X» Y^ XY XY

Lés deux dernières agissent en sens contraire et se détruisent ; les deux premières agissant dans le même sens, s'ajoutent, et leur somme forme la résultante R. On aura donc

d'où Ton peut conclure que la résultante des deux forces X et Y est représentée en grandeur par la diagonale du rectangle construit sur les droites qui représentent ces forces.

Déterminons maintenant la forme de (fX. Pour cela considérons une nouvelle force Z agissant sur le point matériel M, et dont la direction soit perpendiculaire au plan des forces X et Y. Pour avoir la résultante des

trois forces X, Y, Z, on composera d'abord en une seule deux quelconques d'entre elles; on composera ensuite leur résultante avec la troisième, et il est évident que Ja force qui en résultera sera la même dans quelque ordre que cette composition se soit opérée. Soient donc, comme précédemment, R la résultante des forces X et Y, X Tangle que forme cette force avec la direction de X. Soient S la résultante des forces R et Z, et^ Tangle que forme sa direction avec la force R ; on aura

X = Rx9:r, R = Sxy7.

Mais si, après avoir composé en une seule les forces Y et Z, on regarde S comme provenant de la composition de leur résultante et de la force X, et qu'on désigne par z Tangle que forment entre elles les forces X et S, on aura

X = Sx(pz.

Cette équation, comparée à celles qui précèdent, donne

• (fz = (fxy< (fjr. {a)

Pour déduire de cette équation la valeur de (px, je remarque que les angles a: et jr devant être absolument indépendants l'un de l'autre, on peut faife varier des deux angles séparément; si Fou différentie donc par rapport à x l'équation précédente, qu'on la difiFérentie ensuite par rapport' à j^, et qu'on divise les deux résultats l'un par l'autre; en faisant, pour abréger.

on aura

équation de laquelle la fonction inconnue f z a déjà disparu.

Considérons maintenant le triangle sphérique rectangle intercepté entre les directions des trois force» X, R, S; on aura entre les trois côtés x, y^ % de ce triangle, la relation

cos z = coso: cosj^ j

d'où, en différentiant, on tire

dz sinxcos/ dt cosxsin/

dx sinz dy sia2

En substituant pour 3" ^^ — leurs valeurs dans Té-^ quation (6), on en déduit

cos J?. y' 4? cosy.ff'jr

ûax , <fx sin^- . <ff

Puisque les deux angles x et ^ sont indépendants Tun de Tautre, il est clair que Tun quelconque des deux membres de cette équation peut demeurer constant, quelque valeur que Ton donne à la variable contenue dans l'autre membre j on aura donc généra-' lement

cosa;.o';i;

A8TI*OWOA'i J i A« . SOCIETY OFÏHâè^ACJrlC

c étant une constante indépendante de Tangle x. Cette équation, après y avoir substitué pour 9' a: sa valeur

*? ^ donne, en l'intégrant,

ffXzizCcOS^X^

C étant une constante arbitraire. Cette valeur, substi* tuée dans l'équation

donne

X = RC cos-^ jsr.

11 ne s^agit plus que de déterminer les deux constantes C et c. Or, si l'on suppose Y nul, on a évidemment R=X et x = o; donc cosar= i et C=: i. Si l'on suppose Y = X, on a R = VX^ -i- Y^ = X. v/â et Jî=45*^; on aura donc X = X . \/â . cos"^ 45®; mais C0S4Ô® = -7=9 donc c = — i , et, par conséquent,

X = Rcosa'.

Cette équation détermine l'angle a:; elle fait voir que la résultante des deux forces X et Y est dirigée suivant la diagonale du rectangle dont les côtés représentent ces forces.

Concluons donc enfin que la résultante de deux forces rectangulaires appliquées à un même point matériel M, et dont les intensités sont représentées par des lignes prises sur leurs directions, est repré-

10 THÉCmiE ANALYTIQUE

sentée en grandeur et en direction par la diagonale du rectangle construit sur ces droites.

Il suit de là qu'à une force donnée on peut toujours substituer deux autres forces qui forment les côtés^d'un rectangle dont elle est la diagonale. Soient R la force donnée, X et Y ses deux composantes, et a l'angle que forme la force R avec la force X ; les trois forces R, X, Y et l'angle a seront liés par les équations de condition

X = R cosa, Y = R sin^i, R == v/X» + Y^

Ces équations, qui n'équivalent réellement qu'à deux équations distinctes, serviront à déterminer deux des quatre quantités X, Y, R et a, lorsque les deux autres seront données.

Iki étendant à trois dimensions le théorème précédent, il est aisé d'en conclure que la résultante de trois forces rectangulaires appliquées à un même point matériel est représentée en grandeur et en direction par la diagonale du parai lélipipède dont les arêtes représentent ces forces. Soient donc X, Y, Z ces trois composantes, R leur résultante, et «, 6, c les trois angles que fait sa direction avec celle des forces X, Y et Z ; on aura

R = VX^ -h Y^ 4- ZS X = Rcosrt, Y = Rcosft, Z = Rcosc,

équations qui s'accordent entre elles, puisque les trois angles a, ^, c sont liés par la cotklition

cos^a 4- cos^A -f- cos^c = I.

Les équations précédentes serviront à déterminer trois des six quantités X, Y, Z, R, a et 6 lorsque les trois autres seront connues. Elles détermineront la valeur et la direction de la résidtante lorsque les trois composantes X, Y et Z seront données; et réciproquement on pourra, par leur moyen, décomposer une force donnée R en trois autres perpendiculaires entre elles, et formant avec sa direction des angles donnés.

2. De là résulte une manière très-simple de déterminer la grandeur et la direction de la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point matériel M. En effet, soient P, P', P'', etc., les intensités de ces forces; a, a', a'\ etc. ; &, è', />', etc.; c, ^', d' ^ etc. , les angles que font respectivement leurs directions avec les trois axes coordonnés; on décomposera chacune des forces données en trois autres parallèles à ces axes. Désignant ensuite par X, Y et Z la somme de toutes les composantes, respectivement parallèles aux axes des x^ des y et des z, en sorte qu on ait

X = 2.Pcos«, Y=2.Pcos*, Z = 2.Pcosc,

toutes les forces qui agissaient sur le point M se trouveront ramenées à trois forces l'ectangulaires X, Y, Z, et, si Ton désigne par R la résultante de ces trois forces, et par Ay B, C les angles que fait sa direction avec les trois axes coordonnés, on aura,

pour déterminer ces quatre inconnues, les équations

X = RcosA, Y = RcosB, Z=RcosC.

Si Ton place l'origine des coordonnées au point M; qu'on désigne par x^ /, z les coordonnées de Textrémité de la force P ; par j?', f^ z les coordonnées de Textrémité de la force P', et ainsi de suite; on aura

a:=Pcosa, ^=PcoSi6, z = Pcosc, a:'=P'cosa', ... ,

et, par conséquent,

dans ce cas, X, Y, Z représentent les coordonnées de rexfrémité de la résultante, dont le carré sera la somme des carrés de ces coordonnées : on aura donc ainsi immédiatement la grandeur et la direction de la résultante.

Si le point M est en équilibre, en vertu des forces qui le sollicitent, leur résultante doit être égale à zéro ; mais la fonction \/X* -f- Y^ -h Z^, valeur de cette résultante, ne peut être nulle, à moins qu'on n'ait séparément

X = o, Y = o, Z = o, ou bien