Ces notions admises, considérons un système
de corps réagissant d'une manière arbitraire les uns sur les autres^ et sollicités par des forces accélératrices quelconques.
Soient m^ m!j m", etc., les masses des différents corps du système; x, /, z, a:', y^ z', etc., les coordonnées rectangulaires qui déterminent leur position respective; soient X, Y, Z, les trois forces accélératrices qui agissent sur l'unité de la masse m, parallèlement aux axes de ses coordonnées; mX, /»Y, ttiZ, seront les forces qui sollicitent le corps m dans la même direction. Soient m'X', m' Y', m'Z\ les forces qui sollicitent ni parallèlement aux mêmes axes, et ainsi de suite ; désignons par t le temps dont nous supposerons l'élément dt constant. Les vitesses qui animent le corps iw, à la fin d'un instant quelconque, seront représentées P^^'T';^»^"^ ^^s forces qui le sol-, licitent, suivant les axes des a:, des j" et des z, seront donc tn-^im -j-j m-^yet ces forces, en vertu de l'action des forces accélératrices, deviendront, dans Tînstant suivant,
m-^-hmXdt. m-^-\-mXdt. m-:^ -hmZdt.
dt ' at dt
Mais les accroissements véritables que prend parallèlement aux axes coordonnés la vitesse du corps m, à cause de sa liaison avec les autres parties du système,
et qu'il s'agit de déterminer, sont -^> -z^^ -^\ les
^ ^ ' dt dt dt ^
forces motrices effectives qui sollicitent le corps /n, à
la fin de Finstant dtj sont donc
dx (Px dy dW dz d^z
En supposant donc les trois premières forces appliquées au corps m, en sens contraire de leur direction, les forces motrices qui agissent sur ce corps seront
en marquant successivement d'un accent, de deux accents, etc., les lettres //i, Xy jr, 2, X, Y, Z, on aura les expressions des forces semblables qui proviennent des variations du mouvement de chacun des corps m', m'\ etc.
Or, en vertu du principe de d'Alembert, le système entier est en équilibre sous l'action de toutes ces forces réunies ; il suffit donc, pour exprimer cette condition, de substituer leurs valeui's dans les six équations générales du n** 7. En remplaçant ainsi respectivement par les forces (A) les trois composantes P cosa, P cosby P cosc, on aura
dt^ ^ dt* dt* le
l,m{ — j =2./n(2;X — xZ)j
DU SYSTÈME DU MONDE. gS
Telles sont les équations du mouvement d'un système quelconque de corps /w, wl m!% etc., qui ne contient aucun point fixe. Si quelqu'un de ces corps était astreint à se mouvoir sur une surface ou une courbe donnée, en comprenant parmi les forces qui lui sont appliquées la résistance qu'il éprouve de la part de cette surface ou de cette courbe, on pourrait le regarder ensuite comme entièrement libre, et les équations précédentes seraient encore, dans ce cas, celles du mouvement du système.
22. Les six équations (B) renferment plusieurs principes généraux de mouvement que nous allons successivement développer. Faisons d'abord abstraction des trois dernières.
Si Ton désigne par X, Y, z, les trois coordonnées du centre de gravité du système de corps /w, m', m", etc. , on aura, n® 8,
