LX-4-MY + NZ = o

€'est Téquation de condition nécessaire pour que les trois dernières équations (8) puissent appartenir à une même droite, et par conséquent pour que les forces P, P*, etc., aient une résultante unique. Lorsqu'on sera assuré que cette équation est satisfaite, les trois premières équations (8) serviront à déterminer immédiatement la grandeur et le sens d'action de cette force.

Si les forces P, P', etc., n'ont pas une résultante unique, on pourra toujours les réduire à deux forces, mais ces forces seront indéterminées de grandeur et de direction. Soient en effet R', R", R* les trois résultantes partielles que l'on obtient par la composition

de toutes les forces qui agissent sur chaque plan coordonné ; par les directions des forces R" et R"*, menons deux plans parallèles à la direction de la troisième force R' ; menons ensuite par cette dernière un nouveau plan qui coupe à la fois les directions des forces R" et R'" : la force R' pourra se décomposer en deux autres agissant dans les plans parallèles à sa direction que nous avons menés suivant les forces R'^ et.R"'. Les trois forces R', R'\ R** se trouveront ainsi réduites à deux couples de forces agissant dans le même plan, lesquels pourront par conséquent se réduire à deux forces agissant dans des plans différents.

Si le système que nous considérons n'était pas libre, s'il était, par exemple, retenu par un point fixe autour duquel il serait obligé de pivoter, les six équations (8) ne seraient plus nécessaires pour assurer l'équilibre de ce système. Il suffirait, dans ce cas, que la résultante des forces P, P', etc., passât parle point fixe. Si l'on prend ce point pour l'origine des coordonnées, la projection de R sur les trois plans coordonnés passant par l'origine,. on aura

Ce sont les seules conditions nécessaires pour assurer dans ce cas l'équilibre du système, et la valeur \/X^ + Y^ -4- Z^ de la résultante sera la mesure de la pression que supporte le point fixe.

Si le système était retenu par deux points ou par un axe fixe, toutes les forces perpendiculaires et parallèles à cet axe seraient détruites par sa résistance. En prenant donc cet axe pour l'un des axes coor-

donnés, pour Taxe des 2, par exemple, tout l'effet des forces qui agissent dans les plans des j-z et des xz sera annulé; il suffira donc, pour assurer l'équilibre du système, que la résultante des forces qui agissent dans le plan des ûcj- soit dirigée sur Taxe des z, ou passe par Torigine des coordonnées, ce qui réduit les conditions d'équilibre à l'équation unique

N=xo.

C'est-à-dire qu'il faut simplement, dans ce cas, que la somme des moments relatifs à l'axe fixe soit nulle.

8. Supposons maintenant que toutes les forces qui agissent sur le système soient parallèles entre elles ; si Ton fait dans les équations (8), a = af = a" = etc., b =b^=b" = etc,y c = c' ^=c'' = etc. , on aura, pour déterminer la valeur et la direction de la résultante, les équations suivantes :

R = 2.P, cosA[z2.P — 2.Pz] =:cosc[y2.P — 2.Pjr], cosc[x2.P — 2.Pj:] = cosa[z2.P— 2.Pz], cosa[Y2.P — 2.Pj] = cosè[x2.P — 2.P.r].

D'où il suit : i^ que la résultante est parallèle aux composantes, et égale à leur somme ; 2^ que les moments de la résultante, par rapport à chaque axe coordonné, sont égaux à la somme des moments des composantes relatifs à cet axe.

On satisfait aux trois dernières équations précédentes, indépendamment de toute valeur donnée aux I. 3

angles <f , />, c, en faisant

Ce sont les coordonnées d'un point situé sur la résultante, et ce point est remarquable en ce qu'il est indépendant de la direction des forces P, P', etc., et que par conséquent il ne varie pas, quelles que soient les positions de ces forces dans l'espace, pourvu qu'elles restent parallèles entre elles, et que leurs points d'application soient les mêmes. Ce point s'appelle centre des forces parallèles; c'est la commune intersection de toutes les lignes suivant lesquelles la résultante peut être dirigée lorsque les intensités de ces forces et leurs points d'application ne changent pas.

Si le système contenait un point fixe, il suffirait que la direction de la résultante passât par ce point pour assurer l'équilibre. Le point que nous venons de nommer centre des forces pai'allèles jouit donc encore de cette propriété remarquable, qu'étant soutenu, le système reste en équilibre, quelque situation qu'on lui donne autour de ce point, et quelle que soit d'ailleurs la direction des forces qui le sollicitent.

Supposons que le système ne soit soumis qu'à l'action de la pesanteur; cette action étant la même pour tous les corps, et les directions de la pesanteur pouvant être supposées les mêmes dans toute l'étendue du système, les forces dont les différents points qui le composent sont animés, pourront être regardées comme parallèles, et comme proportionnelles aux masses m, m\ mf\ etc., de ces points. On aura donc,

par ce qui précède, R = 2 . ///, c'est-à-dire que la résultante e$t égale au poids du système. On aura ensuite, pour déterminer le point qtie nous avons nommé généralement centre des forces parallèles, et qui, dans ce cas, prend le nom de centre de granité ^ les équations

La propriété caractéristique du centre de gravité consiste en ce que, s'il est supposé fixe, le système animé par la pesanteur reste en équilibre, quelque situation qu'on lui donne autour de ce point, parce que dans toutes ces positions, la résultante des forces qui agissent sur le système vient passer par le point fixe. Si l'on place l'origine des coordonnées en ce point, on aura