N = VX^H-Y»4-Z

c'est la mesure de la résistance dont la surface doit être capable pour n'être pas pénétrée par le point M : elle est égale à la résultante des forces qui agissent sur ce point, ou à la pression qu'il exerce contre la surface, suivant la direction de sa normale.

Soient L = o l'équation de la surface donnée; ar, j\ z les coordonnées du point M situé sur cette surface; on aur^, par les formules connues,

i6 THÉORIE ANALYTIQUE

«n faisant, pour abréger,

Si Ton substitue à la place de cosa, cosê, cosy leurs valeurs dans les équations (m), et qu'on élimine entre elles l'arbitraire N, les conditions d'équilibre du point M se réduiront aux deux équations suivantes :

Pour voir ce qu'expriment ces équations, désignons par R la résultante des trois forces X, Y, Z; les cosinus des angles que forme R avec les axes coor-

donnés seront exprimés par ^' ^9 «^- En nommant

donc A, B, C ces trois angles, les équations précédentes donneront

D'ailleurs

cosA cosê= cosB cosa, cos A cosy = cosC cosa.

cos* A 4- cos^B 4- cos'^C = 1 , cos'^a + cos* S + cos* 7 = i .

On aura donc

cos A = cosa, cosB = cosê, cosC = cosy.

C'est-à-dire que, pour assurer l'équilibre du point M,

il ne sera plus nécessaire, comme dans le cas général, que la résultante des forces qui le sollicitent soit nulle; il suffira que la direction de cette résultante soit normale à la surface donnée, afin que le point M ne puisse glisse*» en aucun sens sur cette surface.

Si la position du point M n'était pas fixée sur la surface, et qu'il s'agît au contraire de déterminer ce point de manière à ce qu'il se maintînt sous l'action des forces X, Y, Z, les deux équations (w), jointes à l'équation L =: o, serviraient à faire connaître les coordonnées du point cherché.

Supposons actuellement le point M assujetti à rester sur deux surfaces données ou sur la courbe de leur intersection. 11 éprouvera de la part de chacune de ces surfaces une résistance dont l'action s'exercera suivant les directions de leurs normales; en comprenant ces nouvelles forces, dont la grandeur est arbitraire, parmi celles qui sollicitent le point M, on pourra faire abstraction de la courbe donnée, et regarder ce point comme entièrement libre. Désignons donc par N et N' les résistances que le point M éprouve, par a, 6, y et a', ê', y' les angles que forment les normales aux deux surfaces avec les axes coordonnés, et par X, Y, Z les sommes des composantes, respectivement parallèles à ces axes, des forces qui sollicitent le point. Les conditions générales d'équilibre deviendront

N cosa -I- N' cosa' -f- X = o,

N cos6 4- N' cosê' + Y = o, [ {p)

N C0S7 -h N' cosy' -F Z =^ o.

Ces équations, en désignant par gj l'angle que for* ment entre elles les deux forces N et N', et observant que

cosa cosa' H- cosê cosS' -f- cosy cosy' = coso),

donnent

N= -f. N/^ + 2NN'cos w = X^ + Y^ -f- Z^

Le premier membre de cette équation représente le carré de la diagonale du parallélogramme construit sur les deux forces N et N', c'est-à-dire le carré de leur résultante, laquelle est nécessairement comprise dans le plan normal à la courbe donnée. La fonction y/X* -4- Y* -f- Z* exprime donc la résistance dont cette courbe doit être capable pour n'être pas pénétrée par le point M, ou, ce qui revient au même, elle exprime la pression normale que ce point exerce sur la courbe donnée.

Soient

L = o et L' = o

les équations des deux surfaces dont l'intersection forme la courbe que le. point M ne peut quitter, et désignons par Xj jr.y z les coordonnées de ce point; nous aurons

cosa = K-j-, cosS = K-T-î cos7 = K— -; cosa'=K'^, cosg'=K'^, cos/=K'^;

dx dy * dz '

DU SYSTÈME DU MONDE en supposant, pour abréger,

Substituant ces valeurs dans les équations (/}), et éliminant ensuite N et N', les conditions d'équilibre du point M se réduiront à cette équation unique,

Xcùx: + Yclj-hZdz=i o, {q)

Si Ton désigne par ds l'élément de la courbe sur

dx d')r d%

laquelle le point M est assujetti, — ? -^t — seront respectivement les cosinus des angles que forme cet élément avec les axes des a*, des j et des js; les cosinus des angles formés par la résultante R et par les mêmes

X Y Z axes, sont -g ' 5' j* L'équation précédente exprime

donc que cette résultante et l'élément de courbe forment un angle droit entre eux. D'où il résulte que la somme des composantes, tangentes à ce même élément, est égale à zéro, condition nécessaire, en effet, pour que le point M ne puisse glisser sur cette courbe.

Si la position du point M n'était pas fixée, et qu'il s'agît de la déterminer de manière que les forces X, Y, Z fussent en équilibre, l'équation de condition (<jf), jointe aux équations de la courbe

donnée, suffirait pour déterminer les coordonnées de ce point.

Quelles que soient d'ailleurs les données el les inconnues du problème, la fonction

sera toujours la mesure de la pression normale que le point M exerce sur la courbe qu'il parcourt.