COS
les angles ç et ç' seront également constans. Ainsi donc , dans ce cas , l'inclinaison de l'équateur et de l'écliptique sur le plan fixe et leur inclinaison mutuelle seront constantes, et ces trois plans auront toujours une intersection commune. Cette intersection ne sera pas fixe , mais dans son mouvement elle ne quittera pas le plan maximum des aires et ce mouvement sera uniforme. Il est facile de se représenter le mouvement d'un pareil système en imaginant que les pôles de l'équateur et de l'écliptique tournent autour du pôle du plan principal de projection, de manière à ce que la ligne des équinoxes demeure toujours sur ce plan ; cependant le plan de l'écliptique restera toujours très peu incliné au plan fixe , et par conséquent à ti es peu près parallèle à lui-même. En effet , en négligeant
le carré de e, et en observant qu'on a \/az=za*n^ n étant le moyen mouvement de la Terre dans son orbite, l'équation (2) donne
ma^n sin a^ =z Cm sin ^^
Eu nommant D le rayon de l'équateur, on a G =1 mD*, et par le n® 86 ^ livre YI , on a
iD^
tt
En supposant donc ^'=23** 27' 5o^, on trouve que l'angle f est moindre que o'',o209 ; oh peut donc supposer que le plan de Tecliptique se confond avec le plan principal de projection , et comme l'inclinaison mutuelle de ces deux plans est constante , leur identité' se maintiendra toujours.
Main tenant y si l'on considère le cas géne'ral, l'équation (2), en la di£ferentiant , donnera à très peu près
ma^n ^/ 1^— e" ^ =r €m cos ^*i^'.
En substituant pour G sa valeur, et en supposant, comme précédemment , 9' = 23° 27' So", cette équation donne
i'^ = O,O0OOOO2329^(^^
Il s'en faut donc beaucoup que , comme l'assure M. Poinsot, les variations du plan invariable soient alors du même ordre que les variations de l'équateur. Nous avons trouvé , n<* 98, 16' 16'' pour la variation de l'obliquité de l'écliptique depuis le temps dllipparque jusqu'au commencement de ce siècle; en supposant donc f'^'=: 976", on aura
Ainsi en 1928 ans , l'inclinaison de l'écliptique sur le plan fixe n'aurait pas varié de 2 dix* millièmes de seconde; on peut donc la regarder comme insensible , et considérer, dans ce cas , le plan de l'écliptique comme invariable, conformément à la théorie de Laplace.
DU SYSTÈME DU MONDE. SSg
Quant aux observations de M. Poinsot relativement au. mouvement des nœuds , comme on a, d'après les équa* lions (i), â= fi', il est clair que le nœud de l'ecliptique aura sur le plan fixe le même mouvement que Te'quateur, en sorte que leur intersection commune demeurera toujours sur ce plan ; mais cela n'implique pas contradiction , puisqu'une variation très légère dans l'inclinaison mutuelle de deux plans , supposée très petite, peut en produire de considérables dans la position de leur commune intersection.
Le second exemple choisi par M. Poinsot pour mettre en défaut la théorie de Laplace , consiste à supposer que le système est formé du Soleil, de la Terre et de la Lune, considérés comme des points massifs. Dans ce cas, le plan invariable, selon les idées de ce grand géomètre , est celui que décrit le centre commun de gravité de la Terre et de la Lune , ce qui diffère peu du plan de l'écliptique. Montrons qu'en effet ce plan coïncide toujours, à très peu près, avec le plan maximum des aires décrites par les centres de gravité de la Terre et de la Lune. Il est clair que ce système revient à celui de deux planètes m et m' réagissant l'une sur Tautre , que nous avons considéré n^ 55, livre II, et le plan invariable sera déterminé par les équations (i) ,dans lesquelles il suflSira de changer G^v en
m' \/ a\i — c^*) , m' étant la masse de la Lune , a' et e' le demigrand axe et l'excentricité dç son orbite autour de la Terre. Si l'on nomme donc ^ et ç' les inclinaisons respectives de l'écliptique et de l'orbite lunaire sur le plan maximum, des aires, on aura
m v/a(i— e') sin (p = m' \/ d (i — e'^) sin ç\ (3) Or on a , à très peu près ,
En négligeant donc les carrés des excentricités c et e% et en
56o THÉORIE ANALYTIQUE
supposant ^' = 5*>8'38*, qui est rinclinaison de l'orbite lunaire à Técliptique , on trourera que Vangle q> ne s'élève pas à 12". En différentiant l'équation (3), on aura, à très peu près ,
mya d'où Ton conclut , d'après les valeurs précédentes ,
/Ip = 0,00066446^^;
et comme l'inclinaison moyenne de l'orbe lunaire sur l'écliptique vraie est constante , malgré le mouvement séculaire de Fécliptique, si l'on suppose <hp' = 976", valeur supérieure à celle qu'on peut supposer à la variation de l'orbe lunaire sur un plan fixe, depuis le temps d'Hipparque jusqu'à nos jours, on trouve i^ = o",64 pour la variation de l'orbe terrestre en 1928 ans : ce plan peut donc être considéré comme îm^ariable dans le système que nous considérons.
Quant aux nœuds de l'écliptique sur le plan maximum des aires, onaô = ô', et d'après les équations (i), le nœud ascendant de l'orbe lunaire coïncide avec le nœud descendant de l'écliptique, et réciproquement; par conséquent, comme le mouvement du nœud de l'orbe lunaire sur l'écliptique fixe est d'environ 19*» par an , il est clair que l'intersection des plans des orbites de la Terre et de la Lune aura sur le plan mao:^ mum des aires un mouvement très rapide, ce qui n'empêchera pas le plan de l'écliptique de rester toujours à très peu près parallèle à lui-même, et de remplir, par conséquent , la seule condition qui caractérise le plan invariable (*).
(*) On ne doit pas oublier qn'il ne s'agit ici que d'un cas particulier qui est sans application dans le système du monde. Laplace'en calculant, n* ag, livre VII, les inégalités Innaires dues à la non-sphéricilé de la Terre, trouve que 60(1 influence sur les déplaremens de Torbite de la Lune serait d'augmenter d<e o,oooooo!26384'^i£ lo mouvement rétrograde des nœuds , nt ctam le moyen
DU SYSTÈME DU MONDE. 56i
On conçoit, en effet, que dans les deux systèmes que nous venons de considérer, comme on a y z=:f -|- ^\ et par suite ^ = ^(^ -f- i'qf^ si i"^ est une assez petite quantité pour qu'on pu'tsse la négliger par rapport -à ^q>\ on aura simplement ^ = ^^, c'est-à-dire que les variations de Téquateur dans le premier cas, et celle de Torbe lunaire dans le second, par rapport au plan invariable tel qu'il résulte de la théorie de Laplace, seront les mêmes que celles de ces deux plans pas rapport à un troisième plan qui serait rigoureusement fixe ; les différences seront absolument insensibles. Or, ce grand géo-* mètre n'a jamais prétendu autre chose ; l'invariabilité du plan insfariabh tel qu'il le définit n^ 62 du livre II de la Mé^ canique céleste, comme les inégalités de tous les mouveniens planétaires, n'est qu'approchée et exacte qu'autant qu'on néglige dans le mouvement de translation les perturbations réi sultantes de la forme et des dimensions des corps célestes. Dans le n^ 21 du livre I", Laplace a donné la théorie gêné-, raie du plan invariable pour un système de corps quelconques réagissant les uns sur les autres ; il en a fait l'application au système du monde dans le livre II , en profitant de tous les< avantages qu'offrait sa constitution pour faciliter le calcul des mouvemens planétaires , question assez difficile pour qu'on n& cherche pas sans nécessité à la compliquer.
Les équations (i) nous montrent encore que quand bien même les ^conds termes des premiers membres seraient corn-* parables et mêmes supérieurs aux premiers, ce qui aurait lieu, par exemple, si les aires que ces termes représentent prove*^. naient de la rotation du Soleil, on pourrait encore prendre, l'écliptique pour le plan invariable du système, bien que par sa position il difieràt sensiblement , dans ce cas , du planmaximum des aires.
moBTement de la Lune daoi son orbite. Cette quantiti^ est absolwneiit ipsensible , et à plus forte raisoa par conséquent la non sphéricité de la Terre ne pent avoir sur la position du plan invariable aucune af^tion ap. préciaUe. Le même résultat a lieu par rapport h Pellipticitc du Soleil , comme nous Pavons vu n« ^^çTi livre, VI.
