(«'-«)-n]+3n'

i.(jt-n)+n l n-n n» — »".(»' — n)'

on trouvera pour cTp la formule suivante

+ m'éî.S.GC0.sî».[/(7i'<— m-l-t'— 0 + n^+i — •] +mV.S.HC0.8iîi.[i(/i'^— n^+i'— i)+/ïf+i— i»'].

Le signe 2 devant s'étendre comme précédemment à toutes les valeurs entières positives et négatives de i , la valeur i = o exceptée.

Il est bon de remarquer que les expressions de - et

de JV deviennent convergentes dans le cas même où la série représentée par S.A^'^.cos i{n^t — /2^+é'— ^ l'est peu, par les diviseurs qu'elles acquièrent. Cette observation est surtout importante pour la détermination des perturbations des planètes dont les rappcMis des distances au Soleil diffèrent peu de l'unité.

' 8S . Déterminons maintenant en particulier les termes es valeurs de /ret de cTp qui naissent de la supposiîon de /=o. Reprenons l'équation (a), et ne consiérons d'abord que la partie non périodique de son îcond membre. Si l'on fait z=o dans la valeur de la >nction R n* 81 , en ayant soin de rejeter, comme ous l'avons dit I la partie constante de cette valeur, n verra aisément que la seule partie semblable qui

n résulte dans J'r est celle-ci : — ^'("J"}- ^^ cousante jointe à la valeur de l'intégrale S'a introduira in nouveau terme constant dans cette même expresîon , en déterminant cette arbitraire d'après les prin- 'îpesdu n^'S^; et supposant, afin de fixer les idées, que 3our l'époque où commence le temps, c'est-à-dire pour l'origine de la période pour laquelle on veut -alculer les perturbations causées par m' sur le mou- (^ement de m, ou choisisse l'instant d'une conjonction ^eces deux planètes, ce qui donne alors

/i'^— n/ + i'— 6 = 0, >H trouvera

^ signe intégrale Z s'étendant à toutes les valeurs ositwesàe i depuis £= i jusqu^à e = 00. On aura donc, en vertu des deux termes précédens,

2 \ da / Th'-^n

\ l'on substitue cette valeur et celle de ^a àatis Vé-

quation (a) y on en tire

En joignant à ces valeurs les parties non périodiques de r et de i^, relatives au mouvement elliptique , on aura pour la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude dans l'orbite troublée,

^lifz=:znt'\'i + ma.\ -7— -.S.A^ — a.f ^ \ \.nL)

Telles sont les expressions de la distance et de la longitude moyennes qui résultent directement de nos formules ; mais on peut leur donner une forme plus simple qu'il est bon de connaître. En effet, d'après les suppositions précédentes , Jes constantes a^ n, e^î^t» sont celles qui répondent à l'époque où l'on compte ^=0, et qui seraient les élémens de l'orbe elliptique décrit parla planète m, si à cet instant les forcés perturbatrices cessaient leur action; supposons que Ton désigne par n^t le moyen mou vement de /ti , tel qu'il résulte de l'observation , d après la seconde des équations (o), on aura

Soit a^ , la valeur du demi-grand axe correspondant au moyen mouvement n^^ et qui se déduit de l'équatioa

si Ton substitue dans cette équation n^n^-^n et a +«, — âj à la place de /i^, et de a^ , en négligeant les carrés des quantités très petites 7^^— /î eta^ — a, on en conclura

d'où en substituant pour n^ sa valeur , on tire "-'»'= -3- l^^» .2.AC0-« . (-)J.

Les deux équations (o) deviendront donc^ en observant qu'on peut remplacer a par a^ dans les termes multipliés par m' ,

I /dA?\

r+-crr= a,— g . m'a/- (j^Ji i^-hJ'^=n,t+é. (d)

Ces valeurs de la distance et de la longitude moyenne dans l'orbite troublée ne sont qu'une transformation de celles que donnent les équations (o) ; mais l'introduction des constantes a^ et n^, à la place des constantes a et rif fait que la partie cTt^ de la longitude vraie ne contient plus aucun terme proportionnel au temps , en sorte que le moyen mouvement de la planète troublée est contenu tout entier dans la partie p de cette longitude, ce qui est un avantage.

Pour déterminer les termes de la valeur de J^r qui dépendent de la première puissance des excentricités,

4Bo THÉORIE ANALYTIQUE

et quî résultent de l'hypothèse /=o, il sufGra de calculer les valeurs correspondantes de cTa, «Te, etc., avant de les substituer dans l'équation (a); en se conformant à ce que nous avons dît n® 8i, on trouvera ainsi

et l'équation (a') donnera pour la partie correspondante de cTi'

En réunissant les dîflFérentes parties des valeurs de JV et de S^if que nous venons de déterminer, et faisant pour abréger

on aura enfin, pour la variation du rayon vecteur

— 771 .ef, COS. (n/-Kf — ») — mjef^cos. (nt+ t — §/')> (A)

+ w'.r.S.DCO.cos.[i(r/^— 7i/-l-f'— 0 + «^+«— *'J + w'./.S. ECOccos . [/(/l'^— 77/ + i'— i) -|- 71^ -|- f — «'].

DU SYSTÈME DU MOKDE. ^'i

et ponr fca variïLtion de la longitude

ni

+ ai»'.«/.8m.(n<+ 1— •) + ai»V/'.8m.(»H^4 — »')\. (B) -I- i»'e.S.GrC0.8m. [i («'*— nt +«' — «)+'»'+•-- «îl + mV.Z.H(0.sin.|:»(n'<— n«+ •'--•) +nt+ 1 -i -I-)

Les formules (A) et (B) senriront à dëtermiaer les inégalités périodiques d'une planète quelconque m troublée par Faction d'une autre planète m'} chaque planète perturbatrice introduira dans ces deux formules des termes semblables auit |^rëcédénS| * 'et la somme de tous ces tecmes. exprimiera reffet Wttîl'des perturbations. ' ' • •

Si Ton veut que «Tp et ^r expriment les effets produits par la force perturbatrice pendant un' temps donné sur la longitude et le rayon vecteur de la planète troublée , on déterminera les constantes arbitraires qui doivent servir à compléter les valeurs de cTe , cTw , «Tg et que nous désignerons par e^, ^,f ^,, de manière à ce qu'on ait

e^H-cTéssso, e»,4-era>==o, e^-f^J^e=:o,

en même temps que < = o. C'est ce que notas avons déjà pratiqué à l'égard de la constante jointe à l'intégrale ^a.

On substituera ensuite ces quantités à la place de cTe, cTû), cTé, dans l'équation (a), et les valeurs qui en résulteront serviront à compléter celles de cTr et de J^p , qui ne contiendront plus rien d'arbitraire et qui exprimeront alors les augmentations totales de la Tome I. 5i

48s THÉORIE ANALYTIQUE

longitude et de la distance aa Soleil résoltnt de l'action des forces perturbatrices.

En ajoutant ensuite les valeurs de cTr et de J^p à celles du nyon vecteur (r) et de la longitude (t*); calculées obos l'orbite elliptique , corrigée au mojea des variations oculaires de ses élémens , on aura les valeurs totales du rayon vecteur de la planète et de stfn mouvement èit lopgitude. On trouvera ainsi,

rc=£ (r) -f- eTr, <; sȱi (p) -f. cTf .

66* Il nous reste à détetlniner les pertorbationi | doOMiTeittelit en latitude. Noounons s la tangentedi I la latitude de m au-dessus du plan fixe des xy, âoa aurons j=s r,^^ en désignant par r, la projection du rayon vecteur de m sur le knéiiie {dan i on tirera delà

et l'équation ft ±:zqf^pdc dObbe poiït àétetïàioet h

Supposons^ comme nous l'avons fait jusqu'ici, quel'oB prenne pour plan ûxe celui de lorbite de m à nne époque donnée; l'ordohhée z et les quMitités p Bi^ seront de l'ordre des forces perturbatrice) ^n ûé^ géant donc le carré de ces forces , les deux équâticM précédentes donneront

Les coordonnées âf et^ se rapt)ortènt an HkôfiYémeni

DU SYSTÈME DU MOIfDE. 483

eIlî{Stîqnae; oii peut donc substituer à leuf place leurs valeurs a: î=r^.coè i^ etj"=:r^.rià«Jî ël si Ton néglige, comme nous le ferons, lë prodtdt des ercentricità par les inclinaisojas, il suffira de faire x:=iif.,co8(nt^€) et ^t=:^. sîn (nt+d); on aura ainsi

^^zzzj'q. sîn («i + 6 — û)) — /p.COS (nt -|-6 — ^û)).

Si pour Sp et cT^ on substitue leurs valetirs dimnëeS

n*^ 8i, on trouvera

= -— . .-^. -, — .—-y—. .5, . nu . (n'<4--/---49'

y d«go.n. 1. ..ogenje i. .Minais» de l'orbite , de 2/ï' sur Forbite primitive de m , Il la longitude de son nœud ascendant comptée $ur ce plan , et i désignant un nombre entier quelconque positif ou négatif, la seule valeur i se o étant exceptée.

Si Ton réduit cette expression, et que l'on observe qu'en négligeant lés produite desètcentricités par les inclinaisons on a J^is = aS's , on en tirera

^j= . • - . -7- . V .sm. {n't + f — nj

Supposons, qu'au lieu de prendre pour plan fixe celui de l'orbite primitive de m, on rapporte âOn mouvement à Un plan très peu incliné an plan de

cette orbite. Soieat (p et ^' les inclinaisons, des orbites de m et de ut' sur le plan fixe, a et a/ les longitudes de leurs nœuds ascendans sur le même plani les tangentes des latitudes de ces deux planètes ^ correspondantes à une même longitude i^, seront tang tp . sin (v — a) et tang ^' . sin (p — a^) ; la latitude de /»'. au-dessus de l'orbite de m, correspondante à la longitude t^, sera y . sin {y — II). D'aillenrs les inclinaisons des trais plans que nous considérons^ étant très petites y les tangentes des latitudes peuvent être prises pour ces latitudes elles-mêmes; on aura donC' à très. peu près

tang^' . sin ((^ — a')— tang^ . sin {y — a)= y • sin {y — Itj.

Si l'on développe cette équation et qu'on compare séparément les termes multiplia par sin v ^cmvy on aura

y . sinll =: tang <p' • sin af— tangHp . sina , y • cosn= tang^' • cosa' — 'tangi^ . cosa;

et si l'on fait comme précédemment

tang^ . sin a=;7^ tang^'. sin a!i=:p\ tang^ . cosa^= y, tang^' . cos«'=^' ,

tin aura

y.smU^^^p'^^p et 5/.cosn = ^' — q.

Si l'on désigne donc par ^==(^)+Ér^ la latitude de m au^lessus du plan fixe , on aura à très peu près

f . sîn (12/ 4- 0 — P • cos (jii + «)

•'.TiVaVa-'- , .^ BC'-O • r •//..•/» . ! •. H^^

Les deux premiers termes dé cette expression , c'esj-à-dire la partie indépendante de m\ représentent

la latitude de m au-dessus du plan fixe dam le cas oir m ne quitterait pas le plan de son orbite priihitîv'ë ;en remplaçant ces deux termes par la yaleuf exacte de cette latitude^ la formule en aura plus de précision.

Chacune des planètes perturi>atrices m* , m'", etc., introduirait dans les expressions précédentes des termes semblables.

87. Les trois formules (A), (B), (C)que nous venons de trouver renferment toute la théorie des perturbations du mouvement des planètes, en portant la précision jusqu'aux quantités de l'ordre des excentricités et des inclinaisons, ce qui suffit dans les cas ordinaires.

Si Ton voulait pousser plus loin les approximations, il faudrait conserver dans R les termes dépendant des cubes et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons que nous avons négligés. Mais à mesure que l'on considère dans le développement de R , un plus grand nombre de termes , les opérations se compliquent, et les rédxxclîons précédentes deviendraient bientôt in:^pra\.\cab\es , si You

486 TBËOaiE ANALYTIQUE

était forcé de suivre cette recherche dans toute sa ri-gueur. Heureusement on peut observer que tous les termes qui dépendent du carré et des puissances sujpérieures des excentricités et des inclinaisons sont très petits dans la valeur de R^ en sorte que si quelques-uns d entre eux doivent devenir sensibles par l'intégration dans la valeur du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude , il est aisé d'en connaître ^avance la cause , et l'on facilitera le calcul des inégalités des ordres supérieurs en le bornant à celui de ces termes. Nous développerons ces considérations dans le chapitre suivant.

DU SYSTÈBfE DU MONDE. 497