Tome IL

1 14 ■ • IBÊORÏB ANALYTIQOB

L'ëquation /i* r= — 3 donne , cn la différenciant par rapport à «T ,

fin siibetititant donc pour ^a sa vaknt précédente, on aura

Cette valeur, augmentée d'une constante, donnera l'altération du niQj^cn mouvement due à la psortie de R indépendante de R'.,

Déterminons , d'une manière semblable , la varia- - * tiou de rexCeutricité et du périhélie due à la même partie de ïl»

La quatrième des équations (C), en remplaçant ç et c' par leurs T^leurâ et niégligeant le carré de Zy donne

^ £n différenciant^ par rapport à la caractérîstiqae cT, cette équatioiiy on aura

+ dy . {xd. S'y —yd. 9x + dyS'x — dxiy)

DU SYSTÈME DU MONDE. ii5

et en stilistîtnant dans cette ëquatîon, pour S^x, Sy^ cTs; leurs valeurs précédentes, elle donnera

^'" 1 rf? ^ i^ ^ dt^

^ dy.{xdy—y'dx+xdy — ydx')\

Si Ton ajoute une constante arbitraire au second membre de cette équation , et qu'on la détermine par la condition que cl/ soit nul à un point donné de Forbife^ 1 équation résultante donnera l'altération de/ à paitir de ce point , due à la partie de R indépendante de R'. Cette valeur doit être identique avec celle qui résulterait de l'intégration directe de l'expression de (//J n® 3o ; c'eçt en effet ce qu'il est facile de vérifier en là développant dans l'hypothèse précédente ,

et en observant qu'on peut y substituer — j^ ^

à'x . ^ , jg X . . x' . d\y dW

-^ a la place de ^ et de ^, et — -3^—7^

i la place de ^ et de ^.

Si l'on substitue pour ^ ' ^T'^ sa valeur /-}• - dans Texpression de //, elle devient

dy . {xdy —y'dx + x'dy -ydx')-^ "'" dt* J*

En changeant, dans cette formule , x en y\, x' enj't et réciproquement , on aura , pour déterminer Talté-

ratioa de f due à la partie de R iadependante de R',

dx . {xày'— y'dx + xdy — ydjy^

^ dF- J-

Connaissant les variations àefel def% on aura celles de tf et de » I par les équations

^e=^f et ej^oïssj'/'.

G>nsidérons les variations de l'inclinaison et du nœud de l'orbite due à la même partie de R. En la différenciant ^ on a

dz

= „t'.[^fL f ^3 — 7s-(^^'+jr03

Si Ton substitue cette valeur dans les valeurs de rfc' et é/c', n® 5o, et qu'on néglige les termes de l'ordre du carré des forces perturbatrices , on trouve

Remplaçons, dans ces équations, p^ ^» -tj par

— 2?^, "~3^» — "dF^ mtegrons les équations

résultantes, nous aurons

"* < di J*

DU SYSTÈME DU MONDE. i r

Les valeurs de i'c et de JV étant ainsi coanaes, on aura celles de i'p et de eT^ , dues à la partie de R indépendante de R' par les équations

dp c= =; f oq zs^i"^ .- .zsr p •

'^ ya.{i—e^) ^ V/a.(i— O

et il sera facile d'en conclure les altérations corres^ pondantes de Tinclinaison et du nœud.

En retranchant les valeurs de J^a, J'n, J^f, ^f\ îc\ cTc*, à un point donné de Torbite, de leurs valeurs à un autre point donné, on aura les altérations dans l'intervalle, de a, w, y*, y^, c\ c', dues à la partie de R indépendante de R'.

37. On pourrait exprimer, par une formule semblable aux précédentes, la variaiion de la longitude de 1 époque due à la même partie de R ; mais cette for* mule est inutile à la détermination de laltération de lanomalie moyenne, qui peut se faire très simplement de la manière suivante : supposons que Ton fixe l'o*rigine du temps au point de l'orbite où l'on commence à diviser en deux parties la fonction R, et

nommons N le moyen mouvement de la comète en ce point , c'est-à-dire la valeur de n qui résulte des perturbations précédentes ; on aura, après un temps quelconque t , compté du même point ,

fndt + tS'e — J'cûzzz'Nt+fS'n.dt+Sé'^J'cù.

En désignant par J^'n la variation de n due à la partie de R indépendante de R', on aura donc , pour déterminer. Taltération correspondante de Tanomalie

moyenne ^

J^ =//'7î .^// + cTé — cTû».

Si Fon dîflërencîe cette expression et qu'on y substitue pour d.S'^ — d.S'cùj sa valeur donnée pari équation (4) , n* 5 1 , on aura

, équation qu'on peut écrire ainsi t

+ ( \-i'e.' ^ + 2gJw, ].ndt.

En observant que Ton a, n° 5i, 7zrf/=rf«.(i-ecostt), nous avons trouvé plus haut

Si Ton désigne par 7»7 ce que devient la valeur de Sn donnée par la formule (g^) , au point de Forbite d'où nous comptons maintenant le temps t^ il est clair qu'on aura

&'n =s cTn — nil.

Les valeurs précédentes de J^n, jyi cTy donnent d'ailleurs cette relation très simple^

in ^ 2 cos u-\-e ^^ , 2 sin ^ j^^, m' ^xdy^dx+ydx^xà

équation qu'il est facile de vérifier en remplaçant S'n, eT^ eT/'; par leurs valeurs et en comparant

daos les deux membr^a 1^$ co§fl^îw*r tl*'M*^éjr'»j •7- et -4^ après les avoir préalablement exprinM^'feii

fonction de u.

L'expression de rf. J^Ç deviendra donc , en y substituant ponv J^Hf, J'e, e^(» leofs viikutâ;^ él eoi riptegrant ensuite * J *^

^ — + const.

On a^ra IVltération de Fanom^lfe moyenne, depuis un point deT^rbite jusqu.a un auire ^Ofjrit dëmS^ d«éf à la partie de R indépendante de R'^ en retranchant la valeur de d^ au pfôim^ de ces jM^ln'ts ^ sa tal^P an second.

58t GoiAâdéT*bn£i fflaânteitaiLt Içs s^térâtkats des éle^ mens de Torbite dépendantes de R', Lorsque la comète se trouve d,ans^ ^ p^rtiq pupé^îeure de,5i;ia m'^yX^y. ^. étant une tm peft^ <fuaatijt4 / iôs. y^ui^. 4^. qe3 :v»x nations sont aussi très peu considérables. Si pour les obtenir, on substitue ÎP à la pl^ce'dfe R dans lesTor^ niiiles(ij,ef (2), ce changement n'altérant en^neu ieur forme , il est clair qu'elles s'intégreront encore parkméthode eiposék' n** 54. Mais^ dan$ le cas ou la comète s'éloigne beaucoup de. la planète perturba^ triée, et où il est avantageux de partager ainsi K en deux parties, ces formules peuvent se développer en suites convergentes , et Ton obtient i^rs intégrales par «ino métbo^ d^pproximaj^oa beAuqwp

i» l^ÉORIE AKALTTIQinS

plâs < expiéditiv-e ■ ^e eei\e des qtiadratares mêca'- Pour le faire voir, reprenons la valeur de R',

Si Fou difier-èacie cette 'valeur par rapport aux variables Xf j; s, et que pour abréger , on &sse

__3 /» i5 (,xx'+yy+,z'-i/r 35 (x*'+yy+z,'~l/')' .

il:^st aise de s^a$wrer qu'on aura . • - .

àubâtituons ces valeut^ datïS les fdrmuiésîCT), (4)> (5), après y avoiif changé R. en IV',- nous aurons

«r/'=: /h' . P'.Cr'jr— à /) . dx+»i'(jirdx— xrd^) . (Py+PV) ,]

dp s^ — .^^yz.dL ,

mf

Si Ton teiriplace dans ces fbfrfndéi P et P' |>ar les

DU SYSTÈME DU MONDE. im

séries que ces lettres représentent; qu'on substitue ensuite pour jc, j, z, et r leure valeurs

x=^r cosv. r=:rsin p, 2=5:0, r= — ^ ^

et pour or', j^', z', r', leurs yaleurs données , n°32, en foDCtipa des sinus et cosinus de y'; qu'où observe que par les formules du mouvement elliptique, on a

il est évident que chacune des expressions précé'dentés pourra se développer en une suite de ternies de cette forme

fi.côs/iVH-iV + K),r/(;, {p)

i et i' étant des nombres entiers , H et K des constantes fonctions des élémens dçs orbites de la comète et de la planète perturbatrice.

Ces termes s'intègrent sans difficulté dans le cas où i' = o; ils ne sont plus intégrables généralement lorsque i' nest pas nul; mais quand la comète est dans la partie supérieure de son orbite, les termes de cette espèce sont considérablement plus petits que les précédens , en sorte qu'on peut presque toujours les négliger sans scrupule. Au reste, si l'on juge convecable de pousser plus loin l'approximation, oa pourra le faire de la manière suivante.

Les deux équations {n) donnent

lam THÉORIE ANALYTIQUE

Le terme qall s'agit d'Intégrer devient, ea substi-^ tuant cette valeur,

Si , dans cette intégrale , on met pour --^ » ^ valeur

a», (i — If') . [i + c' . cos (f^--0? '

et qu'on remarque que e* est une très petite quantité, il est clair qu'on pourra la développer en une suite de termes de cette forme

H' ./. cos (/P + r^' + KO . ds^\

Ce terme peut encore s'écrire ainsi :

on aura donc, en intégrant.

Si dans le dernier terme on substitae pour d» sa valeur, il devient

H7 V/« (• — ?") C^*àv'

y- . ■^---. =-=. ./ r-.COS .(Jv + te +