CHAPITRE II

'cul numérique des nent en, série de la

.er ici quelques noutous avons dit dans , sur la mnnière de is qui entrent dans fonction R réduite ni utiles à ceux qui lérique de ces coef-

iaa'cosfl+o')~'du :ux constantes, et s ■ ou négatif. Nous < serait un nunibni l'a pas trouvé jusla théorie du sysi- ' >■ fl , et faisons I ; et pour plus de

f I •?— sacos^+d»)"', i-donnée suivant les Itiples, Le mo^^en Iç

DU SYSTÈME DU MONDE. 6i

plus simple de résoudre les questions de ce genre est celui des coefficiens indéterminés. Cette méthode consiste à représenter la fonction, qu'on veut développer , quelle qu'elle sôît , par une série indéfinie dont les coefEciens sont indéterminés; en substituant ensuite cette série dans une équation différentielle, ou en quantités finies, tirée des propriétés de la fonction donnée , et en comparant dans cba^ que membre de l'équation résultante les coefficiens des mêmes cosinus, on forme un nombre d'équations de condition suffisant pour déterminer un pareil nombre de coefficiens inconnus*

Ce moyen très simple fait connaître les relations qui lient entre eux les divers coefficietis de la série , c'est celui dont nous avons usé dans le n^ 49 ^^ livre il ; mais il en est un autre dont les géomètres font un fréquent usage pour la réduction en série de toute espèce de fonctions , et qu*il est d'autant, plus utile d'indiquer ici , que ce procédé peut s'étendre à des questions plus importantes, et devenir d'une application très avantageuse à la théorie des perturbations planétaires.

Faisons pour abréger S = (i — 2 a cos ^-j-ct») et suivant la notation usitée , soit :

S— = 7 b]^^ -f- h^'^ cos ^ + b^"^ cos Q^ -f b^J^ cos i> 4. etci

Il s'agit de déterminer les différens coefficiens i/*\ ^/*>, i/»^, etc. Or chacun de ces coefficiens peut s'exprimer d'une manière très simple par le moyen d'une intégrale définie , et on aura généralement :

Qa THÉORIE ANALYTIQUE

L'intégrale étant prise depuis ^=o jusqu'à ^ = 2*;t, en désignant par 7r la demi*circonférencQ dont le rayon est l'unité.

En eflfet, i et i' étant des nombres entiers quelconques y il est aisé de voir que l'intégrale y2/(p cos /^ cos i'(p, prise entre ces limites, se réduit à zéro pour toutes les valeurs de H différentes de z, puis* qu'on a

/ c/f cos i> cos «> i*a ' / d^, [cos (« -h »') ♦ + co» (*' — 0 >]»

d^ cos n^sOy n étant ua nombre entiw

quelconque différent de zéro. Si l'on multiplie donc par Ç09 ip dp la fonction S""' ou chacuti des termes de la série qui la représente, et qu'on intègre l'équation résultante depuis ^ = o jusqu a ^ =:t: ^^tt , on aura

Tous les autres termes du second membre seront nuls^ et son intégration étant effectuée» on tiVQUYCsra pour déterminer b^^ la formule (a).

Cela posé d'après la valeur de S , il est aisé de voir que l'on 2^

iâ^ cos lA . sin (^ i*s sin ^ sin îa Ja

équation d'où l'on tire :

id^ coh i^U-h ti*\ , sin'i^ aiW^ cos* cosi^ ^ 3($— i)«<Ai^ si4«-sim>

BV SYSTÈME DU MQTSiDE. 6S

ou bien

Si l'on int^re màiotenaut cette équation depuis

^=0 jusqu a (p^=27r et quon i^eniarque que -j—^ est

nul entre ces limites , on au^a 6n vertu de l'éqna-» tion (a)

Formule analogue à la formule (a) que nous avons obtenue d'une autre manière dans le n* 4g du livre I, et qui exprime ^ rV^'ation qui exif^ç eplre les trois coefficiens consécutifs de la série S""'.

On peut, au moyen de cette formule , calculer un coefficient quelconque Z>/'***'^ du développement de la fonction S"" au moyen des deux coefficiens qui le précèdent b,^^ et è/*"'^ en sorte que le calcul de tous les termes est ainsi réduit à celui des deux pre-^ miers coefficiens A/**^ et è/'\ Cependant, lorsque et est une quantité peu cpnsidérahle , la formule precédehie peut devenir défectueuse , parce qu^alors les coêffir cieas b,^*^, bp^^ etc., étant les difFérenoes de deu» uomhi'es qui diffèrent très peu entre e\\x , ne^ peuvent plus se calculer avec une exactitude eufi^sante par \e% tables de logarithmes ordinaires; l'erreur se* midi^ tiplie dans le caldiil des termes j>nivans , dç^ ii!^anièce que les r^uUats devienoent de plus efi plus inexacts, et qu'on finit même par arriver à des différences ne^ gatiyes, tandis qu'au contraire tous les coefficiens ^/'^ ^/^^'^ etc., sont nécessairement positifs. Ce cas

se rencontre dans la théorie de Jupiter et de Met^-* cure f dans celle de la Terre troublée par Vénus , et en général toutes les fois que a étant une petite quantité, on est obligé par quelque - cirGanstance particulière de calculer les coefficiens b^} d'un ordre uû peu élevé. Il faut alors , pour déterminer chacun des coefficiens by^f recourir au* moyen des séries qui ont servi à déterminer les deux premiers coefficiens b^^ et by^. Ainsi ^ d'après le n* 5o du livre II, on aura ici

Si Ton développe les deux membres de cette équation , et qu'après avoir substittlé 2 coà i^ à la place

de ^'*'* '^ *"'-(- c'^*^~' dans le second membre, on compare les coefficiens des mêmes cosinus y on trouvera généralement

Cette série devient très convergente à cause de la petitesse de et , et Ton pourra se borner à en calculer quelques termes ; elle fait voir que cl étant nécessairement positif, les cofficiens bp seront aussi tous positifs. On pourra sans inconvénient se bornera calèulep directement par ces séries les coefficiens alter-^ natifs by^f b^^j i/^, etc. , et calculer les coefficiens intermédiaires par le moyen de la formule (t) qui devient alai*s d'un usage également sûr, soît que a diflere peu de l'unité, soit que ce soit i^ne très petite quantités