Soît
R = M(«).«* . co» [î(»'« — n« -f 1' — 1) 4- 3«t + 3i — 3«] -f- MCO.c«d'. co« lUn't — /it -f. •' — •) 4- 3nt 4- 3t — a« — m'] -f- MCO.cc'». cos II (n't — nt H<- •' — t) -h 3nt 4. 3i — « ^ W] 4- MW.tf'J . COI lUnft — Ht -h • — •) -h 3/if 4. 3« — 3«Q,
On aura
. ( 8,j — 3oi« 4- îi6i)AC0
/• [8(i — 1)5 — 6(i— !)•— 5(i — i)]AC«-0
Se 8(* — îi)*4'i8{i — 2)*4-8(i — îi)]AC'-«) . r /• X . 1-/. N -, rfAC»-0
+ [„(. a). + ,5(. - >) + .0] « -2^ j.r«« -^J-in . «f'AC-») . . «PAC-')
![ 8 (i — 3)' + 4a (i — 3)» + 65 (i — 3) + ï7]A<'-î) + [„(i 3). + 5.(£-3) + 5.]af'^' + C G (» - 3) + i5] «• -5^P- + «3 -^-j.
âo THÉORIE ASALYTïQUB
On peut vérifier ces valeurs par les moyens exposés dans le numéro précédent. La troisième différence d^ coefficiens de A^^ est 27 ou 3^, la déujcième difi^rçnee
des coefficiens de -^ de même ^7, la première différence des coefficiens de ■' ' ■ > , est 7 - Soit
R = ]V(o)ex« cos [i(/i'/ — nt 4- •' — •) + 3/i« — • — afi], -f- N(Ocx'»cos [i(«'« — nt + •' — 0 + 3/i« — •'— alT],
On aura
3N[(o) =s ^ j (ai — 3) BC'-O + a —j~ U
On pourrait déduire sans aucun calcul les termes dépendans des inclinaisons de ceux quî dépendent simplement des excentricités , par les considérations suivantes. Soient
i2A«cos[î'(n'^ + 60 — ï('2* + «)]
i S A^*> cos l(i + I ) {rit + €') — (ï — I ) [nt + é)],
deux fonctions qu'il s'iagit de développer en y faisant varier les quantités a , a', nt et n't, conformément à ce qui a été dit n' 5. Si le développement de la première est effectué, on en déduira immédiatement celui de la féconde , en y changeant i' en î -+- 1 , et / en i *— I ; mais si après avoir développé la première fonction on y suppose i' = i, et que dans le dévelopbement de la seconde on se borne à considérer les termes dépendans des argumens qui se forment par
m^ SYSTÈME DU MDNDË. 3i
voie d'additioti, comme ces termes réniltent néces-
saîrenient d'ua des trois facteurs soi vans^ * .
sin(^ + Z)2A^<>cosp, CQS (^ + Z)S A^cosp, sin (/i + 0 2£**"*"^ A^^ sîn p, où l'on fait , pour abréger, p = i'n!t — int 4- iV — à, et qu'en n ayant égard qu'à ces fermes , on a
sin(/^4-/).2A^'5cosp = i2A^'>sin(/>+/^ + 0
cO8(/i + /).2A(0cosp=:i2AWcûs(/i+yi + 0 smOH) . 2i**"^* A<^sittp===-^2i**+*A«>eo»(p4/<-^^^
Il est évident , en comparant ces relations à celles qui leur sont analogues dans le n"" 3 , qu'on aura le coefficient d'un terme quelconque du développement de la fonction i 2 . A^O cos [( i + i ) ( n't + ê') — ( £ — I ) ( /»^ + «)]> en divisant par deux le coefficient du terme correspondant du développement de Iafonctioni2.A^'>cos[r(72'^H-€') — î(n« + €)], dans laquelle on suppose i^ = i, après y avoir fait les substitutions indiquées plus haut.
Gela posé » la fonction R'^ n* 3 , en ne considérant que les termes dont nous nous occupons en ce moment, devient
R'= ~ .2AC0 cot i (nft - «« + •' — i)
4. Î2. x«2.fla'B(0 COI [(i -f i) (n't -f 0 — (i — i) (nt 4. #) — anj o
+ ~^xa.fl-a'«CO"> co» [(i + a) {n't -f. 0 — (i — a) («« -f- •) — 4n].
Si dans le développement de la fonction.
—2 • A^'^ cos i(n't — wi + é' — 6 ) , on désigne donc
Sa THÉORIE ANALYTIQUE
par a le coefficient àén't pour le distinguer du coef-^ fîcient de nt, en multipliant chacun des termes de cette série par ^ X', et en y changeant /' en i -|- i , î en i — I , et A^*^ en aaf ^^, on aura le terme corres-
pondant de la fonction -g- X* 2 acdW^ cos [(ï'+ i)
( n'< + g' ) — ( î — I ) ( '^^ + ^ )] > et en multipliant ces mêmes termes par ^ A*, et en y changeant /■ en / + 2 , i eri i* — 2 et A^*^ en a^a!^ C^,' on aura le terme correspondant du développement de la fonction ^ . m' A^ 2 «ya'^ cos [(z + 2) {rit H- é')
— (/ 2) (tZ^ + é)].
On peut observer que ce résultat subsistera encore même après qu'on aura converti, comme on le fait ordinairement, les différences partielles de A^'^ relatives à a' en différences partielles relatives à rt; ce qui tient à ce que les fonctions aa! B^*^, a*a'* C^'\ sont comme A^^ des fonctions homogènes en a et ci de l'ordre — i .
Cette remarque facilitera beaucoup la détermînartion des termes de la fonction perturbatrice qui dépendent des inclinaisons mutuelles des orbite^-; mais on ne doit pas oublier qu'elle ne s'applique qii aux termes dépendans des argumens ' formés par voie d'addition , et qu elle ne saurait s'étendre aux autres termes.
Termes du quatrième ordre*
