Pcosa==o, 2.Pcos6 = o, 2.Pcosc = o

C'est-à-dire que, dans le cas de l'équilibre d'un point matériel M sollicité par un nombre quelconque de forces, la somme des composantes de ces forces

DU SYSTÈME DU MONDE. i3

parallèles à trois axes coordonnés rectangulaires, doit être séparément égale à zéro . .

3. Ce théorème offre un moyen curieux de construire géométriquement la résultante d'un nombre quelconque de forces appliquées à un même point, où de vérifii^r Téquilibre qu'on supposerait exister entre ces forces. En effet, soient P, P', P '',..., P^''^ les forces données, que nous supposerons en nombre /i-l- 1, et représentées par des lignes prises sur leurs directions; soient a, i, c, à h\ c\ etc., les angles qu'elles forment respectivement avec les trois axes coordonnés. Si Ton ajoute toutes ces droites à l'extrémité l'une de l'autre, dans un ordre quelconque, mais dans des directions parallèles à celles qu'elles ont autour de leur point commun d'application, on formera un polygone d'un nombre ti 4- i de côtés, ces côtés pouvant être situés ou non situés dans le même plan . Plaçons l'origine des coordonnées à l'origine de l'une quelconque des forces P, P', etc., à l'origine de la force P par exemple, et désignons par x% Y% z^; X*, Y*, Z%..'., X^''^ Y^"^ z^"^, les coordonnées des différents sommets de ce polygone; il est aisé de vérifier qu'on aura généralement

X^^^rnP COS<ï 4- FcOSa' -f- ... -f-P^''> COSrt^"^,

Y^"J = P cos^^ 4- F cos^^' 4- ... 4- V^'!^ cosb^''\

2(«)pcosC 4- P'C0S{/ 4- ...^4-P^''^ COSC^''^

Si les forces P, P',..., P^"^ sont en équilibre, on a

xW = o, yW = o, z^"J = o,

i4 THÉORIE ANALYTIQUE

et, par conséquent, le polygone est fermé. Si l'équilibre n'a pas lieu, les coordonnées x^"\ Y^"\ z^"^ étant égales respectivement aux trois coordonnées de l'extrémité de la résultante des forces P, P',..., P^"^ (n^ 2), cette résultante se confond avec la ligne menée de l'origine pour fermer le polygone; elle est donc représentée en grandeur et en direction par cette ligne. Quant à son sens d'action, il n'est pas équivoque, puisqu'elle doit toujours tendre à augmenter les coordonnées xW^ y(«)^ 2^5 d'où Ton peut conclure encore que cette résultante est égale et directement opposée à la force qu'il faudrait ajouter aux forces P, P',..., P^'*^ pour établir l'équilibre dans ce système, ce qui d'ailleurs est manifeste.

Il suit aussi de là, comme corollaire, que si le système de forces que l'on considère se réduit à deux forces P, P% formant entre elles un angle quelconque, la résultante est la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces, et que, si ce système se compose de trois forces P, P', P" non situées dans le même plan, leur résultante est représentée par la diagonale du parallélipipède construit sur ces trois forces.

4. Supposons maintenant que le point M sur lequel agissent les forces P, P', etc., ne soit pas libre et qu'il soit assujetti à rester sur une surface donnée, il en éprouvera une résistance que nous désignerons par N, et qui s'exercera suivant la perpendiculaire à cette surface. S'il en était autrement, cette résistance pourt^it se décomposer en deux autre10erces, l'une diri-

DU SYSTÈME DU MONDE. i5

oée suivant la normale à la surface, et qui empêcherait le point de la pénétrer, l'autre parallèle à cette surface, et qui s'opposerait à ce que le point pût s'y mouvoir librement, ce qui est contre la supposition. Si l'on considère la résistance N comme une force nouvelle dont le point M est animé, il est clair qu'on pourra le regarder ensuite comme parfaitement libre, et faire abstraction de la surface donnée. Soient donc a, ê, 7 les angles que forme la direction de la normale au point M avec les axes coordonnés; soient X, Y, Z la somme des composantes, respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point M; on aura, pour les conditions d'équilibre,

Ncosa-f-X=o, Ncos6-i-Y = o, Ncpsy-f-Zsc. (m) De ces équations on tire d'abord