I -h e cos ( «^ — w ) d'où l'on tire

, sin a ^ I — e^ , , cos u — e

sm(i' — ») = 1 cosfp — ») = -

^ ' I — e cos u ^ ' I

e cos «

et par conséquent

taog^'(^ - w) = V f^ tangi M. (5)

Cette équation déterminera la valeur de Tangle «^ lorsque wsera connu en fonction du temps.

Les trois intégrales finies (i), (2), (4), que nous venons d'obtenir, contiennent six arbitraires a^ e, oc, f, w, /: elles sont donc les intégrales complètes des équations {a). Les constantes a et e déterminent la nature de Torbite; les constantes a et 9 sa position dans l'espace; enfin, les deux dernières arbitraires w et / dépendent, l'tine de la position du périhélie, et l'autre de l'époque ou de l'instant du passage du corps /«parce point.

21 . Quoique les formules précédentes satisfassent complètement aux équations différentielles (a), ces équations peuvent cependant fournir encore d'autres intégrales dont la forme particulière offre des avantages dans certaines circonstances. Pour en donner un exemple, reprenons les équations (a), et les trois intégrales premières (ô) et (c), relatives à la conservation des aires. Faisons, pour siitiplifier, fji = i ; nous

26a THÉORIE ANALYTIQUE

aurons

dO r^' d^

7^' ^ = "~7î' (^^ et

xdx — X^^ / «^-^ — ^^* // X^^ — *^ / v

r= ; ? c = ^? c = ; . iei

dt dt dt ^ ^

Si l^on multiplie membre à membre la seconde de (?es équations par la quatrième, et qu'on en retranche la troisième, multipliée de la même manière par la cinquième, on aura

cd*r — c'd^z « , , ,x y , ,

-^j, = y, (^dx^xdz) - - {xdjç^fdx)

rdx — xdr X

On trouverait aisément pou,r d.- et d.- des valeurs semblables, et en les intégrant on aura

X y. cdy — d dz \

.^j = — dt — ' 1

y ,. ^"flfe — cdx \ f .

z ^„__c'dx — c"dx ] r •^ dt I.

jf,/',y" étant trois nouvelles constantes arbitraires.

Si ces équations étaient réellement distinctes entre elles, réunies aux équations {ç) elles suffiraient pour résoudre la question, puisqu'en éliminant entre ces six intégrales premières les différences ûtr, djr^ dz^ on en tirerait trois intégrales finies contenant les six arbitraires c, c\ c", f^ /' , J** ^ qui seraient par consé-

DU SYSTEME DU MONDE. a63

quent les intégrales complètes des équations différentielles (a). Mais Tune de ces six intégrales rentre dans les cinq autres ; et c'est ce qu'il est facile en effet de concevoir <i priori ^ car, comme elles ne renferment que l'élément dt du temps, on voit que les intégrales finies qui en résulteront, seront insuffisantes pour déterminer les coordonnées x, jr^ z, en fonction du temps* Il doit donc exister quelque équation de condition qui lie entre elles les six constantes arbitraires c,C,c"JJ\f".

En effet, si Ton multiplie la première de ces équations par c", la seconde par c\ et qu'on les ajoute en^ suite, on aura

r J ' J fil

On a d'ailleurs, par Téquation (i), d" x-\- d y = — cz\ par conséquent

^ c"f^ c'f c' dx-^ c" dy

r c dt , ^'

Cette équation coïncide avec la troisième des équa-

lions (/7i), lorsqu'on suppose 7"= — ou

f'c-\-fd+fd'z=^ o. Les constantes c, c', d\j,j\f" n'équivalent donc qu'à cinq arbitraires distinctes, et la dernière des intégrales (m) et (c) résulte des cinq autres.

Ces intégrales cependant suffisent pour déterminer complètement la position et la nature de l'orbite que le corps m décrit autour de M. Les trois premières^ montrent que cette orbite est une courbe plane, n*^ 20;

les trois dernières déterminent sa nature. En effet, si Ton multiplie la première par x^ la seconde par jr^ la troisième par z^ et qu'on les ajoute, on aura

J?'-l-r*-ha' xdy — ydx ,zd£ — xdz „Ydz — zdy

r dt dt dt

équation qui, en vertu des équations (c) et en faisant pour abréger £?* -h c'* -h c"' = A**, donne

r - k^ ^fx ^fjr-^f^z = o.

Cette équation, combinée avec les deux suivantes, cz -h (fj -v-c^'x zzzo et r^ = a:^ -h j^^ + z', conduit à l'équation des sections coniques, l'origine étant au foyer. Les courbes que décrivent les planètes et les comètes autour du Soleil sont donc des sections coniques.

Les constantes c, c\ c'\ déterminent la position du plan dç l'orbite; elles font connaître aussi son grand axe, puisqu'en nommant a la distance moyenne et e l'excentricité, on a, n*^20, A:= y^^ (i — c^)J équation qui donnera la valeur de a lorsque celle de e sera connue. Les constantesy,^',/"" déternûnent cet élément, ainsi que la position du périhélie sur l'orbite. En effet, si des équations {ni) on tire les valeurs de f^f\ f\ et qu'on les ajoute après les avoir élevées au carré, on aura

tcdz + c' dy + d' dx'y

Mais l'équation (i), n**20, en la différentiant, donne cdz 4- c'df -f- c'^dx = o; l'équation précédente se réduit donc à celle-ci :

dr 7"^ A^ —^'

Cette équation, comparée à l'équation (e), n**20, donne

d'où, en substituant pour A et A: leurs valeurs, et supposant toujours fx = i , on tire

Soit / l'angle compris entre la projection du grand axe de l'orbite sur le plan des xj et l'axe des x, en nommant x' ^ y y z' les coordonnées du périhélie, on aura

tangixzrj;.

Aux extrémités du grand axe, dr est nul ; on a donc en ce point xdx-^ jrtfy -¥ zdz = o. En substituant pour c, c', c", leurs valeurs {c) dans les deux dernières équations (w), et en les divisant ensuite l'unepar l'autre, on trouve, en vertu de la relation précédente,

par conséquent

tangi:^^.

Les trois constantes yi y, y", déterminent donc Tex^

centricité et la position du grand axe de la section conique.

On connaîtra ainsi tous les éléments qui fixent la position et la nature de l'orbite décrite; quant à la situation de la planète sur cette orbite, il faut pour la déterminer avoir les valeurs des coordonnées x, y, z^ en fonction du temps, ce qui exige une nouvelle intégration. Or, on a, n^ 20j

dt = '^'

Sj^r^l.

Cette équation donnera la valeur de r en fonction de i\ et comme on peut déterminer, par ce qui précède, celle de x^ de j^ et de z en fonction de r, on aura à chaque instant les valeurs de ces coordonnées. Les formules précédentes nous seront utiles dans la théorie des comètes.

22. Reprenons les trois intégrales ( 3), (4), ( 5), qui sussent pour déterminer toutes les circonstances du mouvement de m autour de M. Si l'on fixe l'origine de l'angle (^ au périhélie de l'orbite, ce qui donne w = o, et qu'on prenne pour Tépoque d'où l'on compte le temps t l'instant du passage de la planète par ce point,

ce qui donne / = o, en faisant pour abréger ^ = /j,

a' ces équations deviennent

72< = M — esinw, r = /z(i — écosw),

tang-i^ = y-;-^tang-«.

On voit, par ces formules, que si Taugle u augmente de 36o degrés, le rayon r reprend la même valeur, et l'angle p augmente pareillement de 36o degrés; la planète revient donc alors au même point de son orbite. Mais l'angle u croissant de quîttre angles droits,

le temps i est augmenté de ^' = -= Sôo*', C'est le temps

Vf*

que la planète emploie à revenir au même point de

son orbite ou à faire une révolution entière. Ce temps

ne dépend que du grand axe 2 <7 ; il est indépendant

de l'excentricité e, et il est le même que si la planète

décrivait un cercle ayant pour rayon la distance

moyenne a. On aurait dans ce cas e = o ; ce qui donne

r= a, u = nty v = «, et par conséquent v = nt; les

arcs parcourus sont donc proportionnels au temps,

^* la planète se meut luiiformément sur le cercle dont

^6 rayon est a, La quantité nt représente générale-

^eot j'^j,^ qy^ décrirait, pendant le temps /, un astre

, ^ /fartant du périhélie au même instant que la pla-

^^t6//dy parcourrait, avec une vitesse constante égale à

^, U(j cercle décrit sur le grand axe de l'orbite comme

diamètre. Cet astre passerait au périhélie et à l'aphélie

en ra&me temps que la planète ; mais dans une moitié

de la résolution la planète précéderait l'astre, et dans

l'autre elle serait devancée par lui.

L'angle nt est ce que l'on appelle le moyen mouvement de la planète m. Si l'on prend sa distance moyenne au Soleil pour unité de distance, et qu'on suppose /^ = ^ -> on aura « = 1 et p = <. Le temps sera donc alors i^^présenté par les arcs que décrirait la planète

sur le cercle dont le rayon est un, avec une vitesse égaleàTunité. C'est ordinairement au mouvement de la Terre que les astronome^ rapportent les mouvements des autres corps du système solaire; ils prennent la distance moyenne de la Terre au Soleil pour unité de distance, sa masse réunie à celle de cet a$tre pour unité de masse, et, en supposant le temps compté en jours moyens solaires, Tunité de temps se trouve représentée par Tare que parcourt dans un jour la Terre autour du Soleil en vertu de son mouvement moyen.

Il suit de là que le temps étant exprimé en arcs de cercle, il faudra, pour le convertir en joiu^, diviser sa valeur par le nombre de r/egrés^ minutes et secondes que la Terre parcourt en un jour en vertu de son mouvement moyen, et réciproquement multiplier par la même quantité le temps, exprimé en jours moyens solaires, pour le convertir en arcs de cercle.

L'angle auxiliaire ix, que nous avons introduit dans les formules précédentes, est ce que Ton nomme Vanomalie excentrique^ ni est Vanomalie moyenne^ et Tangle v est Vanomalie vraie. Il est aisé de s'assurer, en considérant la seconde des équations (/î), que Tangle u est formé par le grand axe de l'orbite et le rayon mené de son centre au point où la circonférence décrite sur son grand axe comme diamètre, est rencontrée par l'ordonnée abaissée de la planète m perpendiculairement sur le grand axe.

Les deux dernières équations {n) donneront les valeurs du rayon vecteur r et de la longitude v lorsque Tangle u sera déterminé en fonction du temps ; mais l'équation qui donne u en t étant t^auscendanl^, il est

impossible en général d'avoir la valeur de u par une expression finie. Heureusement les excentricités des orbites des corps célestes sont ou très-petites ou trèsgrandes, et dans ces deux cas on peut déterminer u en fonction de t par des formules très-convergentes. Cest ce qu'on nomme le problème de Kepler, parce que cet astronome est le premier qui se soit occupé de cette question. Pour la résoudre nous ferons usage de quelques théorèmes sur les développements des fonctions que nous allons rappeler ici.

25. Soitz une fonction quelconque de a qu'il s'agit de développer par rapport aux puissances ascendantes de cette quantité que nous supposons très-petite ; on aura généralement, d'après la formule connue sous le nom de formule de Maclaurin,

da. 1.2 da^ 1.2.3 da^ ' ^ ^

z' étant ce que devient z lorsqu'on suppose a = o et -^» -r-^j etc., désignant les coefficients différentiels

doc da} ' ^

successifs de cette même fonction pris par rapport à a, dans lesquels on ferait de même a = o après les différentiations.

Cela posé, soit d'abord la valeur de z de cette forme z= y(:r-i- a). Cette équation donnera généralement

j4 = ^> quel que soit 1. La formule [m) deviendra

donc ainsi

, dz 0} d^z' a? d^z ^ , v

z.= z'-ha-T-H --^H 5 -7:t + etc. [p]

dx 1.2 dx^ 1.2.3 dx^ ^' ^

a70 THÉORIE ANALYTIQUE

Supposons maintenant* la fonction qu'on propose de développer en série, de cette forme z = y (jc -h o^), y étant une fonction quelconque de z donnée par l'équation y=.j\z). Cherchons dans ce cas la valeur du

coefficient différentiel — .. L'équation z = ç(a'4- a^),

en la différentiant tour à tour par rapport à x et à a, et en éliminant la fonction dérivée entre les deux équations résultantes, donne d'abord , ,^ -

i '^ X ' dz dz . ' ,. * #

J ,^ da, ^ dx .'> / -^ ^

Il^nfl s'agit plus que de différentier successivement ; -^ .^pïr rifpj^ort à a les deux membres de cette équation,

- et de substituer à mesure pour -r- et -^ leurs valeurs ;

- , ^ da da '

,7^H«iais on peut éviter cette substitution en observant que l'on a généralement

.dz , .dz

da dx

En effet, si l'on effectue dans les deux membres de cette équation les différentiations indiquées, on trouve

dy dz dy dz da dx dx^ da

Mais l'équation^ -^fz donne, en la différentiant,

dy dy dz dy dy dz

da dz da dx dz dx

On aura donc en substituant ces valeurs dans l'équation précédente, l'équation identique

dy dz dz dy dz dz dz dx da dz dx da

la plus haut,

Reprenons la valeur de — ? que nous avons trouvée

dz dz

dcf."^ *^ dx

Si l'on différentie successivement par rapport à a les deux membres de cette équation, et qu'on remplace

— par sa valeur, toutes les fois que ce coefficient se

reproduira, on aura

£fo j dz j ^dz

d^z^ dx ^ ^ dd __ dx

dat,^ dd dx dx

dz dz dz

d^z *" dx doL '^ dx

da^^ dx.da. dx^ dx^

etc., d'où l'on conclura généralement

.dz d*z -^ dx

d(à dx'-'

Soient maintenant j*' et :d ce que deviennent les valeurs des quantités ^ et z lorsqu'on suppose a = o, on aura

dd

d^J -^ dx ^

da} ■"■ dx^-' '

et la formule générale [m) donnera par conséquent

\ dx) 1.2 dx 1.2.3 dx*

^+etc. {q)

On peut aisément étendre cette formule au cas où la quantité qu'on veut développer serait une fonction quelconque ij^z, la valeur de z étant donnée par Téquation z= (p(a: -4- a/), dans laquelle j* i^i^z. En effet, si l'on désigne par z' et^' ce que deviennent z et j", lorsqu'on suppose a = o, on aura par la même analy^

24. Appliquons ces formules au développement des équations («), d'où dépendent les mouvements elliptiques des planètes et des comètes. La première détermine l'anomalie excentrique u par l'anomalie moyenne nt ; on peut l'écrire ainsi w = «jç -f- e sin u. Si Ton compare cette équation à l'équation z=^(a:+a7"), on a z = w, X •=^nt^ a=^ Cy y = sin a, et par conséquent z[ = nt, y' -=. sin 72/ ; la formule (ç) donnera donc immédiatement

e' d.%\xi^nt é^ d^,sin^ne , ,

u=znt-^e%\Xint'\ — 1 — , . , 4- etc. (.?)

i.a ndt 1.2.3 n^dt^ ^ '

Il ne reste plus qu'à exécuter les différentiations indiquées ; mais pour obtenir des expressions plus simples, il est bon de remplacer auparavant les puissances du sinus de nt en sinus et cosinus des multiples du même angle. On trouve pour cet objet des formules commodes en faisant usage des expressions des sinus et cosinus en .exponentielles imaginaires. En effet, c étant le nombre dont le logarithme hyperbolique

DU SYJ5TÈME DU MONDE. 2*73

est l'unité, on a

I étant quelconque. Développons le second membre de la première de ces équations; nous aurons

2' co%'nt = c'»' ^'^-f- ici'-'') n'^^-f. lliZll c('-<) «' '^

Mais l'expression de cos'/if peut aussi s'écrire de cette manière

cos'«r=(^ ±^ — j.

Cette équation donne, en développant son second membre,

Ajoutons ces expressions de a'cos'w^, en observant que l'on a c*'"*^""*-^ ^-knt^-\ __ ^ cosAt/^, quelque soit Â*, nous aurons

2*cos*wr = cosi/if-f- f cos(i — 7.)nt cos(/ — ^pit

H 5 C05(l — b)/îf-f- ....

On développerait l'expression de sipfnt par un procédé semblable ; mais il faut ici distinguer deux cas, !.. 18 .

celui où / est un nombre pair, et celui où i est impair. Dans le premier cas, on aura

±2' sin* nt=co% int — i cos (/ — 2 ) nt -f- cos( / — ^)nt j

... "'"^ (6) TTS cos(i— 6)/if-f....; I

le signe supérieur étant relatif au cas où /est un multiple de 4, et le signe inférieur au cas où / est simplement divisible par a .

Enfin, si i est un nombre impair, en observant que ^A/if vC7 ^-.*«£«^-4 «. 2 y/« , sin i^jii^ quel que soit À*, on aura ± 2' sin* nt = sin int — f sin ( / — 2 ) /if -+- sin [i — 4 ) '^^ j

3 — ^sin(i — o)«/-f-...; j

le signe supérieur se rapportant au cas où / — i est un multiple de 4 , et le signe inférieur au cas où i — i est seulement un multiple de 2.

Substituons dans la formule (^), à la place des puissances de sinntj leui^ valeurs données parles formules précédentes, et opérons ensuite les différentiations indiquées, nous aurons

u =z nt -i-e sin nt-j 2s>a2/?r

«I — -[S'sinS/îr — Ssinnt]

e* ■^ 1.23.4.2^ f ^* *^"*"' "" 4-2'sin2/i^]

H o r it A I 5* sinS /îf — 5.3*sin 3 »f -h — sin nt

Celte série est très-convergente quand on l'applique aux planètes. Elle servira à déterminer l'angle u pour un instant quelconque, et l'on aura ensuite^ par les deux dernières équations (n), les valeurs correspondantes de r et de v. Mais il est plus simple d'exprimer directement ces deux quantités en séries de sinus et de cosinus de l'angle nt et de ses multiples.

Pour cela remsu^quons que si dans la formide (r) on suppose s = w, « = 71^ -f- e . sin «5 ce =^nty jr/=z siti ii, a = e, ce qui donne t}iz'= ^[nl\ y' = ^xnnty et si,

pour abréger, on fait ^'nt = ^ ? on aura généralement

ita = J; 72/ "1- ^ sin /i/.-J/' /?r -I-

^ ' ^ 1.2 ndt