Tome III

rVdx dans la Formule / 77c , où P est une fonction rationnelle de a: , et R un polynôme en x du quatrième degré.

Toute fonction de cette espèce peut se ramener par des transformations très simples à la forme

•y===== , où Q est une fonction de degré psiv

de sin ^ , et c une quantité plus petite que Tunité. II suffira y pour cela, dans la plupart des cas, de faire

X = \/ r> . T^ ■"> ^ €* ^^ déterminer convenable-

V C -^ D sin*^

ment les coefficiens constans A , B , C et D.

Maintenant, quelque soit Q, pourvu que ce soit une fonction rationneUe de sin*^, on démontre fort ai-*

sèment que l'intégrale / w ^ , ==f^ peut se réduire

I*. à une partie algébrique, 3* à une suite de transcendantes comprises sous la forme générale ,

J cT^' sin' ^ • ^/7=^?s'b;^^'

où Â^ , B^ , C et D' sont des coefficiens constans, réels ou imaginaires (^).

Or, la formule précédente, comme il est aisé de s'en convaincre , peut s'écrire ainsi :

(*) Traité des Fonctions elliptiques, n» 8.

De là la division des fonctions elliptiques en trois espèce^; distinctes^ auxquelles on peut ramener toutes les autres transcendantes du même genre. Ces trois classes se jïomment fonctions elliptiques de première , seconde et troisième espèce , et Ton désigne d'ordi-r iiaire ces fonctions par les symboles respectifs F(c, (p) , E(c, ç) , n(c, a,(p), en faisant

F(c,(p)= f—^ÉL==,

F(c,(p) = fd^ V/i— c'sin-^ ,

J (l + a SI

ces intégrales étant supposées s'évanouir quand (p=Oy et leur éteiidue dépendant de la valeur qu^on assigne à cet angle.

La variable (p se nomme Yamplitude de la fonction, la constante c, toujours moindre que l'unité, sap* pelle le module ; enfin la constante a , qui n'entre que dans la fonction de troisième espèce, et qui peut être positive ou négative, réelle ou imaginaire, se nomme le paramètre.

La fonction de seconde espèce E(c,(p) représente , comme on sait, un arc d'ellipse, et l'on a donné généralement le nom de fonctions elliptiques aux

tra¥isoçnd;int es comprises dans la for mule I ^ ^ ^ . -;-,

parce que les ares d'ellipse s'y trouvent compris , bien que cette intégrale puisse représenter encore d'autres courbes^ et doive avoir une signification beaucoup plus étendue.

Lorsque ]es intégrales représentées par VÇc, p) ^ E(c,^) et n{c,a, ^), sont prises depuis <p = o jusqu'à ^:=z j^ , TT étant le rapport de la circonférence au diamètre , on dit que ces fonctions sont complètes, «t pour les distinguer on omet lamplitude (p dans leur notation , en sorte que , dans le cas des fonctions complètes , on a

E(c) =f^ d<p \\ — c^sin'tp,

\ 9^) J ^ (i + asia*ç>)V/i — c*sin-^'

Enfin y pour abréger, on fait souvent v/i — c^s=zb, ce qui donne ô* + c* = i , et i se nomme le comrplément du module c.

Cela posé , considérons d'abord la fonction ellîp*< tique de première espèce , qui est plus simple que les deux autres. La plus remarquable de ses propriétés, c'est qu'étant données deux fonctions de cette espèce qui ont même module, et qui ne diffèrent que par leurs amplitudes » on peut toujours trouver par des opérations purement algébriques une troisième fonction de même espèce qui soit égale à leur somme ou à leur différence. Il suit de là quW peut toujours déterminer algébriquement une fonction elliptique multiple ou sous-multiple d'une fonction donnée, et plus généralement encore une fonction qui soit à la première dans un rapport quelconque ;

propriété que les fonctions elliptiques de première espèce partagent avec les fonctions logarithmiques et circulaires.

Les fonctions elliptiques de seconde et de troisième espèce jouissent de propriétés analogues, mais moins simples. Ainsi on peut toujours déterminer algébriquement une fonction elliptique de seconde espèce qui soit égale à la somme ou à la différence de deux fonctions de même espèce , plus à une quantité algébrique, et enfin une fonction de troisième espèce égale à la somme ou à la différence de deux fonctions données de même espèce, plus à une quantité exprimée par arcs de cercle ou par logarithmes.

Comme la réunion des fonctions elliptiques de seconde et de troisième espèce comprend les arcs mesurés sur l'ellipse et l'hyperbole , on voit qu'il sera toujours possible de déterminer sur chacune de ces courbes, non pas comme dans le cercle , un arc égal à la somme ou à la différence de deux ai*cs donnés , mais égal à cette somme , plus ou moins une quantité algébrique. Cette propriété de ces deux courbes est d'autant plus remarquable qu'elle a été découverte par Fagnani y avant qu'on se fût encore occupé sérieusement de la théorie des fonctions elliptiquesj et qu'elle a pour ainsi dire ouvert aux géomètres cette carrière nouvelle.

Euler, qui généralisa ce résultat et en donna la démonstration analytique , fut conduit ainsi à com^parer entre eux non seulement des arcs mesurés sur 1 a même ellipse ou sur la même hyperbole, mais encore

toutes les transœndantes renferinées dans la formule

-y===~=^; mais dans ce rapprochement ^ il

supposa toujours que les fonctions d'une même espèce avaient le même module , et quelles ne différaient que par leur amplitude « ou , ce qui revient au même, que les arcs que ces fonctions représentent appartenaient à la même courbe. Aussi cette comparaison , qui lui fit découvrir sur la multiplication et la division de ces fonctions les beaux théorèmes que nous avons énoncés plus haut , ne lui apprit rien relati-* vement à leur intégration.

Lagrange eut l'heureuse idée de comparer entre elles sous un nouveau point de vue deux fonctions elliptiques de même espèce ^ il supposa que dans ces deux fonctions l'amplitude et le module varient à la fois y et il fut ainsi conduit à une méthode générale, pour trouver par des approximations successives les

intégrales de la forme j — =.

En effet , Lagrange remarqua d'abord que l'intégrale d'une fonction elliptique de première espèce

-— - - s'obtiendrait sans difficulté par les se-

ries , si c était supposé une quantité très petite ou une quantité à très peu près égale à l'unité. Ainsi donc , si Ton pouvait ramener la fonction F(c, ip) à une autre fonction F(c', ^'), dans laquelle le module c' serait moindre ou plus grand que c, «f déterminer algébriquement le rapport de ces deux fonctions, en

opérant de la même manière sur celle-ci , on obtien-* drait la valeur de la fonction donnée , exprimée par une suite de fonctioas de même espèce, dont la dernière serait intégrable d'elle-même , et Ton aurait ainsi un moyen très simple de trouver les intégrales approchées de toute espèce de fonctions elliptiques.

Soient donc F(c/ (fi) une fonction donnée, et ¥{(/, ^') une fonction de même espèce dont le module c' et l'amplitude (p' sont arbitraires ^ si l'on pose 1 equa^ tlon

F(c,<p) = ).tF(c',(p'), («), ou bien

il s'aura de déterminer algébriquement /jl^ c^ et tp' en fonction du module c et de l'amplitude Ç), de manière à satisfaire à l'équation précédente. Or^ si l'on suppose

ou , ce qui revient au même ,

^în(2(p' — (p) = csin^ , c' = y^ (>)^

d'où l'on tire cos(2^' — (p) = \/i — c*sin*^. Il est facile de s'assurer que ces valeurs substituées dans l'équation (jS) donneront

C) Voir les notes à la fin du volume.

équation qui^ comparée à l'équation (a), donne a = = —;=-. Il suit de là crue les deux

fonctions F(c,(p) et F(c',(p'j sontentre elles dans un rapport constant, quelles que soient les amplitudes ^ et (p', pourvu que ces angles, ainsi que les constantes c et c\ soient liés par les équations (y) ou par les équations suivantes qui en dérivent :

tang(^-(p')=6'tang<p', *'= f^ (A

en supposant, comme nous Tavons dit, i= V/i — c*.

Les premières formules serviront à déterminer (p'

et c' en fonction de ^ et c; les secondes peuvent

servir réciproquement à déterminer c et ip en fonction

de c' et ç' supposés connus.