I -f- e COS ( P — w

Cette équation est celle des sections coniques, l'origine du rayon vecteur r étant au foyer. La constante a est le demi-grand axe de la courbe, e son excentricité.

Le corps w, dans son mouvement autour de M, décrit donc une section conique dont ce dernier corps occupe un des foyers; et Ton voit de plus par l'équation [h)j que le corps m se meut de manière que les aires décrites par les rayons vecteurs croissent comme les temps. Telles seraient donc les lois du mouvement des planètes et des comètes autour du Soleil, si elles n'obéissaient qu'à Faction de cet astre, et si l'on faisait abstraction des perturbations causées par leurs attractions mutuelles.

Ce résultat, d'ailleurs, dérive naturellement de la .supposition. En effet, nous avons fait voir, n^ 2, qu'un corps attiré vers un centre fixe par une force réciproque au carré de sa distance, décrivait autour de ce point une section conique. Or, pour avoir le mouvement relatif de m autour de M, il faut supposer ce dernier corps en repos, ce qui revient à appliquer en sens contraire à m une force égale à l'action que ce

corps exerce sur M; en sorte que, dans ce mouvement relatif, m est sollicité vers M par une force égale à la somme dçs masses M et w, divisée par le carré de leurs distances mutuelles; le corps m doit donc décrire une section conique autour de M.

L'équation (2) donne v en fonction de f; et comme le rayon vecteur est donné en fonction du temps par l'équation (g), il sera facile de déterminer à chaque instant la position de la planète dans son orbite, lorsque cette dernière équation sera intégrée. Sx l'on y substitue pour h et k leurs valeurs (o), elle devient

rdr

dt =

rdr

Faisons a — r = «te cos/i, ce qui donne r = a{i — ecosu); (3)

on aura

"^ = -r=(i — ecosu)du;

d'où Ton tire, en intégrant,

/ -h / = -p(« — esinw), (4)

Vf*

l étant une constante arbitraire.

Cette équation donnera u en fonction de / ; et comme rest donné en fonction de u par l'équation (3), on aura pour un instant quelconque la valeur du rayon vecteur de la planète dans son orbite.

Si l'on compare Texpression précédente de /• à celle

qui résulte de réquation (2), on aura