Tome IL

T 78 IHÉORÏE ANALYTIQUE

Or, la constante^ est fonction de/?,; y, r, et les vakurs (À)'â'e ces itjuaiitités ne contiennent pas la

variable ,%j/. j on a donc -^r^Oj et par conséquent

(h, j3) zsz Oc On:]Deurt^ en' cduoktre pauvàn^ogie que (A, j8') et (A, jS') sont nuls pareillement; il est facile d'ailleurs de lé vérîfîei^ en calculant directement leurs valeurs. .. , ., . ;, .....

Il suit de là que si Ton regarde k, a, y comme fonctions de /3 , fi' , jS^., on aura

Formons maintenant les quatre combinaisons (/,A), (/, A), (/, a), (/,>) qui renferment la constante /sans contenir la cOtis tante g'. . '

La sixième des intégrales {d)^ en mettant $ à la place de Cr sous le signe intégral , devient

J |/[Cib»-BCA+(B-<:).«*].[-C/t*+Aa+(C-A).«i Si l'on suppose ribtëgration efïectuëe , cette équation

On aura ainsi- ^^ass tt y et poiifc'avdîrleÉr différence

partielles ^,^ ^,îl si^ffira^ (fe différencier sous le sigm

intégral le second membre de l'équation <^') pai rapport aux constantes \h et A*. , » La valeur de / ne 'contenant qùè la variable s, ei

DIX SVSTtHB' fiUi MOiniB. 179

bi combinant avec une constante iftwiepiiqne> i^^H efc> en £usant d'abord abstractkài dè^ constantes h et k la'elle renferme, on a\i(*a ., ^

four avoir égaid aux constaiifé^'fFët''it;'?l'%ittafih!' ajouter aa.§eco^4 prpnQ^œJi^a d^x.tera^^ ^ ,

"I '.:- ■ ''.' "• ". '9^ .•«».' .t'O ^^ fv •-' "^ «i^

Mais on peut s'en dispenser, parce que B devébPhi^^ jf&etOfft'VvA^ de» qt^^r^-^i^t^téi^ïk^^jlf; (it^;^ deux termes sont toujours nulsl» ''^ '^ -i^ O^^ '^»> i>^i:[q i.l Substituons d'abord la constante A à la place de

;oaa ''■/■ ^-llT .:-■• — - \ ■ ..,hV

~.î •> ,• 'ji"-.'!. > 1101 ."'•, .(.1 1 'l'.K^ri'.-'.fii MOI JC

Or, les titéurt d« Ap ^ Sf ,!0'doniiërif>^

j.'îDC

ou aura par consécpitiifc'h B no « iiJhnnfiy'iift fJ ji'f

'^- ' ) fîi i

l>iar'>.J«I^J

yettpf dû k.troiaièDinedes ei^itiofis {[A^

On aura^b^^ éû «b^tkrt^^e^G^Î^ ^^^'^ '

i8ot .liHBmiBiAllMTnQDE

Les trois constantes fi, fi', p^ ne renfermant pas la variable (p , H s'ensuit ^ue. .si > la lettre 6 représente une fonction quelcon<{ue de ces arlliitraires, (A^) ^>^

Passons enfin au .t!alcirl^#!ps^^4 caa(l^liaisons (g , h),

(g> ^)f (g> *)> (g\ y)f (gf 0 q«î renferme la cens-

- JLa dei»i^èj(e^4^]équaliôa$ij((i)^) fidjsiifastEtuaxkt ^ à

la place de Cr, devient.: : . r. ; •: i ;c [ :>• o î 1 .

Si Ion suppose l'intégration effectuée^ cette équation donnera g en fQ^netifinld^;:4^|j\5j^ h:^ k], mJ^^ quP" aura

En la différenciant^ on ad'iilbQii ' '> ^

On obtiendrait ^«eitlMp^enèearipaMrtieUeel dé ^9 parJ rapport à ]i eL^i^iei^^^i^rewdwt^çu^,]^.?^^^ intégral par ra^poi^t à ces^constantes.

Cela posé , on a^a :drelativement £^.; une constante quelconque 4,

DU STSTBHE DU MONDE. i8«

Nous omettons le terme {k^ b). ^^ parce que 6 devant

représenter Tune de^ quatre constantes èL^y^ h, l, ce terme est toujours nnl. . '

Pour former la quantité (>)/^ , b), il est nécessaire de connaître la valeur de 4/ ^^ fonction àéÈ variaÙes ^^^,9, s^u, p.Ot nous avons trouvé n* 35 , liv. 11,

COS0 = cos j' . cos ô, -^ sin^ . sînO, . cos>|/^ sin (4 — a) . sinfl = sîn >|/^ . sinQ^.;

On a d'ailleurs , n* 35, livre II,

i.cos5. = fi"=sr-M, et A:.cos6.= 0=^i

les deux équations précédentes donneront donc

Si Ton différencie la valeur de cos>[/^, par rapport aux variables s ,UfQ quelle renferme^ et qu'on substitue dans le résultat pour sin 4/ » ^ valeur, on trou*

vera ' - ^

ds """ (i* — 8*) . rin y . sin ê . sin (>J/ — li) ' d^^ 8 4- ueos ê

du *"" k* . Bin^y . sin ô'. sin (4^ "— •) '

AJo . I

d$ sin >/ .sin ('4' — a)'

par conséquent

f8a ITBDtoRIE

SvibstitUQQs . paaiutenant auccessivleiiieiit dans (g, b) et (4^9 &) à la place de la lettre ^ f ksicplatve cods«

Oa trouve wéixieodt .

rfA ds dh dh " .V

par conséquent .

Les équations (g^) donnent

*. 8in y . sinf 4— *»)=Biy . aîn^— 0. cost}»— Ap t30Bf4-Bî «"f

L'expression de (4/, *) , au moyen de ces valears et en observant que A*— .j»=A> +BY» *« ré<l'*** ^

Si l'on substitue cette valeur dans l'expression de (gfh), on aura

D0 SYdTÈMB DU IHWDE. i83

Si l'oa combine la constante g avec chacune des trois constantes /3 , ^', /3", ^t qu'on observe qu'en vertu des équations (h) , on a

« -I- M COS fl A • • I iO^ ' I

-îjj^-p- = ^ MO 4 4- ^ OOS ^ ,

on trouvera sans peine : . ,

La constante A: étant regardée comme une fonction de /3, j3', /3* donnée par Téquation

on a ... \ ^. j

par conséquent ,

La constante y étant donnée par l'équation \ on aura

(UM4., A|+(4„ «•■t= raT:'^-î^ '

par conséquent ^

Enfin, la contante n étant d^eroûi^ée . par , J'ç^^

tiou / . r..

'• : . 'rtii. ' ; . ' j

i84 THÉORIE ANALYTIQUE

tangcisrr^.

on aura

c'est-à-<Ure

Ces yaletus substituées dans la formule (A;) donneront, en remarquant c[ue les constantes j3 , /3'; /à' ne contiennent pas la yarîable «p ,

Il ne nous reste plus à former que la combinaison (g, l) ; mais au lieu de substituer la constante / à la lettre b, dans la formule (k) , il est plus simple de considérer cette constante comme fonction des va** riables s, t et des constantes h, k; on aura ainsi;

valeur qui, en observant que {g,h)=szo, (g^ /:)=— ii (g', ^) s= — - ^, se réduit à

D'ailleurs g'ssyftyitcl. (5, 4/> ^^ ^), et comme s, 4/; * ne contiennent pas la variable ^ ^ on a

DU SYSTÈME DU MONDE. i85

dg ^ dh dp~dh'd^'*

par conséquent ,

n__ dh dl dg f^dl ^__ d^ dl

Pour avoir les dififérences partielles^, "dk^'^ ^^^^

différencier ^ sous le signe intégral , par rapport à h et à ^ y les valeurs de ces deux constantes ; on aura

ainsi

ds r hdt r kk.{i^—Ch).dt

dh J if— 5*"*" ^J (if-/*).[CA'-ACA+(A-C).«T

+ Ï-J (it«—«»).[Cif—BCA+(B-- €).«•]• valeur qui peut se mettre sous cette forme

Ck.di

BCA+(B-C).«»'

àh VCife*-ACA+(A-C).«» V Cit'-

£a dififérenciant de la même manière ^ par rapport à i, la valeur de Z, on trouvé

s "" J Ci8r>— ACA+(A— C) . «• J Cife'— BCA+ (B—C).*'*

Ces valeurs, substituées dans Texpression de (g> Q »

donnent

7. En réunissant les valeurs des. quinze quantités q^e nous venons de calculer, on trouve

m THÉORIE ANAI^ÏTIQtJE

Toutes les autres sont nulles , en sorte qu on a

Au moyen de ces valeurs, il est aise' de conclure, en vertu de la formule générale (D), n* i6, livre II,

dk^ Ç.dt,

dg=: — -31 '«^ — ÎT^ — ^-y.dif ^ dk irsiny ay '

cfasa ', . — . T »dt I

k sin y ay '

rfv= ; . ^ . -r ■<^<+r^ — . -j-.dt.

Ces équations serviront à déterminer les variations que produit sur les six constantes arbitraires qui en^ trent dans les équations du mouvement de rotation, Faction des forces, perturbatrices.

8. Ce qu'on observe d'abord^en considérant les formules précédentes, c'est la singulière analogie qu'elles ont avec celles qui déterminent les variations des élémens elliptiques des orbites planétaires. On voit en effet que pour les r^Eidre ideatiques avec les formules (o)' du n* 4^ ; ''ivre H, il suffit de

changer dans ces dernières, - en — ^ ^, <peny, et de

prendre^ au lieu de l'angle cl^ soq supplément. Ce résultat remarquable tient à ce que les constantes dont nous avons fait choix ont une signification

semblable dans les deux problèmes* Ainsi ^ dans le

mouvement de translation — -, et dans le môuve-

ment de rotation. A ^ sont les constantes qui équivalent à la force vive du système. Dans ce dernier cas, y est Imclinaison du plan principal de projection sur un plan fixe , et la longitude de son nœud comptée sur ce plan à partir d'une ligne fi^xe ; de même dans le mouvement de translation Ç est Tinclinaison sur un plan fixe du plan de la trajectoire., qui est évidemment le plan principal de projection, et cl la longitude de son nœud comptée sur ce plan^ seulement cet angle n'est pas compté dans le même sens dans les deux cas , d'où résulte la différence de signe qu'on Temarq|ue dans les formules qui dépendent de la variation de cet angle; / est la constante ajoutée au temps t, et provient de ce que les équations différentielles du mouvement ne renferment, dans les deux questions , que l'élément de cette variable ; k représente l'aire décrite pendant l'unité de temps, sur le plan principal de projection par le rayon vecteur de chacun des élémens du corps en mouvement, multipliée par la masse 4e cet élément. Enfin , la constante f représente des quanti tés analogues dans les deux cas. Ainsi donc les expressions des variations des cons-> tantes arbitraires sont identiquement Ips mêmes dana

le mouvement de translation et dans le mouvemed de rotation^ et les perturbations qu éprouvent le^ corps célestes dans leurs mouvemens , soit autour dd Soleil , soit autour de leur centre de gravité, se trouvent ainsi exprimées par les mêmes formules , comme elles dérivent de la. même cause. Cet important résultat n est pas sans doute ce qu'offre de moins remarquable la belle méthode que nous avons employée pour déterminer toutes les inégalités des planètes. Cette méthode, qui réunit dans une même analyse les deux principaux problèmes du système du monde ; a de plus l'avantage de présenter sous un même point de vue les différens effets que produisent dans les mouvemens de ces corps leurs attractions mutuelles. On voit que ces effets, qui, au premier aspect, paraissent avoir si peu d analogie entre eux, se bornent à faire varier par degrés insensibles les arbitraires da mouvement; de sorte qu'en introduisant ces arbitraires ainsi corrigées dans les formules du mouvement qui aurait lieu, abstraction faite des forces perturbatrices, on aura celles qui conviennent au mouvement troublé, et Ton pourra déterminer ainsi , de la manière la plus simple , la valeur des variables qui doivent fixer à chaque instant la situation du corps que l'on considère. Nous ne craignons pas de l'affirmer, cet ingénieux procédé d'analyse , par sa généralité et par la clarté nouvelle qu'il répand sur toutes les parties de la mécanique céleste , est la plus belle conception dont se soit enrichie la théorie du système du monde, depuis les immortelles découvertes de Newton. Le grand géomètre nous avait montré quelles sont les

forcesprincipales qui donnent le mouvementaux différens corps du système solaire ; Lagrange nous a appris à calculer l'effet plus compliqué des forces perturba-^ trices, et peut être il a posé la limite où devait s arrêter l'esprit humain dans ces sublimes recherches.

9. On peut donner aux formules (P) différentes formes ep substituant aux constantes h, ly k, g, et, y, de nouvelles arbitraires, et en exprimant leurs difierentielles au moyen des différences partielles dé la fonction V^ prises par rapport à ces mêmes quantités. Remarquons d'abord que g désigne dans ces formules, langle compris à l'origine du mouvement entre les intersections du plan principal de projection avec le plan fixe et avec le plan qui contient les deux premiers axes principaux du corps; dg est donc l'accroissement de cet angle pendant l'instant dt; mais l'intersection du plan principal de projection avec le plan fixe est mobile , et dos y . dx exprime son m<5u- Tement pendant l'instant dt projeté sur le premier de ces plans. En désignant donc par œ la longitude de Fintersection de l'équateur du corps avec le plan principal de projection , cette longitude étant comptée sur ce dernier plan à partir d'une ligne fixe, on aura

d« = ^ — cos y . dx.

En considérant d'ailleurs Y comme fonction des arbitraires ûi et 0t ,. on. trouve

dV dV dV /rfV\ dV

Les trois dernières formules (P) deviendront , ainsi

igo TBÉCmiB ANALYTIQUE

En joignant ces expressions aux ti^ùii prettiières écjua- <îons (P) , les variations dé toutes les arbitraires se trouveront exprimées par des formules qui ne con* tiennent qu^un seul terme , ce qui contribue à les simplifier. Si le corps tournait rigoureusement autour de son troisième axe principal , le plan principal de J)rojectîon coïnciderait avec son équateur; les deut dernières formules préce'derites suffiraient donc pour déterminer dans ce cas les mouveixiehs dé 6e plan. C'est ce qui a lieu ^ comme on lé verra, relativement à la Terre.

Enfin, si Ton suppose

p = tang y .%md^ qzss tang: • coft en,

on trouvera '

rfV dv - dv

J ' dy sxtkA dV , i»ffMj .jffVî

et par suite

dy cos*y* dp cos'j^* dq*

' k.cos^y dp '.

formules qu'il e^t ^atvantageux de 3ubstittter aux deux deraières équations (Q) , lorsque y est un très petit angle.

DU SYSTÈME DU MONDE. igt

10. Il nous suffira maintenant de déyelopper cha* ;uue des formules (P)^ pour en voir résulter tous les )héDomènesque cause, dans le mouvement de rotation les planètes , Faction des forces perturbatrices ; mais 9omme la situation initiale du corps, sa Ggure et^es limensions ont sur ce mouvetrient la plus grande pfluence , il serait inutile d'examiner d'une manière [énérale ces forn>ules), comme nous Tavons fait danft e proHème de ïa translation des corps célestes /et bous déterminerons séparément les inégalités dil mouvement de rotation de la Terre et de la Luné, [oi sont les seules planètes pour lesquelles l'élat le TÀstronomie ait permis jusqu'ici de comparer ^r ce point la théorie à l'observation. Cependant > |armi leg arbitraires du mouvement de rotation , il en est une dont la variation donne lieu à des remar-^

es importances ; c'est celle qui entre dans l'équa-*ion des forces : vives nous allons par cette raison li considérer ici en particulier.

La première des formules (P) donne ^ pour détei^* tuiner la variation de la constante h , Tëquâtion

dh = 2 • -Tj • dt.

On peut faire prendre k cette expression une 4uf:^ forme. En effet, / étant la constante qui est joiiite au temps t dans les expressions finies des variables Ç, ^^ 'j il est clair que si l'on regarde V comme une fonction donnée de ces variables . on aura

^^'dfV dV d(p dV d^ dV cf& dl~ dt~ d^* di '*' cAJ/ • di ■*" <W '</*^

par conséquent

ou bien simplement

en désignant par la caractéristique d'^ la différentielle fie V prise en y faisant varier le temps t introduit par la substitution des valeurs des coordonnées (p, 4^ ^ ^^ corps dont on considère la rotation , et en regardant comme constant celui que cette fonction peut contenir à raison du mouvement des astres attirans.

On doit observer d'abord que cette, formule peut s'obtenir directement et indépendamment de celles qui déterminent les variations des autres constantes; elle résulte immédiatement , en effets de la quatrième des équations {d)y différenciée par rapport aux ^ariablQs et aux constantes qu'elle renferme^ pour avoir : égard aux forces perturbatrices, en observant qu'on a , n** 4 ^

hpdp T+- ^qdq + Crdr = d'\.

La même remarque s'applique au mouvement de translation, et en général au mouvement d*iin système de corps , quelle que soit leur liaisop entre eux» puisque l'équation des forces vives a lieu dans foute espèce de système qui n'est sollicité que par Tactiôn mutuelle de ses différentes parties et par des /^rces dirigées vers de3 centres fixes. I^Ous allons' ihmntenant

DU SYSTÈME DU MONDÉ. igî

démontrer une propriété importante qui résulte de la formule (k), et qui consiste en ce que la constante A, devenue variable par l'action des forces perturbatrices ^ ne peut contenir le temps t que sous la forme périodique, lorsque la fonction perturbatrice V ne le contient que sous cette forme.

En eflfet > lorsqu'on n'a égard qu'à la première puissance des forces perturbatrices, ce qui permet de regarder comme constantes les arbitraires qui entrent dans V, si cette fonction ne contient le temps que sous les signes sinus ou cosinus, il est clair que la différenciation relative à t fera disparaître tous les termes indépendans du temps , ou qui le contiendraient simplement à raison du mouvement des astres attirans j et par conséquent , l'intégration ne pourra donner, dans la valeur de h , aucun terme non périodique ou de la forme N^ qui croisse avec le temps t.

Il existe cependant une circonstance où ce résul*tat cesserait d'avoir Keu et qu'il est important d*exa^ miner, parce que le système planétaire en offre un exemple. . Pour cela , supposons la fonction V développée en série dont les différens termes soient de cette forme

nJ'"" {int'^i'nU+K)i

H et K étant des fonctions des arbitraires h, k^ etc. • l'angle nt étant le moyen mouvement de rotation du sphéroïde autour de son centre de gravité et l'angle nU le moyen mouvement de l'astre attirant^ i et i' dés ToHE IL i3

nombres entierâ. quelconques. Il est aisé de voir qne ce terme produira^ dans dh^ le suivant

aH . in . . {int — i'n't + K) j

et en Tintégrant , il en résultera un terme périodicpie dans hydi moins que l'on n'ait int^^ i'n't:=^Oy ce qui exige que les coefficiens n et n' soient commensurables entre eux. Or, ce cas particulier a lieu dans le mouvement de rotation de la Lune, altéré par Faction de la Terre. Le moyen mouvement de rotation de la Lune est exactement égal à son moyen mouvement de révolution autour de la Terre , et ce rapport singulier produit, comme on le verra, le phénomène de sa libration.

1 1 • Démontrons que le résultat précédent subsiste encore dans la seconde approximation y où l'on tient compte des termes dépendans du carré des forces per' .turbatrices. En effet, pour avoir égard à ces termes, .il faut à la jdace des constantes h^ k, l, g y y, ce, substituer ces arbitraires augmentées de leurs variations déterminées par l'intégration des formules (F)r .pu aura ainsi

^^= 25-^^+ T/ •^^+ 15-'*+ -dè^g+ ^•^+ :5i-^^'

et , en ne considérant que les termes de l'ordre du carré des forces perturbatrices ,

' dh=2.(r.j'y.

Substituons daius l'expression: précédente de J'Y y poui

DU SYSTÈME DU MONDE. tgS

i'h , H, ^k , etc. f leurs valeurs , on auva

• ksmy \ayj dg • . dgj d^ J

Pour avoir la différentielle ^'.cTV, il faut diflférejacier cette expression par rapport au temps t contenu dans les valeurs de ^ + ^^^ 4" "4* ^4 y A + «Tfl, c'est-à-dire qu'il faut , i®. différencier totalement le8 quantités renfermées sous les signes intégrales, ce qui revient à effacer les signes y^ et alors cette expression seréduità zéro ; tl*. différencier seulement par rapport au temps t contenu dans les valeurç des variables 9, 4"^ 0, les quantités hors du signe/. L'expression de SN est composée de termes de la forme

A et B pouvant , par rbypoAèse , se développer e^

une suite de termes de la forme B . (it +ft + K) ,

dans lesquels H, i, K sont des fonctions des cous-tantes h, k^ l, etc. , et Ji des angles qui provîiern*nent des mouveznens des astres attîrans. Soit donc H. ces (J^t '^mt'^ K) un terme quelconque de A, et soit 1i^CQa{/t '^fM-\-K^le terme correspondant de B qui a le même aa*gumeiit, il &udra que l'on com^ bine ensemble ces deux termes pour avoir dans d' .{A.JBdt'^B.fkd^ des quantités non périodiques.

Or , on trouve ainsi

(/.(A./Brf/— B./AdO =

— «n(/^^-ll^/+K').8in(/^+OT<+K)],

quantité qui se réduit à zéro.

U suit de là , par conséquent y que si Texpression de V est périodique , la valeur de S^h ne contiendra que des termes semblables^ du moins tant quon n'aura égard ^ dans les approximations^ qu'aux premières et secondes puissances des forces perturbatrices.

On voit que le résultat auquel nous sommes parvenus dans le chapitre VIII, livre 11^ sur l'invariabilité des grands axes des orbites planétaires, n'était qu un cas particulier d'une propriété générale dont jouit la variation de la constante arbitraire qui entre dansTequation des forces vives.

Dans le mouvement de rotation , h représente la force vive du corps en mouvement, et l'on a

Les trois quantités p^ q y r^ sont les vitesses de rotation du corps autour- des trois axes principaux qm se croisent à son centre de gravité, en sorte que si ïon nomme / la vitesse du corps autour de son axe instantané de rotation et « , 6, c tes angles. qu'il forme avec les trois premiers axes , on; a

DU SYSTÈME DU MOIfDE. 197

réqnatioa des forces vives deviendra donc aipsi

p*.(A ces' fl + B cos* ô + C cos* c) c= h.

Le second membre de cette équation ne contenant aucun terme croissant, comme le temps t^ le premier ne peut renfermer non plus aucun terme pareil y et comme tous les termes du premier membre sont de même signe, il s'ensuit que chacun d'eux n'est composé que de termes périodiques.

On peut conclure de là que la vitesse dq rotation et la position de Taxe ' instantané ne sauraîeiit être affectées d'aucune inégalité croissant comme le terajis , et que l'action des forces perturbatrices ne peut y causer que des altérations alternatives dont la période dépendant du mouvement du sphéroïde autour de son centre de gravité, ou de celui des autres attiîrans dans leur orbite, sera toujours assez courte.

Il faut remarquer ici que nous n'avons pas e» égard, dans la valeur de V, aux termes qui proviennent de la variation des élémens des opbites des astres altiransj il faut Jonc restreindre , en ce sens, la généralité des résultats précédens. '

Après ces résultats généraux, applicables à tous les corps du système solaire, nous allons examiner en particulier les mouvemens de rotitîon de la Terre et de la Lune. On verra qu*ils présentent tous deux des phénomènes extrêmement împorlans qui, quoique très differens, peuvent se déduire directement des formules que nous venons de développer.

ig8 TOËOIUE AVlLTTfQUE