Tome II

i3o THÉORIE ANALTriQUË

à présumer que la dëcooverte des comètes à longue période I .cotnine oelle de 1682 1 sef^a toujours txk rare, surtout .si Tbb remarque, qia'on n'obserire oes autres ar^c .asses dis soin et assez; de .précision que depuis deux sièdés. Les incertitudes dont les.. Ob' senratiooas précédentes sont affectées î doivent meuve sbuLVent tromper lei conjectures qu!eUeS' ont fail naître; c'est ce qui est arrivé, en efl^^ pour h comète de iSSs, observée par Appiéii»'liês rapports qui eKislent entre sea iélâaien& :et ceux d'une îcomète observée en 1661 ^ par JHévéHus, avaient' fiiit penser qu'ils appartenaient k un)même aiftre ^o^t la^j^ok-* tÎDn était :de 1 18 année$ eaviroû ,^ let -éki eoosé^ence on att^dai^ le retoiir de -cette oemète vers 1789; maïs elle n^a pas r^Muiiv ••

Nons regpéttoais que les bonies^«fid«cet:o«^rtàge ne nous permettefft pas de dçvelopper,^ o^tîs toute leur étendue lies résultats de l'^plicatioii' de la théorie exposée daûÀ le-cbapitre précédenVàtft ^trois comètes dodt BOUS venons de tracer riiiâfdtré'^^tt^aîs du moitis, eti présentant le résulné de ce^ eûëiih , Ûdué éW iûS^ qu^rons la marche âVec asse^ de détails' potir éviter 1 tdut emkài>ras è' ceux qmi Vôudraitsnt dès vérifier ofi les potasses plus*tôitv; eu donsidétatftidé nouvelles re« volutiùtis de ces Comètes. ^ • -^ 1 -'

Déttrminatwn du ^prochain retàufaù pénhélît de h

tomète de ïj5g.

4i* Les premières observationlS) un peu certaînei qu'on ak de cette comète se rappor tebt à son appaiitioi*

su ST5TÈHE DU MONDE. tâi

en i53i ; elle repassa depuis à son périhélie en 1667^ ' 1682 et 1759. Les durées de ces trois révolntioiis sont, comme on ¥oit^ très inégales. La première période^ en effets lâait de 76 ans et deax mois k peu près ^ ou dej^Sit jours; ta seconde i de 2y5S2 j<mts, et plus oonrte par eonséiq^uent de 4^ jours qde la précé^ dente; enfin > la dernière ^ la j^s longue jdes trois ^ était de ^79^7 jours. Il serait donc impossible de i^ien conclure sur les -retours futars-de cette coqièl^ i son pénhâîe san» le secours de la tiiéorie , et la détermi-inatioa des perturbations qu'elle éprou¥e p^r Faction des planètes peut seule nous mettre en état-db prédire rinstaoït de sa prochaine apparition, f II Êiut^ pour cela^ commencer , comme nous Tarons TU A*" ^i panr déterminer le moyen mouvement diiime de la49omète au périhélie de 1769 , ce qui exige que l'on calcule les altérations qu'ont subies les élémens de son orbite pendant ia période de 168:2 à lySg. Les seules planètes dont l'action snr^la cdmèle ait pu être sensible dans cette révolution sont Jupiter, Saturne et Urftnus.iLés iMêméf^planètcs"ont encore influé sur son mouvement dans la révolution subséquente 5 mak dans Tannée lySgjlà comète s^étant beaucoup approchée de la Terre ;J il est deveiju indispen$able d'avoir égard à cette nouvelle planète dans le calcul des perturbations , et ' Tbii verra , eh effet, qu'il en résulte une diminution de quelques jours dans la durée de la période que nous nous proposons de déterminer. Nous n'aurons donc à nous occuper, dans ce qui va suivre , que de l'action perturbatrice de ces quabne planètes : les calculs qui en

i33 THÉORIE ANALYTIQUE

résulteront exigeraient des déyeloppemens très étends; mais comme ils ont été faits avec beaucoup de soin par M. Damoiseau^ et que nous avons eu récemment l'occasion de les reprendre en entier et d'en vériûer l'exactitude^ nous npœ. bornerons ici à indiquer la marche et les résultats de ce^ calculs , et nous ren< verrons, pour les détails, au Mémoire de M. Damoi* seau, qui a mérité le prix que l'Académie de Turio avait proposé en 1812 sur ce sujet, et qui est imprimé dans les Mémoires de cette Académie , pour l'année 1820.

42 • Dans le calcul d es perturbations qui se rapportent à la révolution de 1682 à ij5g, nous regardierons l'orbite de la comète comme une ellipse dont le grand axe répond à la durée observée de cette révolution^ que nous supposerons de 27937 jours. Sucnommànt.donc

2a cet axe, et N = -j le moyen mouvement diurne

qui lui correspond , on aura

N = 1^ = 46%39oo9 , a = i8.oi86-

Les autres élémens de l'orbite qui se rapportent tant au périhélie de 1682 qu'à celui de 1759, résultent directement des observations faites à ces deux époques. Nous supposerons . pour paftir des mêmes don* nées que M. Damoiseau ,

liU SYSTÈME DU MONI«. i33

En i68a.

Instant du passage an périhélie 1 682 • 1 5^^*^ 24o02('^) Rapport de l'excentricité au demi

grand axe o .967639

Lieu du périhélie 5o2^55'

Longitade dn nœud. ..•••• 5i • 16

Indinaison de Torbite 17 «56

Sens du mouvement , rétrograde.

En ijSg.

Instant du passage au périhélie 1 7Ô9 • 1 5"% 08976 Rapport de Texcentricité au demi

grand axe .'..... 0.967554

Lieu du périhélie 5o3^ 8'

Longitude du nœud ascendant 53 • 58

Inclinaison de Forbite 17 .40

Sens du mouwmmt^ rétrograde.

Pour apporter dans les calculs le plus de précision possible^ il sera bon d'employer^ dans la première moitié delà révolution de 1682 à 1759^ les élémenis de l'orbite relatifs au périhélie de 168^) et dans la seconde ^ les élémens qui se rapportent au périhélie de 1759.

n ne s'agit plus maintenant , pour déterminer le prochain retour au périhélie de la comète de 1 759 ^ que de substituer, dans les formules du, chapitre

O Le temps est partout exprimé en jours moyens comptés ^ minuit au méridien de Paris. '

i»4 THÉORIE ANALYTiQUE

troisième^ les valeurs numériques précédentes^ à la place des » quantités qui les représentent^ ainsi que celles qui se rapportent uniquement aux planètes perturbatrices^ et qui seront données par les tables astronomiques. Loi^squjon aura ainsi déterminé les altérations: différentielle^ qu'éprouve chacun des élémens de rorbite par l'action des forces perturbatrices^ on aura^ par la fomude (P)^ les altérations totales de ces élémens , correspondantes à une variation donnée de l'anomalie excentrique. Dans Tapplication de cette formule^ on fera varier l'anomalie excentrique de degré en degré pour Jupiter ; mais comme les autres planètes que nous considérons exercent sur la comète des actions beaucoup moins sensibles 9 nous écarterons davantage ^ dans ce cas, les ordonnées de la courbe parabolique, et nous ferons varier cette anomalie de deux degrés en deux degrés pour Saturne et de six. degrés en six degrés pour Uranus.

43. Pour donner un exemple de ces calculs, propo* sons-noiis de déterminer les altérations des divers élémens de l'orbite résultant de Faction de Jupiter sur la comète pendant la période de 1 68j2 à 1 75g y et correspondant à un arc àfmvké de Tanomalie excentrique.

Par les tables de Delambre, on aura

Anomalie moyenne de 7^ au moment

dû périhélie de la comète en i68a. agi"* 17'

Lieu de l'aphélie. . . ^ . . . . , 189. 16.46'

Longitude du nœud, •••..•, 97. i3.54

Inclinaison de l'orbite. ... « i . 19. i5.

DU ST8Tftll]& SU mgSDR. 1 15

En coosidéraot le triangle intercepté sur la sphère céleste, par Vécliptique et le^ orbites de Jupiter et de la comète , on trouvera atsépient , d'après les don^ nées précédentes ,

Lieu du nœ^d, a$Gendt..d^ ^TP sur;

l'orbite de la ÇQniète* 4 « , i ». i^ % • • 54'' ï ^' lo", Ue^ du nœud a^cend» de la comiète

mv Torbite do •!?•• ^ ••*•*•••*• ♦ 54^ 10.37 ladijiaisoa dnuUieUe de» deu)c orbite 1 8 , 5a • 09 ;

d'où Ton copclura d'abord

A... III** 19' 10", y... 18^52^29".

Si de la longitude de l'aphélie de Jupiter , on retranche langle 54"* lo' 5^"., la différence sera la quantité qi;^'il faut ajouter aux anomalies vraies de cette planète ^ comptées de l'aphélîe, pour avoir sa longitude comptée du nœud ascendant de son orbite sur celle de la comète; cet angl^sera donc ainsi de i35^6'9'^

Cela posé , on aura pour déterminer les coordonnées de la comète rapportées au plan et au grand a^ce de son orbite , ainsi que le temps écoulé depuis le passage au périhélie de 1682 , les formules suivantes :

^= 18.0186. cosM— 17.45552, j^ = 4*54747 •si^"^ i=(44^,65o7i).(tt— 0.967629. sinw);

et pour déterminer les coordonnées de la planète perturbatricci rapportées au même plan et au même axe,

i36 THÉORIE ANALYTIQUE

x' = (o. 563567). r'cosp'— (0.881476)./^ sinV, y = — (o.95i568)./cosi/+(o-544ox8)-r'sînV, js' = (o,3255oo).r'sîn(''.

Ces formules donneront les valeurs des coordonnées X , y^ x'y y\ 2' et du temps / correspondant à un arc quelconque d'anomalie concentrique compris entre o et 180^. Supposons qu'il s'agisse de déterminer ces valeurs relatives à l'époque qui répoïkl au dixième degré de cette anomalie y en£ii8anttt=]0®y dans les premières formules , on aura d'abord

jr =0.30954^ J^ = 0.78966, f = 2k8'y9272.

On calculera ensuite le lieu de la planète relativement à la même époque.

On aura y par les tables de Delambre, en n'ayant égard qu'à l'équation du centre et à la variation séculaire,

Anomalie moy . ip au périh. 291** 1 7' Mouv. m. p. io**d'ano.exc. 3*34

Ano. moy. "Çî pour Fins. don. 295.41 '^v 5.5o63g Équation du centre. ...... 4-4-55

Anomalie vraie de 7(; 298 . 36

Const.àajout.auxanom.vr. i35. 6

Si dans les formules qui déterminent les coordonnées de la planète perturbatrice j on substitue ces valeurs^ on trouvera

A laide de ces valeurs et de celles de x etjr , on formera aisément les suivantes :

/»=5. 60497, X=OrfOd5542, Y=-T-o. 004854.

Il ne s'agit plus maintenant que de tabstituer à la place de x, j*, X et Y leurs valeurs numériques dans les formules du n* S2, après les avoir rédi^ites en nombres. Reprenons d'abord la formule (7) qui dé^ termine l'altération du moyen mouvement , m' désignant ici la masse de Jupiter; on aura

et cette formule, en y substituant 1® ou 0.017453 à la place de du, et multipliant tous les termes par

3fi^ ggôô- pour les réduire en secondes, deviendra

df/i=(o",75668).sintt,X — (o",io592).costt.Y.

Si l'on fait les mêmes substitutions numériques dans les formules qui donnent les altérations du périhélie et de l'époque, et qu'on réduise en secondes tous

les termes , on aura

<fa,=(i3',77075).^.(xY— j'X)— (i5",8o436).rX, à--«4»==---(o . 25a38) .<i»— (6',72585J.r.(a:X4:;'Y).

kn moyen de ces fwmules, en Élisant u=sio*, on

trouve

THÉORIE ANiçLYTIQUE

^//i =±= *{« o'ooo5868 1 , tdn =-f. o'o 1 6976,

^0)=— 0,089835, ^6— <ia>ï=4-o,o38646.

' 44- O»p,oarra calculer, de cette manière^ les valeurs successives de dn^ doû^ds^ depuis o jusqu'à 180 degrés d'anomalie excentrique; en partant ensuite des élcmens de lySg, et faisant ix négatif, on calculera les mêmes valeurs depuis ii;=t:t>^ jusqu'à usa-** 179^; on substituera ensuite cesquantiCes dans la formule (?), (et des résultats ainsi obtenu^ on formera le tableau suivant :

Résultats de Fintégraiîon par quadratures des allérO' tions différentielles du moyen mouwment,^ dupen^ hélie ^ et de V anomalie moyenne , présentant les altérations totales de ces élémens^ depuis 1682 jusqu*à 1759.

I*lanèt

Total..

fdn.

-fo.oSi

+o.oi3i38

ftdn.

fdtfdn, I fdm.

— 44ii,8a

-hi4io9"3a •4- i56,o5 + 339,39

fdt^fdm.

fdi.

— aÔS^'So

+ao78''59!+i6i87 9'

-36i,fi6