CHAPITRE III

Perturbations du mouvement elliptique des Comètes.

2i8. Les comètes sont, comme les planètes, assujet*ties à des perturbations qui altèrent leur mouvevtient elliptique autour du, Soleil, et qui font varier par degrés les élémens de leurs orbites. Ces perturbations sont en général beaucoup plus considérables pour les comètes que pour les planètes, et elles sont surtout sensibles dans la durée des révolutions. Leur détermination doit dépendre évidemment des mêmes principes que celle des inégalités planétaires , puisqu'elles dérivent de la même cause, et la méthode exposée û* i5, livre II, qui consiste à exprimer TefTet des forces perturbatrices par la variation des constantes arbitraires qni entrent dans les formules du mouvement elliptique, parait être encore dans cette question la plus appropriée à la nature du problème. On détermine , en effet, très simplement de cette manière les variations difTérentieUes de chacun des élémens de l'orbite, et il ne s^agit plus que d'intégrer ces formules pour avoir tous les élémens du mouvement de la comète dans son orbite troublée. Malheureusement €ette intégration présente de grandes diffi •

cultes. Les excentricités des orbites des comètes étant en général très considérables^ et leurs inclînaisans à récliptique variant à Tinfîni^ il n^est plus possible de développer la fonction perturbatrice en série convergente ordonnée par rapport aux puissances ascendantes de ces quantités , et il faut renoncer a l'avantage d'avoir, pour déterminer les inégalités des comètes, des formules qui, comme celles des perturbations planétaires, embrassent un nombre indéfini de leurs révolutions et ne demandent que des substitutions numériques pour donner les résultats cberchés. Pour intégrer les formules différentielles des élémens de lorbite troublée, on est obligé ici de recourir aux méthodes d^approximation connues soas le nom de quadratures mécaniques. Ces méthodes consistent à partager la courbe décrite par la comète en portions très petites , par rapport auxquelles on détermine les altérations produites par les forces perturbatrices sur chacun des élémens del'orlnte; différentes formules donnent ensuite le moyen d'en conclure les variations totales de ces élémens dans l'intervalle compris entre les deux extrémités de l'arc de trajectoire que l'on a considéré. On peut déterminer de cette manière les altérations des élémens de l'orbite elliptique pendant une révolution entière de la comète, c'est-à-dire dans Fespace de tenaps qci ^'écoule entre deux, passages de cet astre au périhélie; mais les calculs que cette méthode exige dans les applications spqt immenses, etiil convient de les res- .treindre apt^nt que possible, pour éviter tout traeVailini^tile au caleulatèur. C'est tteiqu'pn^peut faire

très simplement lorsque la comète est dans la partie supérieure de son orbite ^ et que sa distance au Soleil devient très grande , relativement à celle de la planète perturbatiice au même astre. La fonction dont les perr turbations dépendent peut^ dans ce cas^ se développer en série ordonnée par rapport aux puissances descendantes de cette distance, et les expressions diflférentielles des altérations des élémens elliptiques se partagent alors en deux parties dont lune est intégrale par elle-même^ et dont l'autre^ beaucoup moins considérable que la première , peut se déterminer par des approximations successives , aussi exactement que Ton feut.

La théorie des perturbations des comètes peut donc être regardée comme complète, et les travaux de Lagrange sur ce sujet, exposés dans un beau Mémoire qui remporta le prix proposé par FAcadémie des Sciences, en 1780, n'ont presque.rien laissé à faire a ses successeurs. Sans doute on pourrait désirer, pour déterminer ces perturbations, une méthode dontlap-^ plication numérique fut plus simple ; mais, par la nature même des difficultés que présente la question, il me parait douteux qu'on y parvieinne, et il est probable que long-temps encore ce sera à la patience du calculateur à suppléer sur ce point aux imperfections de l'analyse.

Nous présenterons, dans ce chapitre, les expressions différentielles des élémens de l'orbite troublée des comètes 9 sous la forme particulière qu'il convie^nt de leur donner, pour faciliter l'application de la méthode des quadratures mécaniques à leur intégra-

tion. Nous développerons ensuite ces formules pour le cas où la comète est dans la partie supérieure de son orbite y et en considérant les termes de ces ex* pressions qui peuvent s'intégrer rigoureusement, nous donnerons des formules analytiques qui exprimeront y SOUS forme finie y la partie la plus considérable des perturbations. Nous exposerons enfin le moyen de déterminer par approximation l'autre partie avec toute la précision désirable. Dans le chapitre suivant, nous présenterons ^ avec autant de détails que le permettront les bornes de cet ouvrage , l'application de ces formules aux trois comète^ dont le retour périodique est maintenant constaté.

29. Soient m la masse de la comète Xyjr^ z ses coordonnées rectangulaires rapportées au centre du Soleil dont la masse est représentée par M; soient ar', "/y z' les coordonnées de la planète perturbatrice m! y rapportées aux mêmes axes et à la même origine que les premières. Si Ton désigne par r et r' les rayons vecteurs de m et de m'y et que pour abréger on fasse

les trois équations différentielles du mouvement de m autour de M, en négligeant, pour plus de simplicité , la masse de la comète devant celle du iSoleil prise pour unité, ce qui suppose m -f- M = 1, seront, »•»• livre II,

DU SYSTEMS DU M01I9E. 87

Lorsque R est nul^ ou lorsqu'on fait abstraction des forces perturbatrices, ces équations sont celles du mouyenaent elliptique : nous avons développé leurs intégrales complètes dans le chapitre lY du livre c\Xé.

Supposons donc que x,y, z soient les trois coor^ données de la comète dans Torbite elliptique, et x+Jlr, j'-f-ciy , z-f-J^z, ce que deviennent ces valeurs dans Forbite troublée , J'a: , jy et «fz étant de 1res petites quantités de Tordre des forces perturbatrices; en substituant JC+J^-^^ J^+^^ z-i^J'z , à la place de x^y, z dans les équations précédentes, et négligeant, comme on le fait ordinairement dans la théorie des comètes, les termes du second ordre par rapport à m', on aura

Si ces é<|uatton& étaient intégrables , elles donneraient iniiuédiatement les valeurs des variations ^x, dy et cTzr ^^ ^^ 1^ joignant aux valeurs des trois

88 THÉORIE ÂNALTTIQUB

coordonnées x,jr^z relatives au moavement elliptique , on pourrait déterminer à chaque instant le lieu de la comète dans son orbite troublée.

On peut satisfaire aux équations (B) dans deux cas qu'il convient d'examiner^ parce qu'il en résultera des considérations qui nous seront utiles dans la suite. Supposons d'abord que la comète s'approche beaucoup du Soleil ; les coordonnées x^ y, z deviennent

^lors très petites ^ ainsi que les quantités j- ^ J"» "J» en effet, en développant R, on a

R = ™'.0 l.p+!.<Sa:^'±i!Ï+ eu..),

d'où l'on voit que si l'on suppose que cc^jr^z soient de l'ordre /»', les trois différentielles partielles de R seront de l'ordre du carré des forces perturbatrices; et les altérations qui en résulteront seront insensibles. Il est permis y par conséquent, de supposer nuls les seconds membres des équations (A) , d'autant plus

que dans ce cas les termes ^, 4^ A deviennent

très grands. Le mouvement peut donc être alors re* gardé comme elliptique , et l'on satisfait en effet aux équations (B), en y faisant cTj:, Sj^l ^z égaux à zéro.

Concevons maintenant la comète dans la partie opposée de son orbite, et supposons que son rayon vecteur r devienne très grand relativement au rayon vecteur r de la planète perturbatrice. On pourra développer Pi en suite convergente par rapport aux puissances descendantes de r: on aura ainsi

en supposant , pour abréger,

R=î"» •L""pr+ ;5 ^ ^ hcicj.

£q différenciant cette expression de R, abstraction faite de R', on trouve

valeur exacte, comme il est aisé de s'en assurer, aux quantités près de Tordre -4- J la première des équations(B) devient donc

Si Ton observe que l'on a

et que , négligeant le carré des forces perturbatrices, on peut supposer dans les termes multipliés par m',

d*x X rf*x' ^

on verra aisément que cette équation peut s'écrire

ainsi

+ih- m'y) .^. + ifz - m'z ') , ^.

Lqs équations difTérentielles en ^j et S^z foarnirout deux équations semblables. On satisfait à ces équations^ abstraction faite du dernier terme de leur premier membre, en supposant £x^=^Tïix\ <jy= m'y' et cri5= m V. Soient donc

l'équation précédente deviendra

g /3x* I \ , 3ry . y 3x«

et l'on y satisfera en prenant ^zrzj.m'x, >i= j . /^J^, Ç=| ./Tî'z. Il en serait de même des équations différentielles relatives à >i et à Ç ; on aura donc enfin

Telles sont les valeurs de S'x, Sy et Sz qui résultent des équations (B), abstraction faite des termes que nous y avons négligés , et qui sont d'autant plus exactes que la comète s'éloigne davantage du Soleil. Si l'on voulait avoir des intégrales de ces équations plus approchées, on désignerait par J'^Xy S'jj J^z, les quantités très petites qu'il faut ajouter aux précédentes, pour avoir les valeurs exactes de S'x^ jy, S^Zy et changeant dans les équations (B) cTx, jy, ^z en cT'x, S^'jy cT'z et R' en R', on aurait trois nouvelles équations qui serviraient à déterminer ces quantités.

5o. Froposons-'uous maintenant de déterminer les variations qu'il faut faire subir, aux constantes qui entrent dans les formules du mouvement elliptique^ pour satisfaire généralement aux équations (À), au

DU SYSTÈME DU MCWDE. gi

moyen des mêmes intégrales. Ea supposKaDt R. nul , nous sommes parvenus, dans le chapitre IV du livre 11^ aux sept intégrales suivantes ,

p, — zjr, = C", ^= <ÎX — c'z, — /,

£n nommant y pour abréger, x^^jr^^ z^, les trois

... , dx dy dz

La constante a représente, dans ces équations , le demi grand axe de l'orbite.

Les trois constantes r, c', (? fixent sa position. En effet, si l'on nomme ^ l'inclinaison du plan de cette orbite sur le plan fixe des x,y, et <t la longitude de son nœud ascendant comptée sur le même plan, on aura

z = tang^ cos a .y — • tang ç sin a . x.

Cette équation , étant comparée à l'équation cz-|-c3^^-c'ar=o, qui résulte des intégrales (C), donne

tang(p = .i — ^ , tangût = — ^.

Les conslantesy, /*', f^^ déterminent l'excentricité et le lieu du périhélie. En effet, soient e le rapport de l'excentricité au demi grand axe^ et / la longitude du périhélie projeté sur le plan des oc^j^ on

ga THÉORIE ANALYTIQUE

aura]^ Q° ^ i > livre II ,

Pour simplifier les formules suivantes , nous prendrons y pour le plan fixe auquel on rapporte la position de la comète et celle des planètes perturbatrices , le plan de Torbite primitive de la comète \ dans ce cas, l'angle ^ est nul à l'origine de la période que l'on considère, en sorte que les constantes c' et c' seront de l'ordre des forces perturbatrices. On a d'ailleurs , par le numéro cité,

d'où l'on voit que y est du même ordre que c' et c". 11 suit de là que si l'on n'a égard , comme nous le ferons, qu'à la première puissance desj forces perturbatrices, on pourra négliger le carré àef^; si de plus on nomme cû la longitude du périhélie sur l'orbite comptée à partir de l'axe des Jtr , oa aura, aux quantités près du second ordre, par rapport à l'inclinaison ^ , i=c0; on aura donc simplement , pour déterminer les deux constantes ^etoo,

ou , ce qui revient au même ,

e . sin û) = y , e . cos où =y^ (^)

Déterminons maintenant les variations des six

constantes a y c, c\ <l\ f et f^. Comme les grandes excentricités et les grandes, inclinaisons des orbites des comètes ne permettent pas d'appliquer à ces astres les formules que nous avons développées dans la théorie des inégalités planétaires , nous ne suivrons pas ici l'analyse du chapitre VI du livre II, et nous exprimerons les altérations des élémens de Forbite elliptique par des formules qui contiendront la quantité R et ses différentielles sous la forme où elles sont données immédiatement, c'est-à-dire en fonction des coordonnées de la comète et des planètes perturbatrices. Les intégrales (C), où les constantes arbitraires se trouvent exprimées au moyen des coordonnées de la comète et de leurs différences premières divisées par l'élément du temps, sont très commodes pour cet objet. En effet, nous avons vu n'Sj, livre cité, que si Ton suppose à lune quelconque des intégrales du mouvement elliptique cette forme

a = fonct. (x , 7", 2, ^,,J;,z,),

la même intégrale conviendra aux équations différentielles du mouvement troublé, pourvu qu'on y regarde comme variable la constante a , et qu'on détermine sa variation par l'équation

La caractéristique cT désignant ici des différentiatioQs relatives aux constantes seulement, les variations de ces constantes étant liées entre elles par les équa-

tions

J'XzsOf jy=o, «Tzrsso,

Si l'on substitue successivement rt, c, c-, d',/, f et leurs difTcrentieUes dans la formule générale (D) , et qu'on remplace les trois quantités S^x^ , cf/^ , /z^ par leurs valeurs , en observant que z est de l'ordre des forces perturbatrices et que nous négligeons leur carré ^ on aura d'abord

et ensuite

JR É?K\

de' :=:— a^.-^.dt.

Les variations des constantes y]> f, c\ c" étant déterminées, on en conclura aisément celles des censtanstes Cy (^^(^ ^i a. En effet, en différenciant les équations (6) y on aura

de 3=r sin ûù.df ^cosco.dfy edcùsszco%cû^df' — smèù.df.

Noos avons nommé â» la loogîtade du périhélie comptée de Taxe des jrr; si l'on prend ponr cette droite le grand axe de Vorbite de la comète y cù sera de l'ordre des forces perturbatrices^ et les équations préeédentes donneront simplement

de z=:zdjy edûù = df^.

Si l'on suppose , comme dans le n* 44t ^^vre 11^ tang ^ sin a =:^/>, tang <p cos 0,^=1 q ^

et qu'on remarque qu'on a, n* 20 du même livre, c*-}-c'*+ c"*=fl.(i — e*) , ce qui donne, en négligeant le carré desforces perturbatrices c-=^\/a.{i — e*), on aura

, de j ' de

Ces formules serviront à déterminer la position de Torbite troublée de la comète par rapport au plan <lfi son orbite primitive ; il sera facile ensuite d'en conclure la positiAnr de cette orbite par rapport à un plan Kxe quelconque.

5i . Il nous reste à trouver la variation delà sixième arbitraire qui entre dans les formules du mouvement elliptique , et que nous avons nommée la longitude delepoquCr Reprenons, pour cela, les formules de ce mouvement ; en faisant, pour abréger, n = a — • , un a, n*:>.a, livre II,

r= , ■ — p-^ — rsssfl.fi—^cosw). *^ ^

g6 THÉORIE ANALYTIQUE

Dans ces équations ,nt+e représente la longitude moyenne de la comète , «* -f- 6 — û> est son. anomalie moyenne, M son anomalie excentrique , et v^a son anomalie vraie.

Soient xetjr les coordonnées rectangulaires de la comète rapportées au plan et au grand axe de son orbite , les abscisses x étant comptées du foyer vers le périhélie, on aura

x = rcos(t» — et>), ^ = rsin(i^ — a>); on a d'ailleurs , en comparant les deux valeurs de r.

i +e cos (y — «»)

d'où Ton tire

=: I — ecos u.

sm(^— û)) = , COS ((^— û>) =

6 cos»

En substituant ces valeurs dans les expressions de x et dejr, on trouve

a:=fl.cosM — ae , ^= a^i — e*.sîn u.

Cela posé , si l'on difTérencie la première des équations (a), on aura, dans le cas de Tellipse invariable ,

ndt =: du.(i — ecosi^).

Cette équation doit encore subsister dans le cas de l'ellipse troublée, c'est-à-dire lorsqu'on regarde ses élémèns comme variables; on aura donc ainsi

d€'^dûà^=du.{\ — ecosw) — de.sxnUj (3)

lanooialie ei ne variant ici qu'à raison de la. variation des constantes que sa valeur renferme. '

Si Ton différencie l'expression de cos {i^ — û>) en y faisant varier les constantes e et co, et qu'on y substitue eç^uite jjo.ursin(i' — co) sa \aleur> on trouvera aisément j .

, mnu "1 I — « cos tf -, du^s^'^ : • de , • ao» •

Cette valeur , substituée dans l'équation (3) ^ donne

formule qui déterminera la variation de e , lorsque celles de e.'et,de.« seront/ cçiftnùes» On peut écrire ainsi cette ^qu^tLem • . »

, e</« . [cos w . f 2 — î? cas i) — eT '

efsi Fon remplace, dans le .secopd membre, de et edjù par leurs valeurs df et <(/!; et qu'on observe que les valeurs de x etj^, en. lês.difîerencîant et substituant pour du sa i^aleur tirée .de l'équation ndt:=zdu.(i — ecosw), donnent

j andt.sinu. , ., andi.yi — -e^.cosu ax = .— r ; ^ .* / W^ == ' ■' — '•

Il est iacile de voir qu'on pourra lui donner cette Tome IL

d* — A..(i-l/Ti:i?) = à=..iy.c(f—K.df)

aj/ 1— «■

^ an(i — Tf • \di ''^J'^dt-J )'

Maintenant^ si dans cette équation on substitue pour ^et df leurs valeurs déterminées précédemment^ en remarquant que l'on a

X dy — jrdx=i a^yji — e^.ndt^ û* . (i— e cos ^<)*=^• = of +J-* ,

on trouvera ^6=^û).(l — \/^) — 2a/id^.(^x^^-/^). (5)

Cette équation donnera la valeur de Vfé 'au moyen de celle de don supposée connue. -En remplaçant àa par sa valeur, on aurait, pour déterminer rffi, une foi^mule directe ; mais il est plus conmiode de Ini laisser cette forme.

On peut observer qu*en différenciant la première des équations {a) , nous avons regardé n comme invariable ; la variation de cette constante introduirait dans Texpression précédente de dt le terme — tdn; mais ce terme disparaîtrait dans l'expression différentielle de la longitude moyenne nt^ e qui serait en effet

ndt + tdn — tdn + de.

Il est donc inutile li'y avoir égard, puisque Impression de cette longitude est la seule qui contienne la constante </dans les formules dû mouvenienît elhp* tique, ou, ce qui revient au même, on peut supposa

que le moyen mouvenieiit est exprimé par fndt kns le mouvement elliptique et dai^s le mouve-^ meuttrouUé^ la valeur de n étante dans ce dernier cas j celle qui résulte des perturbations. Pour la dé^

terminer, observons que l'équation n = a"^» donne, eu la différenciant,

£n substituant donc pour ^ - sa valeur, on aura

Cette équaticm oonaera, ei^ l'intégrant et. en |r ajoutant une constante, le moyen; :mouyement .dan^ i'orbite troublée.. :

52. Rassemblons les différentes formula que nou^ venons de trouver. Si, pour shàpHiSeri: onlfaît

ce qui donne

et que l'on substituée dans ces formules pour y^/ -T^f

T-, lefr valeurs precédentèi%, ^t p6ur.;r et ;^, leurs Va-

leurs en fonction jdefu, on avi^

^Qo THËCaiE ANALYTIQUE

de 6sm\du.à\/v^\cosu,{xY''yX)^mdiâ.a V^ wVY, êd^ = m'da . a sîn u\ i^xY-yHy^rndu . n ^/i-e* . rX , d% = (i- V^ 1 -O • ^* — 27nV« . r . (xX+ J'Y) ,

' .Tl^du ' mm ' '

Kl— e*

dq — .rxZ. ;,

£q joignant à ces équations la suivante ,

dn = 3m du . a*w. sin m .X — 3nidu • a*n V^ i — *• • cos uY, (7)

qui donnô ?dt ijeçténi^nt- la variation -dtt* moyen mouvement, on pourra déterminer par de simples quaïratàrèii lés àltératiottià de èftâcùn deè élémetfs qui ÎRJ^êùt ^ lès dimensions et la pôsi^tion de Totbite de la comète, ainsi que la situation de cetasU^ à un 'îtistant donne-*» ^''- '- »- ^ . ..: .^

Dam .\e&} ^pplicajtions. :niip^éHqiies..d«B •. Soaamiles précédentes , on sera obligé de déterminer les valeui's des différentes variables qu'elles renferment, cqrrefipondantes à une valeur doimée de r^momalie excentrique u. On a, par le n? 3i, Texpression des coordonnées ^sc, j", et du rayon vecteur r de la comètel en fonction 4e.z/i r^<>^ pourra donc en déduire îmmédiatement leurs valeurs, et il ne restera plus qu'à qi^puler les valeurs simultanées des coordonnées x%

pris pour

4e Torbe de la planète'iHir ^elui^Ae^ là tx>mète^ A la

DU SÏSTÈME DU MONDE. Uk

longitude de son nœud ascendant*^ comptée sur ce dernier plan , à partir de la ligne des absides^ qu'on désigne de plus parV Fangle que fait le rayon yecteur ravec la lîgnedes^œùdsy onaura^ par une construction très simple ,

x'^zzr' cos i/. cos A — r' sin p'. sîn X . cos y , y s=zr cos i/. sîn A + r' sin i>f • coaA . ces y ^' z' sssip' sin i^'. sin y*'

Usera facile^ d après les positions connues des or- Bifes de la comète et des planètes perturbatrices , de calculer les constantes T^ety qui entrent dans ces valeurs. Quant au rayon vecteur /•' et à langle /, on observera que le temps écoulé depuis le passage au périhélie est donné, en fonction de u, par l'équation

. . ï ^ ==û».(m— e.sm m).

En joignant la valeur qui en résultera à l'instant du passage , on aura Tépoque qui se rapporte à la variation supposée dans l'arc de l'anomalie excentrique u ; fe tables astronomiques fourniront ensuite toutes les données nécessaires pour déterminer les valeurs correspondantes de r' et de p'.

35. Un des points les plus importans de la théorie [des comètes est l'altération du tèmp3 périodique; elle oepend de l'altération de l'anomalie moyenne, et celle- ^ se détermine aisément au moyen des formules précédentes.

En eflfet , si Ton nomme f l'anomalie moyenne de « comète , on aura , dans l'orbite elliptique ,

)oa TBÉORIE ANALYTIQUE

Cette équation conviendra encore au mouvement troublé y pourvu qu'on y regarde € et cù comme variables et qu'on y substitue pour n sa valeur

» = N +fdn,

N étant une constante qui représente la valeur de n, ou le moyen mouvement de la comète dans l'unité de temps , au commencement de la période que Toa considère, et fdn étant déterminé par la formule (7). On aura donc, en différenciant la valeur de f , par rapport aux constantes seulement ,

d^z=:dt.fdn + à — df»i

d'où l'on tire, en intégrant ,

fdÇ=fdtfdn + fdi^fd(a.

Cette équatiqn servira à déterminer la variation de l'anomalie moyenne ; on peut la simplifier en faisant disparaître la double intégrale qu'elle renferme : en effet, on a

fdtfdnsstfdn^ftdni on aura donc

fdC^^ifdn-^ftdn+fde^fdôû,

valeur qui ne dépend plus que de simples quadratures, comme celle des altérations des autres élémens de l'orbite.

Cela posé, on aura généralement pour l'expression

DU SYSTÈME DD MONDE. toi

de ranofnaiie moyeone dans l'orfaite troublée ^ après un temps quelconque t ,

Si l'on suppose que Ton commence à compter le temps i de l'instant du passage a.u périhélie , Tangle i—cù sera nul pour cette époque, puisque^ par cette hypothèse , on a Ç = o^ en même temps que i = o. On aura donc simplement

Soit T le temps qui s'écoule entre deux passage» coiiséeutifs de la comète à son périhélie ^ lorsqu'elle aura achevé sa révolution ; on aura

fdC^"tfdn — ftdn-^-fdg^fdctà. (8)

Les intégrales devant s'étendre depuis 2 =: o jusqu'à <=T,^ l'anomalie augmente dans cet intervalle de^ 36o^; on aura donc, pour le même instant >

a^ = NT+/iÇ, (9)

it étant la demi-circonférence dont le rayon est lunité.

Prenons, pour fixer les idées ^ la comète de 1682^ revenue à son périhélie en lySg, et dont il s agit de fixer le prochain retour. On calculerait immédiatement llnsfant de ce passage au moyen de l'équation fg) , si la valeur de la coxistai^te N, relative au périhélie de 1759, était connue; mais cette valeur ne saurait se conclure directement , comme celle des autres élémens de l'orbite , des observation^ faîtes pendant l'apparition de 1759, elle se déduit du temps qu'a

io4 THÉORIE ANALYTIQUE

employé la comète à faire sa révolution anomalistique de 1682 à 1769, et cette donnée est affectée des perfubations qu'a éprouvées cet astre durant cette période. Four la déterminer^ supposons que T soit rintervalle de temps qui sépare les passages de 1682 et de lySg, et que N soit la valeur de n qui répond à Forigine de cette période; à l'instant du passage au périhélie de lySg, par Téquation (9), on aura

Les intégrales /"devant commencera l'instant du passage au périhélie de 1682, où nous fixons l'origine du temps tj et s'étendre depuis i=o jusqu'à / = T; et les valeurs des constantes e , € , âi se rapportant aux observations du même passage.

Cette équation donnera la valeur de N relative an périhélie de 1682, et l'on en conclura celle de N', relative au périhélie de 1 769 , par l'équation

l'intégrale comnîençânf ,| comme les précédentes , à l'instant du passage au périhélie de 1682, et devant s'étendre depuis t z=z o jusqu'à ^ = T. On aura ensuite les valeurs du grand axe de Torbite qui se rapportent aux mêmes époques par les équations

Soît maintenant T' l'intervalle de temps inconnu qui s'écoulera entre le passage au périhélie de 1 769 et le prochain retour qu'il s'agit de déterminer* On

DU SYSTÈME DU MOITOE. io5

anra, povr cette époque,

les iïltég^ales f commençant ici à ricstant diu passage au périhélie de 1769^ et s'étendant. depuis < =s o jusqu'à ^ = T^; les valeurs des constantes e, €,0^ quelles renferment étant d'ailleurs celles qui ré-» snltent des observations de la comète faites à la niéme époque.

L'équation (11), qui ne renferme que l'inconnue T', servira à déterminer sa valeur. On connaîtra ^insi l'intervalle de temps qui doit s'écouler entre le passage de la comète au périhélie effectué en lySg, et le passage suivant; on pourra par conséquent fixer d'avance l'époque de son prochain retour au même point de son orbite.

34. Toute la difficulté de la théorie des pertuiliations des comètes se réduit donc à intégrer les formules (6). Cette intégration^ comme nous l'avons dit, n'est pas possible en général ; on ne peut l'effectuer que par le moyen des quadratures mécaniques. L'analyse fournit différentes formules pour cet objet ; nous allons présenter celle que l'on a généralement adoptée^ et qui résulte fort simplement des premiers principes du ^alcid aux différences^

Soit^- une fonction quelconque de^, et soient jr<o)^^(0^j,(0 '^ -, 7'^'\ ce que devient successivement cette fonction^ lorsqu'on suppose jr = o, jr=^a, «r=s2a, . * ., xzsïist; désignons par A^^^^, A7^*^ ^*c-»

io6 TBË(»aB A» ALTTIQUfi

les différences finies de ces quantités prises deux à deux , par, A^*^, A^'^ leurs diffîrences secondes et ainsi de suite , en sorte qu'on ait

yC0-yO^0=A^C«-O,

A*jfCi)-A'^*> =Ay*), A'yCO- A^^CO =a3j^C0 ^

A^j'CO-A'^C'-ïJ-sAy

etc«

De ces équations on tire, par des substitutions Êiciles ,

etc.;

Ay>,

d'où Ton conclut généralement

formule qui sera très convergente^ si les différences A/*, A^*^, A^*^, etc., décroissent avep beaucoup de rapidité*

Cela posé, on peut regarder j^ ss/^x) comme Téquation d'une courbe parabolique dont j^ représente l'ordonnée et x l'abscisse ; cette courbe passera par les extrémités des ordonnées équidistantes j^''^ j^'^f etc., et l'on aura d'autant plus de facilité pour

la tracer, que ces coordonnées seront pins* rappro-r cbées;^'^ sera donc l'ordonnée qui répond à l'abscisse quelconque ars=m tXjj^^da; Faire indéfinie com*

prise entre la courbe et ji;<axe des je. ^ dans l'équa*^ tion (m), on substitue pour i sa valeur - , on

aura

r(o=/»)+*.A/»)+g^.AV'>+'^^^^rrVAv»)ifetc.

Multiplions cette valeur par dx et intégron94a depuis x=z o jusqu'à a: = a , l'expression résultant^ sera celle de l'aire comprise entre les ordonnées jr^ et^^'^ j on trouvera - '

De même , pour l'aire comprise entre les ordonnées /O et j»^*\ on aura

et ainsi de suite*

En prenant donc la somme de toutes ces valeurs ^ OQ aura pour Taire totale comprise entre les ordonnées/•»> et^^"^,

fjdx = a . [yW +jM +^— iJ]

-f- etc. '

to8 THÉCHIIE ANALYTIQUE

On a d'ailleurs^

etc.

L'expression précédente devient donc ainsi

+ ^.|;Ay'>^Aj«3 •

— etc.

La détermination des différences àj^^, ^y^'^ etc^ qui entrent dans cette formule , dépend des quantités jr^'"*"'^, j^""*"*\etc., tandis quonnest supposé avoir calculé ces ordonnées que depuis j^'^jusqu'à^''^ Ce serait un inconyénient pour la pratique, mais on peut l'éviter en donnant une autre forme à celte expression. Pour cela 9 remarquons que des équations {k) , on tire

^yim) 3 2i^»-i) ^ ^yi—O + Ay^"~'^ -f- etc., A^">= A*/»-*^4- 2.A^(— '^ + 5. A^y^-^^+etc,

etc.; d où Ton peut conclure généralement

ou SYSTÈME DU MONDE.

iy)=A'j'C-«)+i.A'+';yC*-«-J^.£(î±L).A«-^t-'-)+elc.

Si l'on substîtae ces valeurs, qui ne dépendent plus que des quantités /», y»-**, etc. ,• dans la formule (G) , on aura