î|^[sin5(«'' — a)~5sin3(p'---a)+iosin(p'---a

Enfin, si Ton désigne par r' le rayon vecteur r projeté sur le plan fixe, et qu'on fasse, pour abréger, taagd=:y, on aura

r'=rcos9 = r(i -+-^^) *^

Les différentes séries que nous venons d'obtenir, ne sont convergentes qu'autant qu'on suppose très-petite la valeur de e et celle de l'angle ç; elles ne peuvent servir par conséquent que pour les planètes dont les excentricités sont peu considérables, et dont les orbites sont généralement peu inclinées les unes aux autres, de manière qu'en prenant pour plan fixe l'orbite de

Tune quelconque d'entre elles, les inclinaisons des autres orbites sur ce plan deviennent nécessairement de très-petites quantités. Les astronomes rapportent ordinairement leurs observations au plan de 1 ecliptique, c'est-à-dire de l'orbite que décrit la Terre dans son mouvement annuel autour du Soleil; il convient donc de choisir ce plan pour le plan fixe auquel nous rapportons les mouvements des autres corps célestes, afin de pouvoir comparer la théorie aux observations. Quant aux longitudes, on les comptera, suivant l'usage, sur ce plan à partir de son intersection avec l'équateur, ou de la ligne des équinoxes. On aura ainsi, par les formules précédentes, la valeur du rayon vecteur et de la longitude dansl'orbile lorsque leurs projections sur le plan de l'écliplique seront connues, et réciproquement.

26. Les formules du mouvement elliptique peuvent encore se réduire en séries convergentes dans le cas d'une orbite très-excentrique, comme cela a lieu pour les comètes. Dans ce cas, e diffère peu de l'unité. Si l'on nomme D la distance de la comète à son périhélie, on aura D == a (i — e), et l'équation de l'ellipse donnera j.^ D(i-f"g) D(i4-g)

(i-+-^)cos'-f»-f-(i — <?)sin--<'

cos'

Faisons, pour abréger, ^^ = E, E étant une fort pe-

tite quantité, et développons la valeur de /en série ordonnée par rapport à E; nous aurons

r= f I — E rang'- P-f-E' Ung^i c— Enang«- p -h . . . j • (/)