I-^a troisième des équations [n) donne

tang-^=Y/^— ^tang-i/.

On peut tirer de cette équation ia valeur de i^ en fonction de u^ de sinw, sinnu^ etc.; et Lagrange a donné une méthode fort élégante pour y parvenir au moyen des exponentielles imaginaires. En remplaçant ensuite ces quantités par leurs valeurs en séries ordonnées par rapport aux puissances de e, et développées en sinus et cosinus de Tangle /// et de ses multiples, on aura la valeur de v exprimée dans une série semblable. Mais il est beaucoup plus simple de déduire la valeur de i^ de celle de r supposée connue au moyen de l'équation (A) du n^20.

En effet, si Ton substitue dans cette équation à la place de k sa valeur s[^^a[i — e^) et qu'on observe que \laiï.:=^ a^ n^ on aura

dv = v'i — 6^ -T ndt

La formule (^), en supposant i{^w = (i — ecosw)'=--> donne

-r = ( I — c cos nty H- / <?' sin' nt{\ — e cosn/)*"'

i <?* û?'.sin* nt[i — e cos ntY~^ 7..Zn'dt^

quel que soit /. Si Ton fait i = — 2, on en conclura aisément

— =1 -4- 2ecùsnt'\ ^ (I -f. 5 COS2 ni)

H -[i3cos3 nt -f- 3cosnt]

H j~r [io3cos4«^4-Bcos2/i/ -4-9]

H r~ti[*^97 cos5/i^ — 75cos3«^4- i3ocos«/]^

Si l'on substitue cette valeur dans di^ et qu'on intègre ensuite, on trouvera, en ne portant l'approximation que jusqu'aux cinquièmes puissances de e inclusivement,

(/ = «f -f- 2 € sin /îf + -rr <?' sm 2«/-

-\ —-= (i 3 sin 3 /7r — 3 sin nt)

[io3sin4 ^t — ^^sm2nt]

, [i 097 sin Snt — 645 sin 3 /i/ H- 5o sin /if ],

La suite des termes %esinnt -{- —e^sini ni -h etc. , est

ce que les astronomes appellent F équation du centre^ c'est-à-dire l'angle qu'il faut ajouter à la valeur moyenne de p pour avoir sa vraie valeur.

Les angles w, p et nt dans ces séries sont comptés du périhélie de l'orbite; si l'on voulait compter ces angles à partir de l'aphélie, comme on le faisait autre-

fois^ il suffirait de les augmenter de la demi-circonférence, ou, ce qui revient au même, de changer le signe de la quantité e dans les formules précédentes. Mais il vaut mieux adopter Fusage nouvellement introduit dans nos Tables astronomiques de compter les anomalies à partir du périhélie, afin d'avoir des formules semblables dans le cas où les orbites sont presque circulaires, comme celles des planètes, et dans celui où eH^s sont très-excentriques, comme celles des comètes. Si, au lieil de compter la longitude i^ du périhélie, on fixe son origine à un point quelconque de Torbite, il suffira de diminuer dans les formules précédentes l'angle i^, qu'on supposera représenter ces nouvelles longitudes, de la constante (ù qui exprimera la longitude du périhélie. De même, si, au lieu de compter le temps de l'instant du passage par le périhélie, on fixe son origine à un instant quelconque après ce passage, l'angle nt devra être augmenté de la constante nl = B — «,6 désignant la longitude moyenne de la planète à l'instant d'où Ton compte le temps. Nous nommerons désormais la constante ê la longitude de l'époque; les expressions de ret de «^deviendront ainsi

r=«.| 1-+--C'— (^ — 7T^)cos(/«r-f-«-— 6>)

— (~£f' — -^eM C0S2(/l^-t- 6 — w) — ..h

»^=r«f4-«-h Itie — y e^\ s\n{nt ^ s — w)

-+- ( -7 e^— —T e*) siQ2( fit 4-6 — *>)-!-....

L'angle i^ est la longitude vraie de la planète; l'angle

ru+ 6 sa longitude moyenne, et Tangle w^ -f- € — w son anomalie moyenne; les longitudes, ainsi que le rayon vecteur r, étant rapportés au plan même de Forbite.

25. Déterminons maintenant la position de la planète par rapport à un plan fixe que nous supposerons très-peu incliné à celui de son orbite. Si Ton désigne par (f Finclinaison mutuelle de ces deux plans, par a la longitude, comptée sur le plan fixe, de leur commune intersection que nous nommerons désormais la ligne des nœuds, et par ê cette longitude comptée dans le plan même de l'orbite; qu'on nomme (^' la longitude du rayon vecteur projeté sur le plan fixe, Tangle v'— a sera la projection de l'angle i' — S qui représente la longitude dans l'orbite comptée du nœud, ou ce qu'on appelle l'argument (te la latitude; et en considérant le triangle sphérique rectangle dont i> — 6 est l'hypoténuse, i^' — a un côté de l'angle droit, et <p l'angle adjacent, on aura

tang(t^' — a) = cosç) tang(i/ — • g) ; (z)

équation qui donnera i^' au moyen de i^, et réciproquement.

Les valeurs de ces deux angles peuvent d'ailleurs se développer en séries convergentes d'une manière fort simple, en faisant usage des exponentielles imaginaires. Si Ton désigne par c le nombre dont le logarithme hyperbolique est l'unité, l'équation précédente pourra être mise sous cette forme

___ = COS cp z=. ?

vl8o théorie analytique

ou bien en réduisant

On tire de là

^2 (p'-a) v/=T = 1-4- co»y)c^C^~^)V'-'-H I — cosy ^ (r — cosf ) c^ (♦'~^)V'=^4- I 4- cos(f '

et en remarquant que

sin* - ®

^ = = tang* -<p,

on aura

d'où Ton tire, en prenant les logarithmes des deux membres et en divisant par 2 y^— i ,

Qu'on réduise les logarithmes du second membre en séries,. et qu'on substitue aux exponentielles imaginaires les sinus réels correspondants, on aura enfin la série

ff' — a =:c — 6 — tang'-(psin2(t'7-6) -h-iang' -*y sin4(*' — 6) "^ - tang*' - <p sin'' (♦' — 6)4-

On déduirait, par un procédé semblable, de Téquation (z) mise sous cptte forme

tang(i^ - 6) = ^tang(p'- a), Texpression de 1^ en i^', et Ton trouverait ç — 6 = /— a-h tang» - ^ sin 2 {1/ — a) -f- - tang* ~ ^ sin4 {«''-^ a)

+ ^tang«-(psin6(<'' — a)-+*.. ..

On voit que ces deux séries se transforment réciproquement Tune dans l'autre, en changeant le signe de

tang*-y, et en substituant (^ — 6 à t^' — a et (^' — a à

t' — S. Si Ton voulait avoir Fangle (^' — a en fonction de sinus et de cosinus de nt^ on observerait que Ton a, n«24, .

P étant ime fonction des sinus de Tangle nt -h s — w et de ses multiples. On aura donc, quel que soit /, sin/(i> — ê) = sini («^ + ê — 6 -h eP), et par conséquent

sini (f — 6) = cosfVP.sini (/ir-f- g — €) -f-sin/^P.cost (w/^ -h e — 6) ;

d'où Ton tire, en développant,

sini {if — 6)

En faisant successivement dans cette formule 1 = 2,, / = 4> « = 61 etc., et substituant les valeurs résul-

tantes dans la série qui donne i^' — a, Tanglef' se trouvera exprimé en fonction des sinus de nt et de ses multiples.

Désignons par B la latitude de la planète au-dessus du plan fixe, le triangle sphérique, que nous avons considéré plus haut, donnera

tahgd = tangf sin(t'' — a).

Cette équation peut se développer comme les précédentes; mais il en résulte une sérié moins simple que celles qui donnent les angles <^' — a et i^ — S. On trouve par la méthode des exponentielles imaginaires

e = tang<p siu (/— a) 4- -^^ [sin 3 (p' — a) — 3 sin( i'' — a) ] 0.4