AM

— etc.

ICP)

Le premier terme de Cette série, représente^ \ comme il est facile de s'en convaincre^ la somme des petits trapèzes cpmpris entref Itô ordonnées j^""^, ^'^' • • ../^"^ spmme* qui approcherai d autant plus <le Taire de- k oottrbe' parabolique ,. que les ordou:nées seront plus rapprochées^ et leurs variations .jJus Klites. .A ' :. ,' / . •/

35. Four appliquer la. série précédente à ^'intégration des.forinfiles (6),. représentons par Vdu la variation différeaiielLe de l'ua .qu)&I<{onqtLe'.des élémens <le lotbitc de la comète^: et regardons P comme l'ordonnée de la courlie parabolique dont l'anomalie excentrique i£.ëst l'abscisse. On. fçva v^ti^r u^àe degré en degré ou de deux degrés en deux degre^^ etc. ,

on qu'on le jugera qonvenable^ et l'on détertpi-

ea selon

nera les valeurs correspondantes de P qu'on désignera par P^*^, P^*^, P^*^, etc., et Ton aura par la formule (P) la yaleur de /Fdu correspondante à un arc donné d^anomalie excentrique. On pourra presque toujours s'arrêter au premier terme de cette formule, les autres termes ne donnant que des corrections de l'ordre des quantités négligées. Le seul cas où il deviendrait nécessaire de considérer ces termes, est Celui où la comète approche beaucoup de la planète perturbatrice, ce qui rend

très grande la fraction -3, et par suite la valeur de

P. Mais alors il sera encore plus exact,, pour que les ordonnées P ne subisseilt pas de trop grandes va« riations , de diminuer l'intervalle qui les sépare et de faire croître l'anomalie excentrique de demi-degré ^h demi*dëgi^é , ou de degré en degré , etc. , selon les circonstanceà. ' «

* 36. On pourrait déterminer, par ceite méthode , les variations des élémens de l'orbite elliptique pendant une révolution enjtière de la oomèiô; mais nous avons vu que lorsque cet astre est dans la partie supérieure de son orbite , et que la comète s'éloigne beaucoup dé la planète perturbatrice, la partie la plas considérable de ses peftartfations pouvait s'exprimer par des formules analytiques qui n'exigent plus que des substitutionis numériqalés , ce qui fadJite beaucoup le calcul de ces perturbations. Développons donc dans l'hypothèse précédente les variailionf 'des élé* mens de l'oi^bite. . «^

Reprenons la valeur de R , »'i

Si FoQ suppose la distance r de la comète an Soleil très considérable par rapport à r^, distance de la planète perturbatrice à cet astre , on pourra réduire Fex* pression précédente en série convergente « par rap-port^aux puissaiH:qi descendaiites de r, et l'on aùra^

R' représentant une suite de termes dont le plus

élevé est de l'ordre^

L avantage qu'il 7 a à décomposer ainsi R en deux parties, c'est "que la fonction R' est essentiellement

très petite lorsque le rapport - est uae .très petite

fraction, tandis qu'âti contraire R conservé toujoùri une valeur finie, quel que soit l'éloignemen^ de la

comète, a cause du terme —/r^ — qui ne de^

pend que de la distance de la planète au Soleil. li^en résnlte qu'on peut, dans une première approximation^ néglîger tôut-à-fail: la secondé partie de R j les formules (6) deviennent alors intégrables par ellesmêmes, en sorte que la partie la plus sensible des perturbations des comètes peut toujours être exprimée analytiquement par des formules finies , lorsque la comète est dans la partie i^upérieure de son orbite. Dans rapprozimaâon suivante,' bii con^dérera la

fonction R', mais il suffira le plus souvent de s arrêter aux premiers termes de son développement.

Faisons donc d'abord abstraction de R'; si Ton de'signe par la caractéristique d^ défi différentielles uniq^uement relatives aux coordonna de la comète^ oa aura .

On peut, dans cette valeur, remplacer 3 , -tj par

reur que l'on commet étant de l'ordre du carré des forces perturbatrices. On trouve aîri^î ' •

Si l'on substitue cette valeur Idans là formulé (0, n** 5o, et qu'on l'intègre , on aura* , ' • . , î ,

S^ l'on 'détermina l|a, constante que cette éqi^alioa repferA)ie par la condition que cT^i^soit Qui au point dé Torbite o.ù l^on a commencé à coifsidérer séparément les deux parties, de R ^ l'expression r^ultaqte sera celle de l'altération dujgra^d *a^ j^pf.çs^jUn .temps quelconque , compté à partir de ce j|^injt,;dviç. \ la partie de R.indépendaptQ.deRf. , . ..

On peut obteair, d'une autre jmanrère , la valeur de fT/si, En effçt^^si l'oa différencie^^. par rapporta ia

ou 4TSTËME DU MONDE. imS

caractéristique e^ , qui aura ici la signification, que nous lui avons donnée n^ .29^ reqjii^tion

1 a dx^ + dy + dz^ a r ^ de^

On aura

^a ^^^ 2#r ^dxd.i'x +2dyd,i'y

Nous ayons trouva , dans le numéro cite ^ par' l'iniiéigration directe des équations difierentielles du mour vement troublé,

En substituant ces valeurs et leurs différentielles dans l'équation précédente , on aura

OU bien en remplaçant, "-^i-^ P» sa valet|r -»—•-,

era=— -./ntf— ^//ifl 'VF-J ? — ri 3?— ^j-

On voit que cette expression coïncide avec celle que nous avons déduite directement de la formule (i)^

en supposant dans celle-ci const. = — « ^^^f I^ constante arbitraire étant déterminée , dans ce cas, de manière à satisfaire aux équations