CHAPITRE X
Masses et élérfiens des orbites des planètes.
I^OustalloQS réunir dans ce chapitce les valeurs. des difTérjentes quaatitëa qui entc^nt dans les formules prëcëdeotes > et qui se rapportent respectivement à chacune des sept planètes principales , Mercure^ Vénus, la Terre, Mars, Jupiter, Saturne et Uranus. Ces valeurs résultent de la comparaison des formules de la théorie aux résultats de l'observation , ce sont les seules données que la Mécanique céleste emprunte à l'observation.
Masses des planètes, celle du Soleil étant prise pour
unité.
87. Nous avons deux moyens de déterminer les masses des planètes, soit par l'observation des élongations de leurs satellites pour celles qui sont accompagnées de satellites , comme on Ta vu n*^ 28, livre II, soit en comparant les inégalités qu'elles produisent dans leurs mouvemens réciproques en vertu de leur^action mutuelle , déduites de Tobservation^ à ces mêmes inégalités calculées par les for-
DfU SYSTÈME DU MONDE. 84î
mules de la tHéorie4:Les inégalités séailair^ seraient celles qui présenteiraieQt pour cet objet les données les plus exactes , mais elles oe sont p^s encore assez bien connues en ce moment ^ pour qu'on puisse les employer à cet usage ; on y supplée en recourant aux inégalités périodiques et en &istant concourir k leur détermioation un grand nombre d'observatio&s que Ton combine entre elles de manière à en tirer les résultats les plus probables. C'est par la réunion de ce8i moyens qu'on a déterminé les valeurs suivantes , qui nous .semUent les plus exactes qu'on ait obtenues jusqu'ici des masses planétaires.
Mercure m = «,
La Terre.... m'' = ^5^,
Jupiter m
Saturne m^ s=s i^^- ,
35 la
Uranus 91'* ;= ■ q-
' La plus importante de ces masses par sa grandeur, et par conséquent par son influeùce sur les perturbations des planètes et des comètes, est celle de Jupiter. La valeur .précédente diffère de celle que nous avons trouvée dans le n* 28, et que Ton a déterminée au moyen des élongations du quatrième satellite de
34^ THÉORIE AWALTTIQUB
cëtfé {)tan(ète. Depâis ^fil^lqtied années , le calcul de^ pértÉftbatidnâ 4^^ planètes secondaires Pallas, Junon, Yesikh et Cérèi;> semblaient indiquer que cette mâSse avait besoin dp ooi^rectiDii'y et faisaient désirer de nouvelles db^ervatiotis des ëlongations des satelHtes de Jupiter, d'où dë^nd ta ^termiijation exacte de leur dislance moyenne au centime dé la planète. En eflet , celles dotit àti avait feit usage jusqu'ici sont dueë'li Pôtlnd/ à^rbnorne contemporain de Nevrton, et eiicére ne' les connàtt-^ti que par leurd résultats rapportés dans la troisièfne partie dû livre des Prin»cipes. Aujourd'hui que nous possédons des instrii-r mens plus exacts et des méthodes plus correctes, il devenait nécessaire de reprendre ce travail. M. Airy,^ dont nous avons déjà eu l'occasion de parler^ V^ entrepris ; îl a fait à l'Observatoire de Cambridge une nouvelle série d'ob^rvations , et par leuT comparaison aux tables des satellites déduites de la théorie de Laplaçç, i] a déterminé la distance moyenne du quatrième satellite au centre de Jupiter,, qu'il a trouvée égale à> 0.01257977. Ou aura donc en prenant pour unité la^dÎBtance qsoyenne de la Terre au Soleil , et conservant les notations du n* ^5 du second livre :
log a' = 8.0996728,
log T :;= 2.56a5977,
Ces valeurs substituées dans l'équation (m) du même numéro donnent "jg-oL pour la masse de
Jiipitehy ou plus exactement pour la somme des masses de la planète et de is6n quatrième satellite , la masse du Soleil étant prise pour unité. Cette ya^ leur s'accorde d'ilne manière Sîitisfaisànte avec celle qui résulte des perturbations des petites planètes. £n effet y Nicolaly par le calcul des inégalités produites par Taction de Jupiter sur Junoh pendant un temps donnée a copclu que la masse de Jupiter était
de — =^ 7. Enclte a déduit des perturbations de
Vesta la valeur — ^ pour cette même quan-
titéy et Gauss a trouvé la même valeur , ou une valeur à très peu prçs la mémç ps^r le calcul des perturbations de Pallas. Enfin, comme pu la vu n*" 75 1 Encke a déduit des équations de condition qui lui ont sçrvi à déterpiinev le coefficient constant qui exprime la résistance de lether à Tunité de distaucei sur la compte périodique de 18 19^ une masse
exprimée par la fraction — ft— j- Tout concourt donc
à démontrer que la masse conclue des observations de Pound , et qui a été adoptée par les géomètres depuis Nev^ton , a besoin de corrections , et il ne s'agit plus que de choisir entre les valeurs précéden*- . te^. Quoique la méthode fondée sur l'observation des élongations des satellites soit la plus directe et selon nous la plus exacte que Ton puisse employer pour déterminer la masse de Jupiter , cependant comme les observations de M. Airj peuvent netre point exemptes de quelques légères erreurs j^ et qu'il
annonce l'intention de les renouveler dans des circonstances plus favorables à ce genre de recherches ^ dans les années i834^ i835 et i836, nous avons cru devoir y en attendant,, admettre la masse déduite des perturbations de Junon, parce que c'est celle que les astronomes étrangers ont généralement adoptée, et que, d'ailleurs, le peu de différence qui existe entre elle et les autres valeurs que nous avons rapportées , fait que si elle avait besoin de corrections les résultats suivans n'en seraient que faiblement affectés.
Les niasses de Saturne et d'Uranus sont celles qui résultent des équations de condition qui ont servi à la construction des tables de Bouvard. Cette manière de les déterminer doit être préférée ici à celle qui serait fondée sur les élongations observées des satellites de ces deux planètes^ parce que, vu leur extrême difficulté , les observations de ces élongations sont encore beaucoup moins certaines que celles des satellites de Jupiter. Il ne faut pas se dissimuler cependant que selon M. Bouvard la masse de Jupiter^
déterminée de la même manière , serait de =,
valeur qui diffère peu de celle que l'on déduit des observations de Pound y n^ 28 > livre II , mais qui ne peuvent nullement concorder avec les résultats des perturbations des petites planètes, ou avec la valeur qui insulte des nouvelles observations de M. Airj. Il est donc très probable que les masses de Saturne et d'Uranus , données par M. Bouvard, ont également besoin de corrections, et nous savons que
cet astroDome s'occupe en ce moment pour cet objet d'une nouvelle révision des équations fondamentales de ses tables.
La masse de la Terre a été déterminée par la formule (h) du n^ 28, livre II, dans laquelle on a supposé
l = 6564551", g = 9^,8 1645, log sîn P = log sin 8",6o = 5,5 1 95564-
Ces valeurs , qui paraissent plus exactes que celles
qui sont rapportées dans le numéro cité , ont
donné :
Quant aux masses de Mercure et de Mars , lorsque leur action sur les autres planètes n'était pas encore suflSsamment connue, on les avait déduites d'une hypothèse empirique sur la loi de leur densité. On avait observé, en comparant les masses de la Terre*, Jupiter et Saturne à leur volume , que les «densités de ces trois planètes sont à très peu près en raison inverse de leui^ moyennes distances au Soleil ; et , en étendant par hypothèse cette loi aux trois plapètes Mercure, Mars et Jupiter, il avait été facile d'en conclure leurs masses en supposant connus leurs diamètres, qui sont donnés en effet par l'observation. Mais l'arbitraire de celte hypothèse, qui s'écarte beaucoup, comme on sait , de l'exactitude relativement à Vénus et à Uraniis, joint à la difficulté que présente l'observation des diamètres planétaires, laissait beau-
i^ THÉORIE ANALYTIQUE
ooop d'inoeTtitnde dans cette déterminatioii ^ et il était à désirer qu'on fixât lès niasses de ces deux pla* nètes par des moyens plus directs. C'est ce qu a fait Delanabre relativement à Mars , ilont il a déterminé la masse p^r les effets qu'elle produit dans le mouvement de la Terre. La comparaison d'un très grand nombre d'observations du Soleil , faites par Bradley et Maskeline , aux formules des perturbations fournies par la théorie , lui a donné -^Tgô — pour la valeur de cette masse. Mais Bessel, après avoir discuté de nouveau les observations employées par Delàmbre>
a jugé que cette quantité devait être réduite à ^ ~ ,
et c'est la valeur que nous avons adoptée. Quant à la m^sse de Mercure , on a conservé cel}e qui résiste de l'hypothèse précédente sur la loi de densité des planètes^ tout en réconnaissant son incertitude; mais on doit observer que la petitesse de cette masse fait que son incorrection ne peut avoir aucune iiifluence sensible'sur la détermination des inégalités planétaires. En nommante et a' les distances moyennes respectives de Mérctire et Jupiter au Soleil ^ D et D' leurs diamètres fin et m/ leurs masses , oh aura , selon l'hypothèse
précédente, pour la masse de Mercure m = -jy^ m'.
En supposant, d'après les observations, les diamètres moyens d^ Mercure et Jupiter vus à la moyenne distlKnce de la Terre au Soleil respectivement de ai",6o et 62G,''o4^ en substituant ensuite à la place de a et a les valeurs que nous donnerons plus bas, on trouve.
d'après la ruasse adopté? pr^Qdenitn^nt pour /upi-^ t«ri 4« vole^ de m q-w nous 4vons rapport^?.
Aixm donc les y^leur^ des masses planétaireç que nous aVohs adoptées > telles dç la T^rre et Mercure exceptées f résultent dç H cppiparaison des observatîonsfaux forniiUes analytiques des perturbations ^ qt ell^fl ^nt toutes déterâiinées par conséquent dVnç niauîère uniforme çt sya^étrique. Les inasses de Jut piter ^t dé SâtOmi^ , dout, l'effet çst si cqusidérable sur 1^ inégalités de$. pUnètes , laissent encpre quql*' (|ue wcéirtitud^ ; de, nouvelles observations dçs é|oa* gâtions de leurs sat^Uite^ permettront bientôf , sans dcmte f. de déterminer ciçs iuas$e$ avec plus 4'?xactiludp' qu'on qe Ta fait jusq^i'ici , et l'accord des va- Ifiufs donnera pat deis métbodi^s si différentes eu ^era la plus ^ûre vérific^tioii.
88. Nous avons douué danp le chapitre Y du Uv^e ^l les formules qui servent à déduire des observatian^ les élémeus des orbite» plauétairesv Ou pewt en .général regarder les éléo^em ainsi obtenus» comine une approximation qu'on rendra de plus en ^us exacte à mesure que le temps fournira un plus grand nombre d'ol^ervations ; et développera les diverses inégalités dont les mouvemens planétaires sont affectés. lÀ meilleur moyen d'y parvenir est de com^arer^, ainsi que nous l'avons dit pour la correctidû des. raass^sr , tin très grand nombre d'observations choisies à C6^t effet faux 'longitudes et aux latitudes déduites des tables plahétaires calculées avec lés élémens de l'orbite relatifs à la première approximation. En donnant ensuite à ces élémens une correc-^
tion indëteraiinëe, qu'on supposera assez» petite pour qu'on puisse négliger les puissances supérieures à la première y on égalera les variations qui en résulteront dans l'expression de la longitude et de la lati tude aux différences que l'on a trouvées entre les lieux observés et les lieux donnés par le calcul. On formera ainsi autant d'équations qu'il y a d'observations employées ; en les combinant ensuite par la méthode des moindres carrés , on obtiendra les va«* leurs des indéterminées qu'elles renferment , qui satisfont le mieux à l'ensemble des observations. A l'aide de ces données , ou corrigera les premiers élé- * mens des orbites ^ et l'on parviendra ainsi aux résultats les plus exacts que puisse fournir sur cet objet , dansPétat actuel de l'Astronomie ^ le concours de la théorie et de l'observation. C'est de cette manière qu'on a trouvé les valeurs suivantes :
Moyens mous^emens sidéraux des planètes pour Mme armée julienne de 365 jours ^j ou valeurs dexïf n% etc.
Mercure n = 55a54i6",79
Vénus n' s=s 2106641 , 5^
La Terre n" =s 1295977 , 55
Mars nf" = 689051 , 12
Jupiter 71'^:= 109256, 29
Saturne ri" = 4^996, 72
Uranus 71"=^ 15424 f 54
Lorsqu'on emploiera les valeurs précédentes poui:
n^ n\ etc., le temps / désignera Imteryalle écoulé depuis rinètant que Ton a cboîsi pour époque exprimée en aïinées juliennes et en parties de cette année. De là y en preqant la distance moyenne de la Terre au Soleil pour unité , et en observant que les temps des révolutions des planètes sont en raison inverse de leurs moyens mouvemens , dans le même espace de temps , on a conclu par la troisième loi de Kepler y n® . 2 > livre. II , les distances moyennes suivantes des planètes, au Soleil.
Distancii^ nioyermes des planâtes au Sùleil , ou demi-^
grands axes de leurs orbites.
Mercure a = 0^3879981:2
Vénus a' = o^yaSSSaSo
La Terre . . aH' = i^oooooooo
Mars. a'" = i^SaSôgSSa
Jupiter .' a'^ = 5,aoi i6636
Saturne ••.•:.• c. . . à' = QySSySyogo
Uranus 'a^' = 19, i853fo5oo
Longitude des époques en 1800 ,- ou valeurs de ,
Mercure • < es 1 10" i5' 17*^9
Vénus •. . • é! c= i43«â6.52 , i
La Terre % i" -== 100. a5. 3:2 ,6
Marst. . . .'. . . . . e"^ = 33!i.49-5o> 5
Jupiter .. . .'. . . fi^^'css 81 .5a. tiO y 3
Saturne ;.....«• c^c>r= i25^oS « agi , 4
Uranus •. .« 6^'^= i ^5 r 5oj «6-, 6
3$« THÉORIE ÂNALrFIQUB
Rapports des excentricités aux inojennes distances , ou valeurs de e , e', etc.^ pour i8op.
Mercure e =s o,2o55 149
Vénus é =ïi o,oô6855i
La Terre .... e" = o,oi685559
Mars e'^ £= 0,0955061
Jupiter ..... e'* = 0,0481621 ♦ Satui^ne ..... é* = o,o56i5o5 Uranus. . ... é^* = 0,0466108
Longitudes des périhélies eh 1 8ôo , ou t)aieurs de
(d\ ùû'y etc.
Mercure .... A) = 74** 3n' 4t" '
Vehûô; û)' = 128.45. 6
Là Tet*re V = 99.29.55
Mar&«..... . »)"' = 552.25.40
Jiifïîtei». ....&''« II. 7.56^ > ^
Sàttirde id^ = 89. 8.di>'
tJranUs . . . . . V' =5 167.50.l24
IliiclîhdiSùm tks ôt^bites À Péû^yif^«é en^idi^j ou
valeurs de py ^'^ etc.
Mferouift ...... .-xp ♦=?: 7^00^,9'/ .!/
Vénus l'k .. . 4 .' .
La Tejf^e. * * . .
Jupiter x*. .i « . .
ip' =5.25.29,
jp"* = i.5o. 6, Uranue» . ; . . . j ip»» = 4jS. a^.i: 1
mi STSTÈMË DU MO»DË. 36i
Longitudes des nœuds ascendans sur VécUptique de
idoo^ ou valeurs de (ty<K\ eic.
Mercure..... a = 45*^57' Sg"
Vénus... -.. «' =t= 74'52.39
La Terre.... a" î= o.oo.ctQ
Mars «'''=: 4^*^^*^
Jupiter a'^ = g8.25.4S
Saturne a^ = 1 1 1 . 56 . 7
liranus â(^' = 72.59.31
Toutes les longitudes qui précèdent sont comptées à partir de l'équinoxe moyen du printemps de 1800^ en prenant pour époque le. minuit qui sépare le 5i décembre 1799 du i*"" janvier 1800. On doit se pap»peler encore que conformément à ce qui a été dit n'' a,4>^î^^^ ''^^ '^ longitude du périhélie est égale à la distance du périhélie au nœud, augmentée de la Ipngitude du nœud à Finstant que l'on a choisi pom* époque.
L'action mutuelle des planètes fait varier ifaseasi^ bl^m^nt les. élémeus de leurs orbites et altère à la longue f par conséquent , les valeurs précédentes ; nous déterminerons plus loin ces altérations.
D après la théorie des variations séculaires^ l^i moyens mouvemens n^ n\ etc., ainsi que les derni-^ gr&inds axes a y a! y etc., qui s'en déduisent, devraient être invariables^ et l'on devrait, par conséquent, retrouver dans tous les siècles les mêmes valeurs pour c^ quantités. Mais tious remarqoerom que Idi^u'ob
déduit des observations ]es longitudes moyennes «^ -4- €, »'^ + e', etc., les termes nt , n'ty etc. , qui croissent avec le temps, contiennent, outre la partie qui dépend du mouvement moyen , une autre partie dépendante du terme proportionnel au temps que renferme l'expression de la longitude des époques €fif etc. Or, cette dernière partie est nécessairement variable, et nous en donnerons plus loin l'expression. Il résulte delà que les valeurs de n, n'y etc., qui précèdent, ainsi que celles de a, a' , etc., données directement par les observations , et sans qu'on en ait déduit les parties dépendantes de la variation des époques, ne sont pas rigoureusement constantes, et sont sujettes à quelques légères variations dépendantes de l'action mutuelle des planètes. Au reste, les valeurs que« nous avons rapportées sont celles que Laplace avait adoptées, et nous les avons conservées à cause des nombreuses quantités déjà déterminées par M. Bouvard , auxquelles elles servent de base dans la théorie des perturbations planétaires , et dont il eût fallu sans cela reprendre en entier le calcul. Ces valeurs ont subi depuis quelques altérations , tant par les raisons que nous venons d'exposer, que parce que les nonveUes tables astronomiques ont permis de les déterminer avec plus de précision. On trouvera à la fio de ce volume ces nouvelles valeurs ; les dijQTérences qu'elles offrent avec celles qui précèdent ne sont p«s de nature à altérer d'une manière sensible . les résultais qui en sont dédikils.
A l'aide des valeurs {Nréoédeoles àeUf a', etc. , et dasL , foi:mulef données t dans le ndbapitre II y on f cal-
356 THÉORIE ANÀLTTIQtJE
4bT ai,f ai,?
Iog« ^=9.0885469, log«-5i-=8.7394738, log«-^=8.376aa3»,
4(-^=8.oo4g6iS, • -^-c=7.636ai38 ;
rf.if «/**f d'hf
log «•-3^ =9- SgBgSai , log««-2^=9.a63a798, log«»-^ =9. 5a5io35,
a.*f *if **f
é^iV «"'f «»<
log ««-j—sso. 4910738, log«»-2~-=9.5o3aa2a, log«»-2jj-=9.5oo39o8,
l0g&3 =0.4581591, l0g&3 =0.1975730, logéj ==9,8736804^
» st ft
fs) (0 CO
aV =9.5a4oaao, ft^ =9.1868688, bV =8.78787125
log A * =0 . 3935042 , log A * = 0 . 0738837 .
Mercure et Mars.
A =;-» = o.354o53i3, log « = 9*40493470 }
on a conclu de là
log ^^ i. = o.3o8oiooa,
(0 iogi^ i = 9«4oï3775o — ,
et ensuite
log *i = o.3o8a44a, log*^ = 9*4i^744^' »og ^l = 8.6969375, ? A i
&, =8.0330878, &J. =7.3675433, fti â=6.68xa4i3^
358 THÉORIE ANÂLTTIQTIE
dbi dbj^ dhi^
log«-^~-eD7.746i5io, log4 -^=8.8744317» log«-^s= 7.9911178»
ét-^=a6.88892îi4i
d^hf d^h'^ rf.4'>
^^«•*-dïr==7-75i564oJogi^-^==6.9784iaa,lo^^
log hT = o.3o64558, log 4'^ = 9.3533647, log^J*^ = 8.3ai8883. » » »
Mercure et Saturne^
« s* ~ s= o*o4o58547> Jog« == 8.608370675
d'où Ton a conclu
log 5 I ï=: 0.3oi2o88ty
log h^ 1 zst 8.6082811 —,
ensuite
log &i = o.3oiao87, log &i = 8.6o8633o, log 5i = 7.0930887,
0) 61 = 5.63oa4<Ȕ
€?&i^ dh\ db\
log »'**^--as7. 3175594» logA— ^-==8.6091695, log«i*-^s=7.393i335,>
d<^ rf-^f d^bf
^***""A^-^'7-^"^4^^' *®8*'-3?-=^- Ï797734, log*«-^=7.38a8i94f
logijt ssE o.3oa64o6, logé^ =9.0868340, log ^3 =7.7939517-
log &I =; 8.4593473, logfti =8.3o34i;»i, log&, » 8.i54G6i4, î ï î
db)
dbV
log* "2^ ==0.0751629, log«-2^ =o.ai58a53, log« -^-^-ïso. 175^600^
db\ * -^=9.7974307,
ci^î^>
db]
^=9.44699»8, «-2^Œ9.3ai496a, * -^ =9- 189«>95,
d^hv
log «•-j^=o.6o&i888, log«t' . * =0.5955340, log *'—^ =0.651078»,
»*-— =o.&j93i$i, «»-j^ =0.678070», ••-JT" =0.6548893,
■j^ =o56io666, •'-j^ =0.4991904,
«•-^rjf-=o43iii84, «•-^^-=0.3586043, «' * .■=o.a8Sio98,
J'iV*
wr^
«• * ■.=o.ai54436, a». * =0.1563565 ;
d^bV
d'bV
d'tï>
log»'-^-^ =i.33o47ao, log»»-^;^ =i.3366oi7, log«>-2;j-=i.349gog3.
da* d'b?
d'où l'on a conclu
(I) ïog i^ 1^ = g.i43i836— ,
ensuite
log&/ = o.3o3i48i, log iV^ = 9.1464133, log *?^ = 8a65o365,
dbV dbV db}^
log «-2^=8.3960146, log*-^ =9-1537757, log «-^ = 8.4696673,
**r rf**r^ rf.^?^
*''^*'"S^=®-^'*^^^' '""^"'"a^ =7-7995i87. log*«^= 8.483807a,
logea =0.3300913, lo^b^ =9.6363687, iog&3 = 8.8753738, » ft ft
Vénus et Saturne.
log «= 8.87988655
d'où l'on a conclu
log &__! = 0.3016543,
log * 1 = 8.8795737 — ,
a.^r d^V dnf
logAi — î-=8.oi98i63, log*»-2^=8.3io3335, log«» -2^=8. 0036373; logè^ =r 0.3377508, logW = 9- 79' 7348» 'og*a = 9-ï7o84»4,
ft^*^ = 8.5110675.
La Terre et Saturne.
« = —-=: o.io4845aoy log A = 9.0305486 ;
d'où Ton a conclu
log 5^ 2. =^ 0.3033348,
et par suite
loc6?^ = o.3o333o3, log&i =9.0333583, logij^ =7.9181510, fc^*^ = 6.85^ia6, h^^ = 5.8301358;
dfcj dbi dbx^
log rt--^ =8.0474891, log*-g^ =9.0359593, \o%A~^ =8.3311887,
« -g^ =7-39674aa;;
log«.-g-5-=8.o57îi4a9, log««-jj^7 -4333738, log*»-^ =7. 11347379 î logiî^ = o.3ir8336, ^^%H =95066998, log&s = 8.6a3oii4.
La Terre et Uranus.
a = — = 0.05313866, log « =: 8.7170766 j
rf-fcf d'bf d^bf
Jog «*-2jï-=9-o6oa959, log««-^-j- =8.8337i85, log **-^ = g.aoSvgai,
I ««-jj-i- =9.0335699, ...jji- =8.7i8ao97 ;
I rf<> d'if d'bf'
log «'-j^ =8.8007300, log«»-2jj|- =8.97756a3,log.««-^-= 8.8t)43845,
logoi = o.388a367, logis =0.0171193, lojii^ =9.5759876,
