DU STS7ÈME DU KOCHIE
et par siinle
Ces fbrmnîes déterminent les divers coefBcîens de S""' au moyen de ceux de S""'""* ; quoique très simples , elles sont plus compliquées que les foimules inverses (4)- U y aurait donc^ sous ce rapport, de ravantâgef à commencer par calculer les coeffi-
ciens b ^^ ^ b ,^ , etc. , et à en déduire ensuite les
ooeiBciens b^ , b, , etc. Mais dans la théorie des
planètes on e^ obligé de pousser beaucoup plus loin le développement de la fonction S^' que celui de la fbnctioi^ g-»~i . il fauff donc renoncer à faire usage des formules (4)> si ce n'est comme un moyen
très simple de vérifier les valeurs de b^ , i^ etc.,
^IVi ' ^^-4-1 ' ^*^' ' calculées par d^autres fett^mufes.
11 est aisé d'étendre les résultats précédens au développement d'une puissance quelconque S^*^^ de S. En vertu des formules (5) les coefficiens de la série que cette quantité représente se détermineront au^. moyen des coefficiens du développement de la puissance S""*""*"*"' qui la précède immédiatement; en sorte que le développement Sr' fera caunaitre celui des puissances S""'""*., S~^""% S"^""^, etc.
:20« Déterminons maintenant les différences succès-
$ive&<}e b'I , f>,^^, clfi,, par rapport à a. En différen-
tiant relativement ^ cette quantité la formule
, (i) I Pd^ cot If
on trouvera
dm, ^ J S"»" ^ ^ ^ jrLj «-^•
Et par conséquent^ en vertu de la formule (c),
formule qu'on peut déduire aussi de la formule (D} du n° 53 , livre IL
On aura très simplement par cette formule la va-
leur de —A" 9 au moyen des valeurs de ^ JL / ,
b^^]^^ et *^/ , qui se rapportent à la fonction S"*'""';
mais on peut l'obtenir sans être obligé de calculer ces dernières quantités. En e£fet , en substituant pour
^f+1 9 bs^i 9 ^l+\ f ïe^rs valeurs données par les
formules (5) , on trouve après les réductions nécessaires
Cette formule déterminera /-au moyen des trois
quantités o^ , ^^ et 6^ supposées connues, en
substituant pour b^^ sa valeur donnée par 1 equa^ tîon (i) en fonction de b^'} et A^*"*"*\ on aiirait une
formule analogue à la formule (D) du n*» 5a du livre II , qui ne contiendrait que les deux quantités
^s ^^ ^8 ; ™^î^ 1^ précédente étant plus simple , elle sera d'une application plus facile pour les calculs numériques. En la différentiant par rapport à a , on
aurait les différences successives-;^^ , "d^lT'* ^*^' *
mais il y a sur l'usage de ces formules une observation importante à fai|e. Elles font dépendre la déter-
mination de -^ de la quantité b^ , celle de — U
de b^ , et ainsi de suite. Or^ comme la différence
n^^* de fcy contient la quantité — 'aZT^^ *1 ^^ résulte que cette différence dépendra de la quantité Ifi"^^.
Par conséquent^ pour avoir -j~, on sera obligé de prolonger jusqu'à é^'"^") le calcul des quantités b^ p b^ , etc. Pour éviter cette opération^ qui devient inutile lorsqu'on n'a besoin que des quantités b^ »
* , . . . . ^j ^ et de leurs n premières différences ,
••».\r**^^ - jB»
i>««»*r *» *» * *<tVN*.
ffù T^ORIE ANALTTJQfUE
W subfttiiHiera «dans 4 -équation (8) pour 6^ sai fia*leur f pu aura airxsi
db^''>
équation qui resuite d'ailleurs de la formula (D) n^ 52, livre II, en y dhangeant i en — /.
*Sî pour plus de simplicité on met cêtle équation
let qu'on la difféeentie ensuite , elle fera connaître
lés valeurs dès différences swrcessives da 5 , au
mpyen de celles des quantités b et b^ supposées connue^l let comme Ja détermination de ces valeurs
ne dép.end que de celles de b^^ et ftj , il ne mous restera en définitive que ces deux quantités "k déteirmînçr. M^is îa foroTU^le précédente se complique à
ipQes.ure^que l'on .considère les différences de h^ d'un
ordre plus élevé , il est donc utile de chercher des fprmulQS qui puissent s'adapter plus facilement ai|x calculs numériques.
lJ'éqnâlkm>(2)idQaa0;0tt>Ia^diff&^mij^ .
d!pw», en /$)[i))&ti tuant po^r -j^ sa valeur (9) , on t»i^
DU SYSTÈME DU MONI»e:.
dfi
db
Comnie Texposant s n entre pas dans cette équation , on aura de même
âH
. (lO)
L usage de cette formule n'est sujet è aucun inconvénient^ et en la difTérentiant on trouvera successivement
rf.iy-> d.i<^^> ,
dtn
d-t^**'* . dA«"
it4AÎ'^'> d44<'+'>
etc.
La loi do ces formules est évidente , et Tob peut les prolonger aussi loin qu'on le voudra ; elles donneront très simplement les v<ileurs des différçQces $|ic-^
cessives d'un coefficient quelconque b] ^ lorsque les
différences des deux premiei*s coefficiens o^ et o^
seront connues.
Or^ en faisant successivement i = o et i=sr dans l'équation (9) , on trouve
dA I— «« '^»
c^^^'^ ^^bf 4- [ (a. - 1) ^» ■- I] b^^
d'où Ton tire
db^""^ db^'^
Ea diffërentiant cette expression , on trouve ^ * ^ *
En combinant epsemble ces <|uatre équatîonsi ^ oi| formera les deux suivantes :
Ces forpaules serviront à déterminer directement
la différence du second ordre ^-î-par le moyen de la quantité h^ et de sa différence première^ et l'on aura
de même le coefficient --^ , quand les deux quaa-»
rf*('j
titës -^ — et b^ seront connues.
En diffërentiant de nouveau ces équations, on formera les différences successives de b^ et de b^ ; on obtient de cette manière
tU} «(1—*») </«» ^~ I — «• "' J<t «(i — *')* •
«te;
f!*i (4f±lO«!-5 <'*^^4i«-f-a844-!iS ^^^. . T6j«-h3^^4-i2
rf«5<'>
!-*• • ^> ' *(l— *•) • rf««
Ces séries peuvent être prolongées aussi loin que Ton voudra, et elles donneront toujours les différences de b^ et de b] d'un ordre quelconque , au
iQoyea des trois différences qui les précèdent immédiatement.
On pourrait d ailleurs se borner à calculer ces dernières formules, et déduire ensuite les valeurs des
différences successives de b^ de celles de b^ , par le mojren des formules suivantes :
)4 TBÉO&IE ANALYTIQUE
etc. y
équations dont la loi est évidente.
On peut encore par la Coml>inaisou des formules précédentes en trouver une infinité d'autres propres à calculer les quantités A/*^, b^^y etc. , et leurs différences successives ; c'est au calculateur à choisir dans dbtaque cas celles dont l'usage lui paraîtra le plus avantageux:
Enfin 9 si l'on était obligé de calculer à la fois et av^ ua même degré de précisiQu 1^ coeffideas des d^ux séries S"^ et S"""~', on pourrait déterminer d'une manière très simple les diflférences successives
des quantités ^^ , 6^ , etc., que l'on aurait soin,
dans ce cas^ de calculer les premières. En effet > la formule (9) donne 9 en différentiant^
-3^?=# ( — fti. 4. -J+JL - a*--i±i - iib^i ). (i5)
dcL* \ d0L da 4* '+V ^ '
Mais si dans la formule (8) on change ^ en ^ -f- ^ ;
•vy
DD SrSTÊHE DU MONDE. 7S
et '^ptVmsmte à la fdaoe de ( do substitue successive^
rneol: î-h j et — i^ en ohservawl <|«e *,|j]* »s 6^^ » OQ aura les deux suivantes :
Si Ton retranche la seconde de la première^ après ravoirmultiplioe par tf ^ on trouvera, toute réduction faîte , cette formule très simple
QQ .aurait semhlablement
'<jdike £brBrale dérivé d',ailleurs de la précédente^ en y changeant i en — i. La différence de ces deus équa«tions donne la formule (lo); en les ajoutant on trouve
J* dàL <U "«^ ^ ' #+i ^ et •+» « *+«
La formule 05) devient ainsi
En suivant le même pracédé , on déterminera par
76 THÉORIE AHALYTIQUE
des formules très simples les différences snecesaives
de b, , au moyeu des quantités b^'^] , è^'^, , J^T,
supposées connues.
Dans le cas où l'on suppose ^ = ^ , les équations (9) et (16) deviennent
Les formules précédentes, ainsi que les formules (i i) ^ sont sujettes à quelques inconvénieos lorsque et est une très petite quantité; mais alors on tombe dans le cas d'exception du n* 1 8 1 et au lien d'employer ces formules, il vaudra mieux calculer
directement les différences successives de b^ par le
moyen des séries. En effet, si pour plus de simplicité on fait
W* a= a .» • '" » 1=1».— îrr —
'' = "•" ÎTfl • ' = '""'' 3.t + 3 •
etc.,
la formule (m) donnera et en différentiant on aura
fy ^ ,•
DU SYSTÈME DU MONIffi. 77
— i- = im*'-» -♦• (« + a) ««'+« + (i + 4)>**+» + (* +• 6) 7«'+» + etc. ,
—l-aB £ (i — 1) !»«*-•+ (i +1) (« -f a) »*' -h (i 4- 3) (i -f- 4) p«*+*
, + (* 4-'&) (* + 6) 7«'+* -»- cic. ,
^= i (i—i) (i-^)iit*'-J4^ (î +0 (i+aW<--Ki+i) (i+3) (i-f4) f»-*-»
+ {i + 4) (» + 5) (i +6) 7««+t + etc., etc.
On pourra donc déterminer les différences successives de by^ par ces séries , qui seront très convergentes si et est une petite quantité , et dont le calcul sera facile à cause de la répétition des mêmes coefficiens m, n, p, etc.
2 1 • Dans les applications des formules précédentes à la théorie des perturbations planétaires on suppose ordinairement ^=: 7; nous allons rassembler^ pour la facilité des calculs numériques , les formules relatives à ce cas.
Les deux quantités bt^ , b^ étant connues, on aura b, , ô, , etc. , par la formule
î "" (»i-hi)«
applicable toutes les fois que a ne sera pas une très petite quantité; dans ce cas la série (m), en y faisant j = 7y donnera
,<«) i.3.5...ai— 1 / ,^i ai 4-1 . . . i 3 a£4-i «4-3 ... i 3.4.6. ..ai Va a*4-a ^a 4 ai-f-a ai-4-4
I 3 5 ai4-i -ai 4- 3 ai4-5 i^*..,^ "N a 4 6 ai4*a ai 4-4 «4-^ y
7« THÉORIE AHALTTTQCE
Connaissant 6 ^ , bj^ , b^ , etc., on déterminera bs , bs 9 63 , etc. , par la formule
ou bien par les deux formules sut vantes , plus eommodes pour les calculs numériques ,
Les diflFërences successives de A?\ i^, etc. ,;s'ol>tiendront parles formules (10) et ( 1 1), dès^qu^oa connaîtra les dîflfâpences successives de *f^ ô?\ et Ton aura celles-ci par les formules suivantes :
dbi «Ai —A,
a ft •
(o) «'t'.i aoi
, ^) ^'H d^/ dêV
(O) ^<*1 €/»iS.. d»&l
«te. ;
DU SYSTÈME DU MONDE. 7g
dbi dht
aro\
du d*b
1 f d*hi dbi I i -2! I S L- I
i* êL \ dm.^ dét J*
d^bi 1 d^bi ' d^èt \
d*4 ''i'V"3îï ^lûrj'
etc.
En diffërentiant les équations (17), on aura pour déterminer les différences successires de bl ^ ^^ , etc. ,
au moyen de celles de h, y h,^ , etc* , supposées con*nues, les formules suivantes :
dif dh dm dût
'.•? f . , ^ l db\ dbi I ^ -^.
»*3 d»fcs . . t d*bi d*bi I
dW* A»» (!—«)• V <i*» dit* J
«te.
if«
.' I db± dbi \ ..^ ^^ ^
ecc
On peut aussi calculer directement les différences successives de b^ y bs y etc. ^ au moyen des formu-
les (12), (i3)et(i4)^ dans lesquelles on fera ^s=s|.
Enfin, si l'on suppose ^ =; 7 dans les formules (5) et (6) , on aura
m (i-f-«')(3i-+-3)!»i — a*(ii— !)&<
ou bien
On déterminera au moyen de ces formules les quantités bf^ , b^ , etc. , loi^que les quantités bs /
DU SYSTÈME DU MONDE. 8i
bs 9 etc. y seront connues; et en différentiant ces
mêmes équations , on aura les différences successives des premières quantités en fonction des difierences correspondantes des secondes. On pourra aussi calculer ces différences au moyen des formules (ii), dans lesquelles on fera ^ = 4.
Ces formules sont celles dont l'emploi ma paru le plus simple dans les applications numériques; elles ramèneront , comme on voit , les déterminations des
quantités 6, 6^ , etc. 6^ , b;^ , 63 y etc., 0^,0^ ,
ft a T ï^ a a a
65 , etc. , et de leurs différences successives à celles
des quantités b^ et b^^ , il ne reste donc plus que
ces deux quantités à déterminer. Nous avons montré dans le n* 5o, livre II, comment on pouvait y parve- . nir par le moyen des séries ; ce moyen est celui qui se présente d'abord : cependant il est plus expéditif et plus commode, dans les applications, d'employer pour cet objet le calcul des fonctions elliptiques. Mais avant de montrer l'application qu'on en doit faire à la détermination des deux quantités dont il s'agit, nous donnerons ici quelques notions générales sur ce genre de fonctions , dont Tusage est devenu presque élémentaire par les rapides progrès qu'a faits dans ces derniers temps l'analyse dans cette branche du calcul intégral.
Di2. On appelle fonctions elliptiques toute espèce de fonctions différentielles dont les intégrales peuvent s'exprimer par des arcs d'ellipse ou d'hyperbole.
Ces transcendantes sont généralement comprises
