KO
Ce terme est beaucoup ptu^ plus petit que Tinté-
DU SYSTÈME DU MONDE. iiiS
grale
H' . /cos {h + IV + K') . di^%
puisque - est suppose une très petite fraction, et que
le facteur ;^^' ^ est aussi très petit; car aJi-e) y d .[} — /*)
est la distance pe'rihélie de la comète , et cette distance est beaucoup moindre que ci relativement aux trois planètes supe'rieures , les seules dont on ait ordinairement à considérer l'action. On pourra donc supposer Fîntégrale H'.ycos(/f' -f-/V+ K'). rf/, a très
peu près égale à y . sm • {J>v + ZV -(- K') , et négliger
lautre partie de sa valeur. Si Ton voulait cependant y avoir égard, comme cette partie est absolument de même forme que l'intégrale H/cos(«V4-*'^''+K),rff', On pourrait la développer comme elle en une suite de termes semblables au suivant ,
H"./cos.(5(^ + A'+K0-^^'*
que Ton intégrerait par la méthode que nous venons d'indiquer. En continuant ainsi , on diminuera à volonté l'erreur résultante des intégrales négligées, et l'on approchera d'aussi près que l'on voudra de^a valeur de l'intégrale
H ./cos (iV + i's/ + K) . rfv.
U ne s'agit donc, pour appliquer aux équations (F) la méthode d'intégration précédente , que de développer ces formules^ ce qui ne demande plus que des suba-
ia4 THÉORIE ANALYTIQUE
titutîoiis faciles. En joignant les valeurs de J'a^ Sf^
^f'f ^Kf ^P f ^^ ^"i ^^ résulteront à celles qui se rapportent à la partie de R indépendante de R'^ on aura les altérations totales des élémens elliptiques de la comète dans la partie supérieure de son orbite.
39. Voici donc^ d'après les résultats précédens, la marche qu'il faudra suivre pour déterminer généralement les pertur}3ations d'une comète et fixer à l'avance l'époque de son retour au périhélie. Prenons pour exemple la comète de ïySg. Les observations faites pendant ses apparitions en 1682 et en lySg, ont fourni toutes les données nécessaires pour déterminer lès élémens de son : orbite à ces deux époques. Elles ne donnent point directement, il est vrai f la valeur du grand axe ; cette valeur dépend , comme nous l'avons vu , des perturbations que la comète a subies pendant la révolution de 1682 à lySg; mais on peut , dans le calcul de ces perturbations , regarder l'orbite comme une ellipse dont le grand axe répond à la durée observée de cette révolution ; les quantités négligées seront de l'ordre du carre des forces perturbatrices. Partant donc des élémens de 1682 , on déterminera leurs altérations ainsi que celle de 1 anomalie moyenne, pour les six premiers signes d'anomalie excentrique^ c'est-à-dire depuis m=o jusqu'à M= 180°; pour les six autres signes, il sera préférable de fixer l'origine de l'angle u au périhélie de 1759, et de remonter vers 1682 , en faisant u négatif et en employant les élémens déduits des observations de 1759. Dans le troisième et le quatrième quarts de^' son ellipse^ la comète étant beaucoup plus
DD SYSTÈME DU MDMDE. ii5
éloignée des planètes perturbatrices que dans les deax antres ^ on pourra prendi*e cette seconde moitié de lorbite pour ce que nous avons nommé la* moitié supérieure p et employer avec sûreté les formules qui s'appliquent à ce cas. Dans les deux autres quarts on fera usage ^ pour calculer les altérations des élémens de l'orbite, de la méthode des quadratures mécaniques.
Oa déterminera , par ce moyen , le grand axe de Torbite qui répond au périhélie de 1682, et l'on en conclura celui qui se rapporte au périhélie de i ySg. On recommencera ensuite les mêmes opérations depuis 1759 jusqu'au prochain retour de la comète au périhélie; mais comme l'époque de ce passage est inconnue, on pourra, pour plus d'exactitude, rectifier l'orbite de 3o en 5o degrés, en employant pour chaque signe les élémens de l'ellipse qui résulte des calculs précédens. Lorsqu'on aura ainsi déterminé les variations de l'anomalie moyenne et des autres élémens de l'orbite depuis u = o jusqu'à tt=:56o% on en conclura l'époque du prochain retour de la comète à son périhélie et les élémens de son orbite à cette époque.
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