CHAPITRE II

DE l'Équilibre d'un système de points matériels liés

ENTRE EUX d'uNE MANIÈRE QUELCONQUE.

5. Considérons d'abord un système de forme invariable, et commençons par le cas le plus simple, celui où le système se compose de deux points seulement, et où les forces qui lui sont appliquées se réduisent à deux, agissant dans le même plan.

Si Ton prolonge les directions de ces forces, que nous désignerons par P et P', jusqu'à ce qu'elles se rencontrent en un point O, on ne changera rien à l'état du système, en supposant les forces P et P' appliquées immédiatement à ce point. En désignant donc par R leur résultante, et par a, a\ A les angles cfdei forment respectivement avec Taxe des x les {orQ.es P, P', R, on aura

R cos A = P cosa -h P' cosa', \ RsinA=Psina -f-P'sin^'. ;

Ces deux équations donneront la valeur et la direction de la résultante R. La position de cette force serait donc parfaitement déterminée, si Ton connaissait un seul point de sa direction ; or nous savons qu'elle doit passer par le point de concours des deux forces P et P'. Pour exprimer analytiquement cette condition, menons de l'origine des coordonnées au point O une

ligne L^ et soit a l'angle que forme cette droite avec Taxe des x. Abaissons de cette même origine une perpendiculaire sur chacune des forces P, P', R; si Ton désigne par /?, p' et r les longueurs de ces droites, il est aisé de voir qu'on aura

/? = L sin (a — a), /)'= L sin (a — «'),)

/• = Lsin(a~A). j ^^^

Si, au moyen des deux premières équations, on élimine de la troisième les deux quantités L et a, on aura la valeur de r exprimée en fonction de quantités connues, et la résultante R sera entièrement déterminée de grandeur et de position. Mais à l'équation qui résulterait de cette élimination, on peut en substituer une qui a Tavantage d'être plus simple, et dont la conséquence est la même; en effet, remarquons que si l'on retranche l'une de l'autre les équations (i ), après avoir multiplié la première par sin a, la seconde par cosa, on a

R sin(a — A) = P sin(a — a) H- P' sin (a — al).

Substituons, dans cette équation, pour sin (a — A), sin (a — a), sin (a — a'), leurs valeurs tirées des équations (o), et multiplions tous les termes par L; nous aurons

Rr=Pp4-Py. (2)

Cette équation donnera la valeur de r, et fera connaître par conséquent à quelle distance la résultante passe de l'origine des coordonnées.

S'il y avait équilibre dans le système, la résul-

DU SYSTÈME DU MONDE. ti3

tante R serait nulle; les équations (i) montrent qu'il faut, dans ce cas, que les forces P et P' soient égales et agissent dans des directions parallèles, mais en sens inverse; l'équation (a) montre qu'elles doivent être, de plus, directement opposées, ce qui d'ailleurs est évident.

La fonction Rr que nous avons introduite dans l'équation (2), et généralement le produit d'une force par la perpendiculaire abaissée de l'origine des coordonnées sur sa direction, est ce qu'on appelle le moment de la force par rapport à cette origine. Ce produit peut s'exj3rimer d'une autre manière, qui a l'avantage de rendre manifeste le signe des perpendiculaires Pj /?', /*. En effet, si l'on désigne par x^ y et x!^ y les coordonnées des points d'application des forces P et P', et par x, y les coordonnées d'un point quelconque de leur résultante, il est aisé de voir qu'on aura

pzzzjrco^a—xsma^ />' = ^' cosa' — .r'sina',

et

r = Y cosA— ' xsinA,

réquatiojQ (2) deviendra ainsi R(y cosA — X sinA) = P(^ cosa — orsina), | ^.

Considérons maintenant un système composé d'un nombre quelconque de points matériels liés entre eux d'une manière invariable, et sollicités par des forces que nous supposerons toujours agir dans le même plan. Soient P, P', P",. . . , P^"^, les intensités de ces

forces; a, a\ a", . . . , a^"^, les angles qu'elles forment avec Taxe des a:; /?, /?%/>",... , p^'^^ les perpendiculaires abaissées de l'origine sur leurs directions. Composons d'abord en une seule deux de ces forces P et P' prises à volonté; soit R' leur résultante, A' l'angle qu'elle forme avec l'axe des x^ et f la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; composons ensuite cette résultante avec la force suivante P"; soient R" leur résultante, A" l'angle qu'elle forme avec l'axe des JT, et r" la perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction ; composons cette nouvelle résultante avec la force P''', et ainsi de suite : de celte manière nous réduirons finalement le système à deux forces R""* et P^''^ dont nous déterminerons la résultante en grandeur et en direction, d'après ce que nous avons dit précédemment. Désignons par R cette résultante finale, par A l'angle quelle forme avec l'axe des x^ par ria perpendiculaire abaissée de l'origine sur sa direction, et déterminons par le même numéro la valeur des quantités R'cosA', R'sinA', RV, R'^cosA", etc., nous aurons, par de simples substitutions,

RcosA = 2.Pcos^, RsinA = 2.Psin/z, ) ,,.

Rr=2.P;,, ) (^'^

le signe 2 désignant généralement la somme des quantités qu'on obtient en marquant successivement d'un accent les lettres P, a, />.

Les deux premières équations déterminent l'intensité et la direction de la résultante ; la troisième, la distance à laquelle elle passe de l'origine. Cette der-

nière équation montre que le moment de la résultante d'un nombre quelconque de forces est égal à la somme des moments des composantes. Si Ton désigne par X, Y les coordonnées d'un point quelconque de la direction de R, et par x, j^ x\ j\ etc., les coordonnées des points d'application des forces P, P', etc.; cette équation pourra s'écrire ainsi :

R(ycosA — X sinA) = 2.P(^cosa — jcsin^). (5)

Si le système que l'on considère est en équilibre, en vertu des forces qui le sollicitent, la résultante de ces forces sera nulle ; on aura donc, dans ce cas,