etc

série dont la loi est évidente. Les inclinaisons des orbites des principales planètes l'une sur l'autre étant de très petites quantités , on n'a point considéré jusy qu'ici dans leurs perturbations les inégalités dépendantes des puissances des inclinaisons supérieures à la quatrième, et l'on verra en effet dans la suite^ que ces inégalités doivent être tout-à-fait insensibles. Npus nous bornerons donc désormais à considérer les troi^ premiers termes de la précédente série.

Far les formules du mouvement elliptique ^ on a ;

Il THÉORIE iNALTTIQDE

t= , +.le-(e-| e> + ^e')cos(n(+.-«)

— ^e*cos5(Mf + < — û>) + etc., i'=n< + ï+(ae — ie'4-^e»)àilCn«+s— <•; + G "*— >3 ^ )"" ^ '"'"*" ~ "^

-+- "-TT- «* sîn 4 ( n' H- É — ai )

Les angles nt-^teleo étant supposés comptés de la même origine que l'angle v, les valeurs donaeront celles de — ; et de v' en marquant d'un accent les kt-

très n, e, €eta>.

Si Ton substitne ces valeurs dans R , cette quantité deviendra fonction des longitudes moyennes n£ 4- <> n't •+■ s! des deux planètes , des longitudes des périhélies, des demi-grands axes, des excentricités et de l'inclinaison matuelle des orbites, et l'on pourra la développer en série de sinus et de cosinus d'angles proportionnels à nï + b et n't 4- «', d'après les principes établis n** 48 du second livre.

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

Pour cela , on supposera d abord les orbites drculaireSy ce qui donnera r=a, r':=za\ p :r=: /i^ -f- <^ v' = rit -j- «', et par conséquent ^

L^^4*'«-Hi«--afla'coi(n'l— nl+t'— i) «'• ^ J

+ f^x.V'f î — i-?îl

En nommant V ce que devient V dans la même hypothèse , c'est-à*-dire en supposant :

V'=^«i'[cos(n«+n£+i'— f— an) — cos(n'/— n/+/— 1)].

On donnera ensuite ka, a', nt^^e^ n!t^ %\ des accroissemens au , ciu^ 9 et s;>\ qui comprendront les termes des valeurs de r, /, s^ et f^, qu'on a d'abord négligés ; en sorte qu'on aura :

et il sera facile de développer R en série convergente par rapport aux puissances ascendantes de e,e' eï y*

En effet , faisons comme dans le n"" /fi du second livre.

[rt* + «'• — aoa' cos {n't •— w^ + «' — «)]" • -^ -^ cos {n't — /î^ 4- «' £)

= i 2A^«cosï(/i'^ — w^ + f' — é)

[a» 4- a'* — aoa' cos («'< — nt-j-^ — e)],"

— ^, = i 2B«>cos/(/i'<— «<+/—,).

i4 . THÉORIE ANALYTIQUE

. . Supposons' de pins y

[a* 4- «'• — 2aa' cos (n't — nt + e' — «)J • ss - 2 C^o cos i (n'« — «< + e' — 6).

La caractéristique 2 devant s'étendre à toutes les valeurs entières de i positives ou négatives y compris zéro , en observant qu'on a généralendent :

sin {ft 4- Z)2 A» co&i(n't^nt 4. e' — e) '" ' =2AWsin[j(n'< — /î<4-6'— €)4-/«-f-/]

cos (ft + l}2, À«cos i (n't ^nt-^6' — € )

= 2 A"^» cos [i (n'< — n< 4- é' — 0 +/< 4- / 3

sm ( y< 4- 0 2/^-^^ A« sin r («7 — • /i< + é' — « )

— 2i«»+«A«cos p(n'<— ««4-6'— ê)4-}î4-Z],

ft-^ l étant un angle et g* un nombre entier quel-^ conques , et de même pour les fonctions

2 B^'> cos i{n't — nt+c—i) et 20*^ cos i{n't — /2^ 4. g' — g ),

' La fonction R', en substituant pour V sa valeur, et en faisant , pour abréger , n't — nt'^é' — g b= a deviendra

cos 101

--T;X<a«fl'*2.C(''-») cos {U + 4«< + 4i — 4n).

1 mO

On pourra, dans cette formule , supposer, quel que

DU SYSTÈME DU MONDE. i5

Par cette nouvelle notation^ les quantités A^'^ A^y A^^ seront toutes trois des fonctions homogènes

de a et a! de la dimension — i ^ ce qui donnera à la fois plus de régularité et de simplicité aux formules. Nous ne faisons toutefois qu'indiquer cette notation ii ceux qui voudraient s'occuper du développement de la fonction A , et nous continuerons à considérer les quantités B^*^ et C*^ pour conserver l'analogie des formules suivantes avec celles du second livre.

Cela posé , on pourra regarder Z A^'^ cos îa comme une fonction donnée des trois quantités a, a' et a, que nous supposerons variables. Or, si l'on nomme z une pareille fonction , et que les variables devenant simultanément ^ï -f- aii^a! ^ /zV, ât+ (/^ — ^/> ^^ désigne par ç„^„^p le coefficient du produit cC^a!'' «"w'" {y^ — p'^)'', dans le développement de la fonction résultante , ou sait qu'on aura généralement :

dd^ da''' dd(jP

On déterminera par cette formule les coefficients des difFérens termes du développement de la fonction 2 A^'^ cos ict ; en rem|!)laçant ensuite u y vly f^ et ^ ^ , par leurs valeurs , on développera les produits» successifs w"w'"(p'^-*- s^y en séries ordonnées^ . par raf^ort aux excentricités des orbites et prolori--

ië THÉORIE ANALYTIQUE

gées jusqu'aux puissances de ces quantités auxquelles on voudra avoir égard. Quand ces séries seront formées, il sera facile d'obtenir par une simple substitution lé terme de R dépends^nt d'un argument donné et d'un ordre déterminé par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.

Ce que nous venons de dire s'applique évidemment aux quantités 2 B^'^ cos icL , 2 C^'^ cos îa, et peut s'étendre aux quantités 2B^'^cosf£aH- 2nf -f- !2g — afF), 2(?o cos ( ioL -f- j^t H- 4^ — 4^^ ) î ^1 suffira de regarder ces deux dernières comme contenant les variables a, a', a, et n^ -j- « ? et de le^développer comme les précédentes par la formule de Taylor étendue à quatre variables.

On pourra donc , dans tous les cas, former, d'après les principes précédens , le développement de la fonction R , étendu jusqu'à tel ordre de termes qu'on voudra considérer, et l'on n'éprouvera en général d'autres difficultés que celles qui résultent de la longueur des calculs, qui se compliquent de plus en plus à mesure qu'on a égard à des puissances plus élevées des excentricités et des inclinaisons.

4* Considérons le terme le plus général de ce développement, que nous supposerons de cette forme :

m'k cos (iV^ — int + î'é' — ie — /û)' — yb — a/'O).

Il résulte de ce qui précède, que les angles eo, a»', et n, ne peuvent être Introduits dans l'expression de R que par la substitution des valeurs de r, r', p, (/ et Y. Or, par les formules du mouvement elliptique , on vbit que l'angle n^ -f- c sous les signes sinus ou cosi7

DU SYSTÈME DU MONDE. i^

nus est toujours accompagné de Tangle «— & dans les expressions do r et de i^, de. même l'angle vit -{- €' est toujours accompagné de l'angle -^ a»'; enfin dans la valeur de V l'angle vit + 71/ •+• e' •+• « sera toujours accompagné de l'angle — * ^EI. Cela posé^ le terme qui précède peut s'écrire ainsi :

+/' {n't + i'— a/) +f{ni + 6 — «) H-/' {n't + «^ + é' +• É — an)]'. ■

Les trois derniers angles cjuî entrent sons le signe cosinus appartiennent aux termes péraodiques des valeurs de r, r , V, v' et Y. Or, si les orbites étaient circulairès et dans le même plan , le coefficient de n't serait égal à celui de nt^ puisque l'angle n't — nt-^t' — £ et $6s multiples serait le seul dont le cosinus entrerait dans la valeur de R ^ en sorte que le coefficient de n't nq peut surpasser celui de nt ou en être surpassé que par l'introduction des termes dépendans de^ excentricités et d^s inclinaisons. Il suit de là qu'on aura généralement entre les quantités «, 1% f^ J\ j^\ la relation suivante :

^ -/'-/'=^'+/+A ou bien i'£-//'2/'=o,

*> ^ff^T^ /"> ^*3^t des nombres entiers positifs ou négatifs quelconques.

Quant au degré d'élévation du coefficietit A: , nous remarquerons que les valeurs elliptiques de r, v, r\ i^\ sont telles, que les coe.fficiens des sinus ou cosinus de chaque iqultiple de ranomalie moyenne nt+e — a» forme une série procédant suivant les puissances de Tome I. 2

i8 THÉORIE ANALYTIQUE

Texcentricitë e , et dans laquelle les exposans vont en croissant successivement de deux unités à partir du premier terme , qui a pour exposant le nombre ixvème qui multiplie l'angle »£+ € ou l'angle a>. Il en est de même des valeurs de y et v' relativement à l'excentricité e^ et à l'angle eo'. Observons encore que la quantité V étant toujours multipliée par A*, le coefficient de FI dans le terme dépendant de Fangle i^ + i^' — an, ou de ses multiples, sera égal à l'exposant de la puissance de A dont ce terme est affecté. Il suit de là que da»s les termes indépendans des inclinaisons la somme des coefficient des angles œ et ûù\ pris avec le signe +> sem la limite inférieure de la puissance des excentricités à laquelle s'élève le terme que l'on considère dans le développement de ÎR., et que dans la partie dépendante à la fois des excentricités et des inclinaisons la somme des multiples des angles û) , û)' et fl , pris positivement, indiquera Tordre le moins élevé des termes du développement de R qui dépendent d'im argument déterminé.

Ainsi le coefficient k sera de l'ordrfe f^rf*^^)' ou V — /, d'après la relation i' — i — fr^f- — 2/''==^o, et, ce coefficient se composera d'une série dont le premier terme aura la forme Ae^e^'A^, les nombres f^ f'f ff étant pris avec le signe +, et A étant iMe quantité indépendante des excentricités et des iriclinaisons; le deuxième terme de cette térï(d serait nie î'oixirè V — /+ 2 , le troisième de ï'ordre t-^V^^ , et ainsi de fifnite; en sorte qiie le facteur comm^un ^e'^K^^ oté> tous les fermes de la ^série k ne renfer-

fiU &YSTÈMJS DU MOIffiE. 19

mçTont que d^ pmssanoas fmv^9 d^ a^ «^ et A^ En na considéraiit dQi?^ piiFmi 1q$ ternies qui dépendeot da VangVe i'n't — rint qwa ceux qui sont de Tordre le

moins élevé 9 le téroie général de R sera de la

forme

kéé^X^^ cos (f V/— int ^f(ù' —foù — a/'^r) .

Les nombres f^ y, y", sont supposés positifs ; si 1 un d'eux , f par exemple, était négatif, le terme précédent serait de Tordre V -^i^nfy la somme des nombres y, f et a/'V pris avec leurs signes , devant toujours être égale à i'^r- L

Les considérations précédentes sont surfont utiles lorsqu'on veut déterminer à priori les ternies à\^ développement de R qui dépendent d'un arguaient donné. On voit que si parmi ces termes le moins élevé est de Tordre /, le même argument ne se re^ produira plus que parmi les termes de Tordre / + ^ ^ ou de Tordre / + 4 1 ^*c, ; dç sorte que si / est un nombre pair, tous les termes seront d'ordr/ç pair, et ils seroirf; 4'ordre impair dans le cas contraire* Ce résultat provient nou-rseuleinent: de la forme des va* leurs de r, r', p, f^', jamais ei^icore de ce que la fonction R doit être iodépepdajate de Torigiae des longiltudes.

Ainsi , par exemple , si Ton proposait de déterminer les termes de R relatifs à Targument Sn^t — nnt^ on voit que les moins élevés parmi ces termes seraient de Tordre 5 — 2 ou du troisième ordre , les suiVans du cinquième, et ainsi de suite. Si Ton considère seulement les termes du troisième ordre,

on aura f+f'+ ^f = o ; les nombi^s /, /', /", étant supposés positifs^ on pourra former isix combi-' naisons différentes , selon que deux ou un seul d'entre eux seront supposés nuls , et les autres successivement égaux à I, a ou 5, y" excepté, qui ne peut être que nul ou égal à i . Les termes dont il s agit seront donc compris dans l'une des formes sui* vantes :

M^^V cos {5n!t — 2nt + 5«' — as — 3»), M^*Ve' cos {5n!t — ^nt + 56' — ae — 3a> — û>'), M^'^ee'* cos {Sn't — <int + Se' — a« — « — au)'), M'-V cos (Sn't — a/i^ + Se' — ae — 5û>'), M^^^M* cos {5n!t — 2nt + 5g' — a€ — û> — ail), M^Va'cos (5n't — 2nt + Se' — as — û)'— ail).

Quant aux quantités M^®^, M^'^, etc. , il sera facile de les déterminer d'après ce qui a été dit n* 3.

On a souvent besoin, dans la théorie des perturbations planétaires, d'avoir les différences de R, soit par rapport à r, soit par rapport à v , soit enfin par rapport a la latitude s. Pour les obtenir, j'observe que la valeur elliptique de r peut se mettre sous la forme r = a (i -f- «) , en désignant par u une fonction dépendante de l'excentricité e, mais indépen-

dante de a. On tire de là ^ = i -f- w; et comme r

est la seule des variables r, ç, r?> v% qui renferme a, on aura

^__^</R , . dS. r

DU SYSTÈME DU MONDE. ai

OU bien

dr *'"' da *

Quant à la diflKrentîelle partielle j-, on a i^=/i^-f-^-|.ç;^,

en désignant par s^^ une suite de sinus de l'anomalie vraie nt^e — c? et de ses multiples. La partie périodique du rayon vecteur est composée d'une suite de cosinus semblables ; on aura donc la différence de R par rapport à v, en différentiant la valeur de cette fonction par rapport à l'angle €, en tant qu'il n'est pas accompagné de l'angle cd , c'est •- à - dire qu'on

aura

dK dK di^ ~ di ^

pourvu qu'en prenant cette dernière différence on ait soin de considérer comme constans les angles € — cû qui sont mtroduits dans R , soit par le rayon vecteur r, soit par la partie périodique de la longitude v , et qui , par cette raison , ne doivent pas varier ; c^est-à-dire qu'on aura généralement ^

en faisant tout varier et observant que ^- = j" >

rfR ^^ dR. . rfR

dy ndt * dm *

Enfin y pour avoir la différence de la fonction que

nous avons désignée par R, par rapport à s^ j'observe que s étant la latitude de m au-dessus du plan auquel on rapporte son mouvement , si l'on nomme (p l'inclinaison de l'orbite sur ce plan fixe, on aura

ii THÉORIE ANALYTIQUE

^ = sin ^ sia {{^ — II), et par conséquent

^ = ^ sm (i» - n).

Bq désignant d'ailleurs par y rinclînaison mutuelle des orbites de m et m', on a, n® 2^

cos y = cos <p cos (f)' + sîn (p sîn ^' cos (II' — II).

Si Ton difféi^ntie cette expression plkr rapport ky et à ç , que dans la difierentieile on fasse ^sszol, ^'= y et II' = n 9 ce qui suppose que l'on prend , comme nous le faisons , pour plan fixe le plan de l'orbite primitive de m ^ on aura rfj^ = — rf(p , et par conséquent^

^ I dK

ds """ sia (i' — n) ' dy

Si m était en mouvement sur le fdon même de l'oi^ bite de m'y on aurait jbssin}^sm(i'*— n)^ et par conséquent 9

Nous avons supposé dans ce qui précède A =c:q sin jJ^, ce qui donne dA = cos j ydy , et par suite

d^ siû^ rfR

ds A * dx*

- I J ^ni ifR aR y. . • • J /

Les valeurs de ^ , j- , ^ , formeront ainsi des séries composées de termeis semblables à ceux du développement de R dont ils dérivent.

Enfin ^ au moyen de l'éqnation

DU SYSTÈME DU MONDE. a3

lorsque le développement de la fonction R sera effectué^ on pourra en déduire , par de simples diffé-

rentiations , la valeur de la fonction R , qui est celle qu'il faudra substituer dans les formules du n"* 44 du second livre* Par le n"" 8i du second livre, on a

ds ain (i' — n) ' dq dK

Si Ton substitue pour ^ sa valeur tirée de Téqua^-

dK tion précédente , on retrouvera la valeur de ^ à laquelle nous venons de parvenir d'une manière différente.

On peut, pour fixer les idées , supposer que R est la valeur de la fonction perturbatrice lorsqu'on regarde comme immobile le plan de l'orbite de m, et

R la valeur complète de cette fonction, en ayant égard aux variations de ce plan. Or ou voit que les différences partielles de la fonc^on R relatives au grand axe a, à Texcentricité e , à la longitude to du périhélie de Torbite de m, et à la longitude e de l'époque, sont égales auxdifférences correspondantes dé R, aux quantités j>rès du second ordre par rappprt aux forces perturbatrices , alors qu'on prend pour plan Gt^e ce* lui de l'orbite de i» à une époque donnée; en sorte qu.e d^ns les formules qui déterminent les variations de ces élémens on peut nibstituer R à la place de R ,

puisque nous négligeons ici les quantités dépendantes du carré des masses.

Il n'en est pas de même relativement aux variations des quantités qui déterminent la position du plan de

l'orbite, et la valeur de R donnera

dK ^ ï ^ dR. ^ i dK •T- = — taog - A 3 h -. — -r-

«// '^ a ai^ ' sin y d7r

dK i dm

:y- = — cos - y j-.

dq 2 ^ dx

En substituant ces valeurs dans les formules (9) et (10) du n° 44 ^" ^'vre deuxième , en observant que

dfR <f R , ^R

j- = -5- + j-, on aura :

dv dt ^ dat^

j andt I ^ c?R

dpz=z . COS- A -3-,

, andt rdR ^ i /^ , dR\-|

^ sinyl/i— e*L5^ 2 \A '^ det/J*

En joignant aux formules (i), (2), (5), (4)r (8), du n** /^/^ , livre II , les deux précédentes, on aura par la simple différentiation des différens termes du développement de R , prise par rapport aux élémens de l'orbite de /n , les inégalités correspondantes de chacun de ces élémens; ce qui facilite extrêmement le calcul de leurs variations.

5 . Après ces considérations générales sur la réduction de la fonction R en série, nous allons nous occuper de déterminer l'expression analytique des diflerens termes de ce développement. Nous avons donné dans le n"* 81 du second livre, les termes qui dépendent de Iq première et de la seconde puissance des excentri*^

DU SYSTÈME DU MONDE. a5

cités; mais comme nous avons omis de comprendre parmi ces derniers les termes dépendans des inclinaisons , pour rendre notre travail complet , nous reprendrons ici ce développement à partir des termes du second ordre, et nous le pousserons ensuite jusqu'aux tenues du sixième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Il est peu probable qu'il se rencontre des cas où l'on soit obligé de porter plus loin les approximations; au reste, on y parviendrait sans difficulté d'après les mêmes principes.

Les Mémoires de l'Institut pour 1808 contiennent un travail de Burckhardt sur le même sujet; mais des erreurs considérables s'étaient glissées dans ses résultats ; nous nous sommes attaché à les faire disparaître ; nous avons vérifié avec soin les termes que cet astronooie avait calculés, et nous leur avons ajouté les termes dépendans des inclinaisons qu'il avait omis. L'introduction dans nos formules du sinus de la moitié de l'inclinaison mutuelle des orbites au lieu de la tangente des inclinaisons employée jusqulci , rend le calcul de ces derniers termes aussi facile et aussi symétrique que celui des termes qui dépendent simplement des excentricités.

Enfin M. Binet a bien voulu me communiquer dernièrement le manuscrit de ses recherches sur le même objet, présentées à l'Académie des Sciences en 1Ô12, et dont j'ai parié n**96 du second livre. Cet immense travail contient la préparation de toutes les quantités nécessaires au développement dé la fonction R jusqu'aux tprmes du septième ordre; il a servi à vérifier de nouveau quelques-uns de mes résultats^

tS THÉORIE ANALYTIQUE

et m'a mis à même d'offrir avec quelque confiance aux géomètres le travail le plus étendu^ et, je l'espère, le plus correct qui ait encore été publié sur ce sujet.

DÉVEL0PPEMEI9T DE LA. FOlïGTIOIï PERTURBATRICE EN SERIE ORDONNÉE PAR RAPPORT AUX PUISSANCES ASCENDANTES DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS.

Termes qui sont de Vordre te moins^ éle\^é parmi ceux qui dépendent du même argument.

Termes du second ordre.

6m Soit :

R = M(o^.c« .* cos [i {n^t — ni + «'—•) -f- lit + 2i — a»] + IVfCO . ee'. cos [i{nft — n{ -.^ •' — «) + )n< 4- 9« -<- i» •— iO -h M<»).«'».coa lUn't — Ht + •' — i) •<- snt + ai— a»'],

OU aura

^ "Si* ^^'' ^ ^^ + a (ai — I) a -;jj- + «» -j^ J

M<-)= ^' { [4(ê.a).+9(.-.a)4^] A('-0+[6+4('-a)]fl^=^

Nous laissons subsister dans oes formules les puis^ sauces des quantités i — i et i — '2, sans les dérelopper, pour la œmmodité des calculs numériques et la facilité des vérifications.

Les différences de la fonction A^^^ ainsi que celles de la fonction B^'^ relatives à a' ont été converties en difierences relatives à a, an moyen des formules da n"" 5^ du livre second , formules qu'on pent prolonger aussi loin qu'on le voudra ^ et qu'on ^eut ^tendre à la fonction C^'^.

Dtr SYSTÈME DU MONDE. 27

Soit:

R =N^^\X*. cos [i{n't^nt+ g'— g) + aw^+ae— ail] ,

on aura

Pour ne pas compliquer les formules , nous avons ici , comme dans ce qui va suivre^ écrit séparément les termes dépendans des inclinaisons ; ils doivent évidemment être réunis aux termes du même ordre dépendans des excentricités.

Les moyens de vérification pour des calculs aussi compliqués que ceux dont dépendent en général les quantités M^^^;^ M^*^ M^*^, sont précieux. Nous allons en indiquer plusieurs.

La fonction perturbatrice , lorsqu'on ne considère que la partie dépendante de la distance mutuelle de 772 à 771', étant symétrique par rapport aux coordonnées de la planète troublée et de la planète perturbatrice , il en résulte que sa valeur ne variera pas si Ton y change ce qui çst relatif i m en ce qui est relatif a 772', et réciproquement; d'où l'on peut conclure que si dans la valeur précédente de M^*^ on change a en a\ et^z en — i + 2 , et les différences de A^'^ prises par rapport à a en difiBérences relatives à a\ la valeur résultante sera égale à M^^\ Comme les quantités M^*^, M^^^ ont été calculées séparément , il sera facile de vérifier de cette manière leur exactitude , et Ton verra qu'on peut étendre une vérification semblable aux dlfférens termes de la fonction R^ quel que soit leur ordre.

Un second moyen de Vérification résulte de la remarque qu'a faite Burckhardt, que si l'on compare par voie de soustraction les coefBciens de A^'^ et de ses différences successives dans M^*\ M^*^, M^*^, et les quantités semblables relatives aux cubes et aux puissances supérieures des excentricités, on arrive en général à des différences constantes. Ainsi y dans les termes du second ordre , les secondes différences des

coeffîci'ens de A^'^ et de -j- sont égales à 2*; dans

ceux du troisième ordre , les troisièmes différences de ces coefEciens sont égales à 3^ ^ dans les termes du quatrième ordre, les quatrièmes différences sont égales à 4^ ; dans ceux du cinquième ordre , les cinquièmes différences sont égales à 5^, et ainsi de suite.

Par exemple, dans les termes précédens, les coefficiens de A^'^ sont :

!'«• diff. a»«« diff.

Pour M^^^ 4i' — Si ST^^

Pour MC>^ 4i» + 2/ Il ^^- , / + 4

Pour M^> 4/* + gî + 4 ^ 7^ -1- 4

Les coefficiens de -^ sont :

ir«« diff. ê

Pour M^ 4î — 2 Pour M^'> 4£ H- 2 Pour M^*^ i" 4- 6

• Les coefficiens de , ■ sont les mêmes dans les

da'

troi s quantités

BU SYSTÈME DU MONDE. ig

Il sera £sicile; si on le juge convenable , de développer, par rapport aux puissances de i, les valeurs de M^®^, RP'^, M^*^ ; pour vérifier les expressions résultantes, il ne faudra plus alors comparer ensemble lescoefficieos appartenant à la même différence de A^'\ mais bien qeux qui sont relatifs au même angle périodique. Nous ne nous arrêterons pas à exposer ce calcul qui n'offre aucune difficulté.

Termes du troisième ordre»