CHAPITRE PREMïÉKv
Iniêgmtiàn des équaiions dijfferentielléi'ijiûi déterminent les moui^miêns défi corps célestes autour â^ leurs, centres d^ publié y ^
■focv
1.. Repretioris les trois équations^ (B^ t{àe îioas a\ons ffouvëes «• S, IWré IIV pdaV détemiKiiEiV le mouvenient des corps célestes autour dé letirâ Cëfitres de gravite ':
Ad5p + (C — B),5rr.d^=^j..-2^—«. j.rf^,
/ rfV cA^N . I
Crfr + (B — A).pg.cZ^=rx.-^ j». ^)- rf^.
Dans ces équations , A , B ^ C représentent les trois momens d'inertie principaux du corps , respectivement relatifs aux axes des x^ de&j^ et des z; en sorte quW a
Les trots quantités p^ q^ r déterminent à chaque instant la position de laxe instantané de rotation par rapport aux axes principaux^ et la vitesse de rotatioa
1)IT STSTËME-mr MCUIDE. ifô
aatoar de cet axe; ea sorte que si Fon dàâgn^-par e^, Cf y^les trois angles que forme respectivement Taxe instantané avec les axes deso?^ des j* et des is, on a
rnitf — ^ ; coag= ^ -—y cosy=:
et V/'* -+- 7 + ''^ exprime la vitesse de rotation aïvtour du même axe.
Enfin y représente la somme des masses des corps agissans du système^ divisées respectivement par leuf* distance à lelément dm du corps attiré , et multipliées par la masse de cet élément ; c'est-à-dîre que si FoQ ne considère que Taction d'un seul astre L , qu'on nomme x^ ^f jZ les coordonnées de cet astre , et x, jy z celles de l'élément dm, rapportées aux trois a;3^es principaux qui se crpisent au centre de gr^ité âif sphéroïde, on aura /
STjdm
1/ (X' - xy + {y - yy^ («'^ «)•
le signe intégral S se rapportant à l'élément dm et aux quantités* qui varient avec lui, et devant être étendu à la masse entière du corps attiré.
Les t«oif& équations (A) ^uffi^ût pour déterminer à chaque instant les mouvemens du corps m par rapport au3t ttois axes principaux qui \ se croisent k ^on centre de gi^vité; mais pour connaître sa position absolue dans l'espace^, il faut déterminer encore la position de ces axes mobilé$ par rapport à. trois axes fixes , ce qui exige l'intégration des trois nouvelîes
i64 THÉORIE ABALTTIQUE
éqaatioDS.suÎTantes
i/^ — cos6. ^4^^^^') ' ]
' - dô == si'n (p . qdt — cos ^ .pdty > {a)
sit) 6 • d^ = cos ^ • ^âf/ + sin^ . pdt. )
Dans ces équations^ 8 représente l'inclinaison du plan des xjr inT un plan fixe, %}/ est langle que forme Tintéfsection de ces deux plan.4 aVëd une ligile fixé menée dans le second, et ^ l'angle compris entre cette intersection et Taxe des x. Ainâi , les angles 6 et ^ déte^ minent la position du plan des xy^ que, pour abréger, nous appellerons désormais f éqtlateur du corps, et Fangle <p fait connaître la position de l'axe des x dans ce plan.
â. On peut faire subir au^ seconds membres des équations(A) plusieurs transformations qu'il efet bonde connaître, parce qù^elles nous seront utiles par la snite.
Nous remarquerons d'abord que , d après la valeur de V, on a
dV dV , dV , dW
rfV dW ^ , dV ., , dV
Leâ équations (A) devientiept par conséquent Aci/i + (C-B) . yr. d4=(s' , 0 y.^) . dt,
(dV ' dV\ 1
Cdr + (B ^ A) . ;,î . dt =(/ . ^ - x'. ^) . d..
DU SYSTÈME DU MONDE. i6S
Les trois quantités ^'^ ^/ r sont «ioiinëes en fonction des angles ^ , >)/ , 6 et de leurs différentielles au mojmi des équations («). Pour introduire les mêmes va- ' riables dans les seconds membres de^ .équations pr&>cédeotes, transformons les coordonnées :xf fj't i% qui se rapportent aux axes momies dçs or, des^ et des z en d'autres coordonnées x, y , z , relatives à des axes fixes; prenons pour plan lîxe des x et des y )ë plan de l'écliptique à une époque' détermiqée , et pour axe des z une ligne perpendiculaire à ce plan* Oa aura d'après l^s formulas du if ^i^iUyx^Y^, >
x';:sx.(cofiS.sin4'rsin^4'-CQ84^.co84))4-T.(oos9,co8^.8in^sta4rC08^)
y =x.(cos0.'sin^f co8f-cos4*s}n^)+T* (aci8fl^cos^^ooa^-f-8iii4'.8in f)
-T-z. sm6 .oos^y
s' = X • sin 6 • sin*^ -f* T * ^i*^ ^ * cos4' "4* * • cos0^
Si Ton substitue dans l'expression de Y;, à la place des coordonnées ûc^^y^z', leurs valeurs ;j elfe devien*dra fonction des angles <p, '^, ^ et déâ Variables xy Y, z, o:^^, ^1 et commç ces dpmières sont indépen*» dantes de ces angles^ en pren^i^t la différentielle ^é V par rapport à ^i %}/, 6 1 on gur^ . ,.
^^^^-U^'^^fJ-^^ AA^^^ ^^J.^^ ^.'O.^
en désignant par dW t à!f et à%' lés diffétenlielles des coordonnées (x^ jj^ ^ z' prises en ne faisant varieif que les trois angles ^> ^|» et 0. Si dans cette équations OQ i^mplace dfx' , d^ , rf'z' par leurs valeurs ai nsV déterminées , et qu'ensuite on compare de part et)
î66 THÉtmiE ANALYTIQUE
«li'aiitBe, le$ coefficiens de d^, de d^ et de dS^ oi Iroonrsra.
iv , dv . dv
d'où il est aisé-de oohdai^ ^
dV , dV , . «nH^ /d V . -jrfV\ dV
.Si. U a#):'ii)>uiUQ d'observer que cé$ ëquatioos cbn^r* ifsemenj: Ift rôiêaMe.fomiê, q\iel que soit le nombi^e des qorps agis^os du 6)r$tèaie , éi quand bien ^ême ou vaudrait. <^VQÎr ^ard à la ifigut-e de quelqu'un de ces ûûrps^ 11^.6/ livi^ H. Les nouveaux astres que Toa
DU ssstHme mutivm. \6^
termffi ç^ijo^Ubleslàtaéiix qu'a iatrochifts raotiW'de Tastne Ly.Qtil sti&radan^le second cas deiietnplàbet* leiu;8 ^u$^$hfjL% \Jly etCà,.pxr2e»^lémens infini^ ment petîjts de ces masses. La fouction Y sera donoéd « alors par deux intégrations indépendantes l'une de faitilrèy te'pteMièrë réIafiVe au sphéroïde attiré', là seeédiile^Mx'alirfès^t agissent sur lui. En faisant subir aux cooridiëbaééë'' d^ ^^tres U ^ î/', etc./ 1^ traos^ fontiâfi^dii précédeMe, dti ihtroduiihEi dans Vexpré^ion de V iitô tPOi6^%tf^les;^/4/y '6; et en pretiant léà dlf^
terences ,partiejles /?-> tt* -3- reiftUves a ces angles,
on . formera les seconds * membres idesi équatiwiB (C)i Qn doît^^QQCcegairderjgéqréralement Veo4b»ieUtte fooqtîjm danbéet des angles- 9 ^ «^ ^ fiy qui renJB^rn^ ek ou(ïe 1^ (eoip^ à raôson din» mimvement des^ ^tt^ôs i^ui. agisscQt sur.leîsphmiïdeij'etroii peut par conséquent supposer }Qe|!ke. jfoocfHm dérelop^lée? en série de smus el de cosinus d'an^ifia mqlbpW dd<f}; joa cbilçoit'eli
et que roft substitut ^iir a/ ij','i'leùrâ valeurs ni* 2, OQ pourra développe!' Y' en uoe série semblable; en moltipHant ensuite par nlin chà'cun dés termes de ce développement et en l'intégrant , on aura ..•••• Vtt=iS;V^i//^j et conttne'^'lé sîigne S ne se rappdrt^ qtt'k b' molécule dm^ et que les Variables (p\ 4/^ wnt tes UKèffiëé 'pcmr toutes les morécùîès du corps ^
.i68 TBtiORK ANAXTTIQUS
çelté^'illt^ratioiiâi'aktârarii p^ kifomiedé^lâ^sërie.'l
If pù^ doQfieroM idans la suite . r-expre^ion du dé-^l
'y^}oppQine]lt.d& V ainsi bffedué^ il suffira pôiii* le'
n^iQçaent d en cooctevolrt la- poàkibiIîtë« ùû yetvn. alors
' iqùe les difiR^reitces partielle^ de V sont de Tordre -73,;
1^ ëtâqt I^ massQ de l'astf e aiUjrant et r\ s^\ di^tonce { ^ 1^1 moléculç fl(/n • il ^st iaçiïçt/i^4^g§r.pa^.^lft:riû^ fluenpç de r^j:tipiî des fg^tres i^rtar^fricfi^t , zns
0n peut obseryer fAiCorf .qp^ l/es différem^. por^ t jejlje,ç de Y sont (\e, l^ord^e de raplitti$s#iipi§i|j; dii apbéroïde que Ton çonsid^^. U estéyicleqt.ça effet que, sî^ê corps ëtâit'sphdrique, la fonction V se réduirait à ilile ^Mintité indépendante* dés '^mgles ^^ '^p 9; et ^mroe la figure des corps: <%l6St^ isst peu différente d<^ la ^pbèi*e'r pelote circonstapce contribue encore à rendre très petits les secoodB menibres des cqùations (|C)* Ilsfuitde laque l'on -doit : regarder géRéralemept
coi»iin^;très petites les forcés qui trouisfenV^ ^^^jr$iiieotdei^atiodde&côifps.célti^tes. . r'
4r Si l'on multiplie leséquatîonà(C)^ lapt^iM^répar ^1 la secoi^de par ^^ la troisième par r, qu'on les ajoute eiîsuite p ^ que dans le second membre des équations résultantes on substitue pour/?;, q etr, leurs valeur? tirées des équatjon§ (f?L.^^îJp<H»V€^ft .'f 'j
^ , Le second. inçn)pre de cçt^ éqi|atipp,;SQrpiti:iine ^i(rérer\}ielle çoxxtplète^ si.lea .astres qui agiss^nffsiirvk ?|>J?ÇA'^ï4tf,éi?W^^^ li^esj mais 5^mfX|f îlftçbftpg^t <1«
su STSTÈMK DU' MONDE. Ittg
position, la foDction'ycootieiit, €mir&ié% fW^dM^h ff 4,6, les variables x , y , ^ , qui dépendé^nt -du iffou* yement de ces astres; soit doac
dV , . rfV t^ ■ dV
la caractéristique d^ se rapportant uniquement aux variables (p, 4^ ^f relatives aux déplâcèmeRS des trois axes principaux du sphéroïde, JBn intégrant Té-i
quation (b), on aura
;A/»»+ By*4- C> =* const. -f a ^/àT. (c)
Cette équation renferme le principe des forces vives: nous ayons fait voir en effet, n* 55, livre I*% que la fonction A/?*-f-By*+Cr* exprimait la force vive du sphéroïde dont les trois momens d^inertié
principaux sont A, B, C, et dont V/P*+^*rf'^ cs.^ la vitesse dç rotation autour de Taxe instantané. Si rpii suppose donc :
léqiiatioi^ (c) devient ... "1
T —/. «iT = constante.
En appliquant à cette équation l'analyse du n* 1 3 , livre II, on e|i (irera trois équations analogues aui^ équations (c) du même numéro. En effets p, q, r étant donnés eafpoptipn 0es y^riaWei <p> 4^'^^^^^^^^ diSerentieUes par leséqufitions(^), on peut regarderT
190 imixam Aif«tiTTiQUB
ç^mùab^^mt êabetàan de ces iacriâUes,iet si
gèt oh fait 2 i= ^' , ^ =r ^|,' , t;==Ô', eh dîffereûciaiit on aura
<nr j , , ai ,,, , dr ,,, , rfr , , <rr. , , «fr a?*'^ +347 •'''*"'■ S^ • *+^**^'^ 54 •''^+ ^•
•■ ïfr.j j, irfT' . , rfr .
Les équations (a) donnent
;?=='4/%sin9,sîn^-r-8',C0S(p, \ y==*^'. sîhfl .cos^-f-6'/sîn^, y (cl)
ai après avoir -ditferençié ces valeurs, on Les substitue dans le second membre de l'isquafion précédjente; et ipi'on eompare ensuite les coefBciens de d^% d'^'^ etc., éette e<|uàtion donnera '.
ér dT ^ ... dT ; . V rfT
La valeur précédente de T donne d'ailleurs
;^=*V» a^^By, 5;:=Cr; Wb ëqhatiohi (c) du ki'' iS, livre II, di^iennent
no SYSTÈME IMT MON&E. 171
Ces équations sont ïdenti^jues kiTec ks équations (/) du n* j5, liviieïï, lorsqu'on suppose datuscîâle©ci V=o y n=:V , et qu'où y remplace les difflérenocs partieUes de fac iftmcsklôn T par leurs yaieurs; on peut par conséqiieat intégrer ces équations par le même procédé , et comme elles ne sont qu'une transfiarma^ tion des équations différentielles (Q; il est clair que leurs intégrales conviendront également à ces dernières ^ et réciproquement. Nous supposerons donc^ conformément aux principes de la méthode générale d'intégration développée dans le.chap. III du livre II,
, les équations précédentes, ou, ce qui revient au même^ les équations (C) intégrées dans le cas où Tèurs seconds membres sont nuls, et nous avons vu n*" 55,
; livre I", que cette intégration est toujours possible; nous &ron& varier ensuite les constantes introduites par l'intégration , de manière à satisfaire encore aux mêmes équations dans le cas ou l'on considère l'action des forces perturbatrices,
U est boti de rémarquer ici que n6us avons supposé dans le chapitre cité que iî, qui représente l'intégrale de la somme des forces perturbatrices multipliées res^ pectivement par l'élément de leur direction , est en effet une fonction toujours intégral)le; mais cette coaditioa , qui xi'e^t remplie ni dans la question du
une fonc^ [ifférencel des yari»
i^d THÉORIE AHALTTIQDE
mouvement de tvai)slatîop ^ ni dans celle du motivement de rotation des corps célestes'^ n est huUemenl nécessaire et ne doit limiter en rien- là généralité de cette analyse. Il suffit en effet, pour son exactitude j ijue les différences partielles (le la fonction Cl, qui rep présentent les forces perturbatrices, soient une fonc^ tion finie des variables ^, 4 > ^> }>ui8que ces diffî {>artielles entrent seules dans les fomiules des lions des constantes arbitraires;
fi. R«p«ao=. le. dive,«, i«^g«les .ux,aelU, nous, sommes parvenus dans le i^^' S5; du I**" livre, savoir
"■ Aa> + B6'7 + CcV = i3' , . Afl>+ Bb'ç+ CcV= jS", Ap* + B^' + O» = A, \Y 4- B'f H- CV = k';
/» i& ■ (Cr« — h). \/ÂS.Cdr . __
^'"^^^J (fc«-CV).V{**-BA+(B-C).C/*j{-ife<4-AA+(C-A).Ci*}V
Ces sept équations n'équivalent qu'à six intégrales distinctes, et les quatre constantes /3, /S% /3", ^ sont Jiéçs entre elles par Téqualion de conditiqi:^
jS.4.^'*+^''*£=^. {e)
Les trois arbif raires jS , j8' , /3" déterminent la position du plaii principal de projection /en sorte qae si l'on appelle y son inclinaison feur un plan fixie quel<
imSÏStkim DU {fOIffDE. 173
con(|tie,.et«(la.loogîlnde de son nceud. comptée d'wae origine arbitraire, on aura.
La constante h est celle (pxi sert à compléter lanttegrale des forces yîyes; la constante / dépend, 4& la position dn corps à un instant délerminé; eniin», relativement à la constante g, noua observerons que 4 j représente la longitude de l'équateur.du coips^ sur le plan principal de projection, comptée, à partir de Imtersection de ce dernier plan avec le plan fixe, n* 55, livre 1*'. On peut donc, pour fixer les idées, supposer que — -^ est la valeur de cette longirtude à Torigine du mouvement, puisqu'il suffit pour cela de le faire commencer à Finstant où Tintégrale de la valeur de '^^ s'évanouit.
Les intégrales (d) suffisent pour déterminer à chaque instant la position du corps par rapport au plan invariable, en sorte que si Ton désigne par ç, et, if relativement à ce plan , les an^^les que nous avons nommés ^ et 6 par rapport au plan fixe, on connaîtra par les formules précédentes les valeurs des
angles 9^y 4/' ^/' 7^ ^^ ^' ^^ ^'^^ déterminera celles des trois angles 9, '^,6, par les formules du :n*i 35, livre !•'•
Cela posé, concevons que Ton veuille étendre les intégrales précédentes aux équations (C), où l'on considère l'action des forces perturbatrices. Les trois arbitraires jS , /3' , jS" ne seront plus constantes ; le plan principal de projectioii que nous avions considéré
1^4 TKËQRIE AHALTTIQUB
comme ipvariaUe a"" 55, livre cité, cessera de l'être, mais il conservera toujours la propriété d'être à-ch^j^qoe instant le plan par rapport auquel la somme des projections des aires décritjes par les rayons, vecteurs des élémens, du sphéroïde, multipliées par les masses de <«8.élémens, est un maximum; les quatre constantes h, ky If gf deviendroYit égalemeiit variables, et Toa dëtenninera les variations de ces différentes quantités par la jforitiule générale (D), n"* i8 , livre IL
Pourcela, il est nécessaire d'exprimer préalablement ces constantes en fonction des variables indépendantes du problème et de& quantités s , u, V, qui sont, comme ofn sait, des fonctions de ces variables et dp leurs différences premières. Dans la question qui nous occupe , comme dans celle du mouvement de tnat^lation, les variables indépendantes sont au nombre de trois : nous avons pris les trois angles 9> pi^'i d, pour ces variables ; nous avons désigné pour abréger par (p\ *^'j 0' Içs différentielles <p, 4^ ^' divisées par V^, et par T la moitié de la forée vive du sphéroïde ; 0n aura par conséquent^ n? 1 5, livre II;
' ' .dT dT dT
lîous avons trouy-é n" 4 pour l'^xpresnotide T'>
on aura donc en vertu des valeurs de t-,, •^,, ^t/i données dans leméme numéro,
Dû inSlfiME DO ■ llOia^. ïjS
u =8 (A/^.sin^-f** %«<^^)* s^^ S -i-r Cl* • côs fr , " l'sïs-r-pAo.cos^-f-By .ân^, i
fou l'on tire
Cr=: s.
Si dans les^ expressions dès constâtttes ^\ /3% ^^ on substitue ces Taléurs, et quW remplace en même temps les quantités ^' ,& ^ c, tf', V j^^ y *">. ^"> ^'% parleurs valeurs données n*" 28, iiv. I**, oij trouvera
/3 != (* H- « cbs 0> . ^ — P cos4 ,
siaS
kr . 4 • '
Eq mettant pour /3 , jS'v /3*; leurs valèiirsf daiiis les Icquatîons (y), on exprimera les constantes a et 7'en
C 'onction des mêmes variables. On pourrait exprimer e même . les constante^ h et k en fotiction des six variables ^9 ^^^j i% u^s^^ mais il sera plus -sioiplg^ It les regarder comme déterminées par les équations {êH) et (e) , en y^ considérant les quantités /?, f , r, j8 , /S' , jâ'' comme des fonctions données de ces variables. Enirn y oii snbstituerâ soucié signe intégral 'àla place de C/* dans les deux dernières équations {d)^ ^ en supposant les intégràfions effectuées^, on pourra regarder les six .constantes /i> f^f ^p yy if gp
comme exprimées en fonction des six yariahl^^, 41 Q, s^ u, i^. II. ne restera donc plus. qu'à substituai leurs différentielles partielles prises ..par rapport à ca quantités dans la formule générale |
- da db dadb\^da :dh du.db ,du db da dh.
pour akoîries vâlêursird'es quinze symboles (k, a)l
(*,7),tetc. .. — .:> I
6..Four suivre ici la.fn^m,e; msurche que daps la re-^ çberpliedeç variations des él^niens elliptiques , com* mençonspar. dét^ern^ne}*' l^s y^le.ii^f 4$$ quantités (*,«), (A:, >), {(t^y)^ (A, k), (Aya), (A, >), où n'entreni point les lettres / et g; et afin de simplifier ce calcul formons d'abord le^ trois combinaisûos {fi,^), (jS^jS')» (j8', /3'); on trouvera sans peine
Si Ton regarde aeiy comme des fonctions de fi, ^\ /3'', données par les équations^
tang^F=?^r tang>»f jgr— ^
<maara
D'ailleurs. A: étant une fonctipndg ^r^f'&J 9 donnée par l'équation **œi8^+ i3^'+ i8'% .oq la /^ i
m SîSIÈMB DU MONDE. 177
it par conséquent (A:, j8)=so; on aurait de même i, jS') = o, {k, /3^) s= o , d'où l'on conclura
La Talear pTécédente de tang y donne
/S* cos>=s-jf;
en observant donc que (ot, k) est nul par ce <]ui précède, on aura simplement
Or, -
(bnc ,
Si Ton combine la constante h avec les trois cons*hntes |8, /3', ^, <m trouvera-
tu effet, la constante /S", par exemple, ne contenant <|ae la variable u, la formule (C), n^ i8, livre II,
Attmera
