Tome L L^^ ^a

11 faut maintenant, d'après la théorie des équations linéaires, pour avoir la valeur complète de —^ joindre

aux différentes parties de cette valeur que nous venons de déterminer, celle qui a lieu lorsqu'on suppose nuls les trois derniers ternies de l'équation (8); on a, dans ce cas,

5jP^ + n*.r/r = o, -

et Ton satisfait k cette équation , en supposant

-^= m'.fe. cos {nt'^i — a>)+ni.f^e'. cos (»/-f-g — »') ,

yet y étant deux constantes arbitraires.

En réunissant donc toutes les parties de la valeur de

^•, et en remplaçantrparsa valeur ^.[T-ecos(«i-f-6-û>)],

on aura

a ° n aa 2 n^^i \n -n)* ^ ' '

+m'.yè.cos(7i/+i-#)4-7n'.yV.cos(7ii+f-i»')

On a, n^ 8i

]>iw = __2.-.ivw — a^.

MO) = (a,'-,).AC'-)+«^\

d'où, en différenciant, on tire

Si l'on substitue ces valeurs dans K^*^ et L^*^, et qu'ensuite, dans l'expression de -, on remplace C^^, K^'^, j^co par les fonctions que ces lettres représentent, on retrouvera identiquement la valeur de — à laquelle

nous sommes parvenus par une autre voie , n** 64 f ce qui peut servir à confirmer l'exactitude de ces résultats.

Reprenons maintenant la valeur de «Tv , n° 89. Si l'on néglige les termes du second ordre , par ra{^rt aux excentricités et aux inclinaisons, et qu'on observe que nous supposons fji = a?n^ 1= i , on aura

A l'aide de cette formule et des valeurs précédentes, on .trouvera aisément

t/ACO"

-4- ni.f^e.smint+t'0)+m\/le\Atk (Hl-^t^')

5oo THÉORIE ANALYTIQUE

£a faisant , pour abréger,

r T .«'AW , .<?AW . ,

•^ ' a % da da^ -^ '

et en désignant par G^*^ et H^'^ les mêmes fonctions que ces lettres représentent dans le n° 85; le signe intégral 2 devant d'ailleurs s'étendre dans cette ex-^

pression , comme dans celle de —, a toutes les valeurs positives et négatives de /^ la valeur de f=:o exceptée.

92, Les équations qui déterminent S'r et cTt' renferment quatre constantes arbitraires , savoir : les trois constantes g , f^ f\ et la constante qui devrait être ajoutée à la valeur de /c^ et que nous supposons, pour plus de simplicité, égale k zéro; ces équations sont donc les intégrales complètes des équations différentielles (5). Nous allons nous occuper de la détermination des constantes arbitraires introduites par rintégration.

Si l'on ne considère que la partie non périodique du rayon vecteur et de la longitude , en joignant aox valeui^ précédentes de J'r et de Sv , celles de r et de p qui dépendent du mouvement elliptique de m^ on aura

DU SYSTÈME DU MONDE. Sqi

p ^ J^i^ représente la longitude moyenne de la pla-* nète au bout du temps ij elle résulte directement des observations. Si l'on yeut donc , comme cela se pratique ordinairement, que cette longitude soit la même dans Torbite elliptique de la planète et dans l'orbite qu'elle décrit réellement, cette condition déterminera la constante g; on aura ainsi •

et il en résultera

On voit que, dans l'hypothèse précédente , la distance moyenne de la planète au Soleil, dans l'o^lji^tç troublée , n'est plus représentée par a , comme ij^fis l'orbite elliptique; cette dernière quantité sedéduit tou-i

jours du moyen mouvement nt par Téquation -3 = «•,

mais il faut la diminuer de la quantité -^. a* -^ —

pour avoir la distance moyenne.

93. Il est essentiel de prévenir ici une difficulté qui peut naitre de ce que les astronomes et les géomètres ne définissent pas de la même manière le moyen mour vement d'une planète et de ce que ces mots sont etnployés souvent dans des acceptions différentes* Les premiers comprennent à la fols, dans le moyen mouvement , toute la partie de la longitude moyenne qui varie avec le temps, et les seconds, la partie seulement (le cette longitude qui dépend du grand axe de l'orbite, II en résulte une diffcrence esscnfîcl'e : le moyen

5o2 TIIJÈORIË ANALYTIQUE

mouyement , tel que le défixiisseQt les astronomes ^ n'est plus invariable , sa valeur peut changer dans les differcîns siècles à raison des termes^ proportionnels au carré du temps, qui résultent de la variation sé-« culaire de l'époque, n° 76; tandis que le moyen mou-» vement des géomètres, qui- se déduit du grand axe par la troisième loi de Kepler, est inaltérable ainsi que cet axe, conformément à ce que nous avons démontré n' 61. Nous nous sommes donc conformé à l'usage adopté par les astronomes dans la détermination de la constante g , parce qu'il est en effet le plus commode dans la pratique , en ce que la valeur de la constante n se déduit alors immédiatement des observations, sans leur faire subir aucune correction; màli^ li est aisé de voir que l'on peut déterminer d-itn^ itaanière quelconque la constante^ sans que la position de la planète , telle qu'elle résultera des tables construites sur les formules précédentes , en soit altérée. Supposons, par exemple, que l'on fasse g" = o , on aura

r + err = .i^+iw'.«î-jp— ,

et il sera facile , d'après les nouvelles valeurs de a^ et n^, qui résulteront de ces équations, de montrer, comme dans le n** 85, qu'elles sont identiques avec les précédentes. La variation du grand axe de Forbite se détermine ^ n* 4' , par la formule

DU SYSTÈME DU MONDE 5o3

Ija constante ajoutée à l'intégrale fd'R étant supposée nulle f il s'ensuit que la valeur de J^a ne se compose que de quantités périodiques ^ et que par conséquent , si l'on en fait abstraction , le grand axe de l'orbite pourra être l'egardé comme inaltérable j c'est d'après cette hypothèse que nous avons démontré, dans le n^ 6i , l'invariabilité des grands axes des orbes planétaires.

94- 1^ nous reste maintenant à déterminer les com^ tantes^^et f , ou, ce qui revient au même, les cons*^ tantesy^' el y*'^. Ce qu'il y a de plus simple à cet égard , c'est d'en disposer de manière que les termes qui dépendent de sin («^ -{- 6 — rjû) et sin (/z^ -f- e '— co') disparaissent dans la valeur de JV, en sorte que l'équation du centre soit tout entière comprise dans la valeur de p. On aura ainsi y^ = o et y'^=:0; et l'on en conclura

Les valeurs de — et de J'i^ deviendront donc enfin ,

'•^m ,fe. C08 (nt+ 1 — m^-^-ni . f'e . cos (jit-^-î — c/)

+ m!e . 2 . ÉCOcos[£(/j'/— w/4-/— i)+7i/+ 1— /] , \ ( A ) ip=:i — .2.FC0sîn£(tt'/ — nt+t — t)

+ II» e . S . G^O si n [* (|^'^-.^^+•/— «) +#*i+i— »]

5o4 THÉORIE ANALYTIQUE

les lettres C^*^ D^, E^ F^O, G^>, H'O ayant ici la même signification que dans le n* 84^ et le signe intégral 2 devant embrasser toutes les valeurs en<« tières positives et négatives de i, la seule valeur t =o exceptée.

95. Considérons maintenant les inégalités de la latitude. Reprenons l'équation différentielle (7). Si Ton néglige le produit des excentricités par les inclinaisons des orbites^ elle devient

— '^«•.rJ^5~î^ = o. (9)

En prenant pour plan fixe celui de l'orbite prirai^ tive de m, et en désignant par y l'inclinaison de l'orbite de /»' sur la première orbite, et par n la longi*' tude de son nœud ascendant, on a, n"* 81 ,

^=-— .y.sin(/i'^fe'-n)+2..û\s.BC'-'VsiiiR»'/-«^+/^^

I représentant un nombre entier quelconque y compris zéro.

L'équation (9), en y substituant cette valeur, devient

—-r +n\Ti8+ ^ . 5/ . sin {n't+ î—U)

d'où, en intégrant et en observant que «'«' = i , on tire

~ = — — - . .ysin(«'^+f' — n) 1

DU SYSTÈME DC MOUDE. 5o5

le nombre i devant s'étendre à toutes les valeui-s entières positives et négatives de i, la seule valeur I = o exceptée, parce que les termes qui en résulteraient seraient compris dans ceux qni dépendent des constantes que l'intégration ajoute à l'équation (B).

à laquelle nons sommes parvenus par uoe^ -antre voie, n" 86. Nous n'avons point eu égard aux constantes arbitraires que l'intégration introduit dans cette valeur, ou du moins nous les avons supposées nulles, ce qui est plus commode pour la pratique. Cette hypothèse n'altère en rien l'exactitude de la formule (B). Eu effet, si l'on rapporte, comme on le fait ordinairement , le mouvement de m à un plan très peu incliné à celai de son orbite primitiTe^ qu'on désigne comme dans le n° 86 , par (s), la latitude de m relative au mouvement elliptique, toua les termes qui ont pour argument la longitude moyenne n£ -f- * — n se trouveront renfermés dans (s), d'après notre hypothèse ; mais de quelque manière que l'on détermine les constantes arbitraires qui entrent dans ^s, la quantité (s) ~i-^s , calculée par les tables, exprimera toujours la latitude de m au-dessus du plan fixe.

Les trois formules (A) et (B), sont celles dont on fait ordinairement usage pour calculer les inégalités du rayon vecteur , de la longitude et de la latitude dans l'orbite troublée ; en les réduisant en nombres et eu les ajoutant aux parties de ces valeurs qui dépendent du mouvement elliptique ^ on pourra

eu former des tables qui donneront à chaque iostant la positioa dans l'espace des diffërens corps du système solaire.

96. La me'thode par laquelle nous venons de déterminer, au mojen des équations différentietles di mouvement troublé, les perturbations planétaires dépeadantes de la première puissance des excentricités et des inclinaisons, suffit pour montrer comment, par des approximations successives, et en employant à chaque approximation nouvelle les y> leurs du rayon vecteur et de la latitude qui résultent des approximations pfiiccdentes, on peut calcoler les inégalités de ces deux quantités dépendantes d'aoe puissance quelconque des excentricités et des indinaisons, et arriver ainsi à déterminer leurs valeurs aussi exactement qu'on voudra.

Lorsqu'on ne porte l'approximation que jusqu'au termes de l'ordre des excentricités et des inclinaisons, ce procédé est, comme nous l'avons dit, le plus simple que l'on puisse employer pour déterminer les inégalités périodiques des niouvemens des planètes; mais quand ou veut étendre les appi-oxitnatiousaui inégalités dépendantes des carias et des puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons, les opérations numériques se compliquent de plus en plus, et elles de^'iendraîent bientôt impraticables si l'on voulait calculer rigoureusement toutes ces inétralités. Heureusement, la détermination de celles qui tlépendent de la première puissance des excentricités et des inclinaisons snflit en général pour les planètes , el loi-squ'il devient iiidispensable d'avoir égard aux ine*

galités d'un ordre supérieur, les considérations mêmes qui obligent d'en tenir compte servent à faciliter leur calcul. Ces inégalités, en effet, ne deviennent sensibles que par les petits diviseurs, dépendans des rapports qui existent entre les moyens mouvemens des dîfférens corps du système, que l'intégration leur fait acquérir ; on peut donc prévoir aisément la circonstance qui rendra sensibles quelques-uns des termes de ces inégalités, et se borner à les calculer , en négligeant tous les autres.

Considérons , par exemple , dans R un terme quelconque de la forme

M.cos {i[n't — n^+e' — g)] -(- i^nt -f-K] ,

i et f représentant des nombres entiers quelconques et K une quantité constante , fonction des élémeos des orbites de metmf.

Il en résultera dans — r le terme suivant :

Le dénominateur de cette expression peut se mettre sous la forme

et l'inégalité qui précède pourra acquérir une valeur sensible, si l'un de ces deux facteurs est peu considérable.

Il suffira donc de calculer les inégalités du rayon vecteur, de la longitude et de la latitude qui ont l'une

5o8 THÉORIE ANALYTIQUE DU SYSTÈME DU MONDE.

des deux quantités précédentes pQur diviseur ; tûzk alors il est plus comoiode d employer » poui^lear détermination , la méthode de la variation des constantes arbitraires. En effet , il suffît de considérer dans R les termes dépendans de l'argument auquel on vent avoir égard, et au moyen des formules du u*42, on aura immédiatement les inégalités correspondantes des élémens de Tôrbite elliptique; en les substituant ensuite dans les formules de ce mouvement , on aura , de la manière la plus simple , toutes les inégalités du mouvement de la planète qui peuvent devenir considérables.

La plus grande difliculté de la détermination des perturbations planétaires , de l'ordre du carré et i& puissances supérieures des excentricités et des inclinaisons , consiste donc dans le développement de la fonction perturbatrice R. Mais plusieurs géomètres zélés se sont déjà occupés de cette recberclie. M. Burkardt a poussé ce développement jusqu'aux termes du sixième ordre (*); M. Binet Ta depuis étendu jusqu'aux septièmes puissances des excentricités et des inclinaisons. Ces approximations sont plus que suffisantes pour toutes les recherches que peut présenter la détermination théorique du mouvement des centres de gravité des corps célestes. : .

- (*) Mémoires de l'Institut , année i8oS.