Soit

R = M(<,>.e’ . co« [i(n't — nt ■+• •' — i) vjt -4- a» — a»]

H- MCO. ee'.coj [i(n't — nt ■+■ «' — j) + a nt -t- a» — «* — «/]

-4- MCO. e*». coj [i (n’t — »£+*' — •) + ant ■+■ a«— a»'],

on aura

Mf*>=

5)AC0 + a (ai — i)a

dA(0 du ^

rf-ACO-]

du' J

ni'

[4(«— i)*-K»-i)]AC*->4-[a-H(f—

dAV-*y d*

[4(£-a)*+9(i-a)-H] A W-0+[6+4(i-a)]<2^ ha } 1

Nous laissons subsister dans ces formules les puissances des quantités i — i et i — a , sans les développer, pour la commodité des calculs numériques et la facilité des vérifications.

Les différences de la fonction ACi> ainsi que celles de la fonction BCi) relatives à a' ont été converties en différences relatives à a, au moyen des formules du n° 5a du livre second, formules qu’on peut prolonger aussi loin qu’on le voudra, et qu’on peut étendre à la fonction C(0.

Soit :

R = N(o).À\ cos [i (n't — nt-\r î — é) -f- int -f-2£ — ail] , on aura

NW = ~.aa!

Pour ne pas compliquer les formules , nous avons ici, comme dans ce qui va suivre, écrit séparément les termes dépanda ns des inclinaisons; ils doivent évidemment être réunis aux termes du même ordre dépendans des excentricités.

Les moyens de vérification pour des calculs aussi compliqués que ceux dont dépendent en général les quantités MCo), M(,), Mw, sont précieux. Nous allons en indiquer plusieurs.

La fonction perturbatrice , lorsqu’on ne considère que la partie dépendante de la distance mutuelle de m à m1, étant symétrique par rapport aux coordonnées de la planète troublée et de la planète perturbatrice , il en résulte que sa valeur ne variera pas si l’on y change ce qui est relatif à m en ce qui est relatif à m', et réciproquement; d’où l’on peut conclure que si dans la valeur précédente de Mco on change a en a, et i en — i -j- 2 , et les différences de Aco prises par rapport à a en différences relatives à a\ la valeur résultante sera égale à M(3). Comme les quantités Mw, M(3) ont été calculées séparément , il sera facile de vérifier de cette manière leur exactitude, et l’on verra qu’on peut étendre une vérification semblable aux différens termes de la fonction R, quel que soit leur ordre.

Un second moyen de vérification résulte de la remarque qu’a faite Burckbardt, que si l’on compare par voie de soustraction les coefficiens de A(0 et de ses différences successives dans M(o}, Mco, M(,), et les quantités semblables relatives aux cubes et aux puissances supérieures des excentricités, on arrive en général à des différences constantes. Ainsi , dans les termes du second ordre, les secondes différences des

coefficiens de Aco et de sont égales à 2*; dans

ceux du troisième ordre , les troisièmes différences de ces coefficiens sont égales à 33 • dans les termes du quatrième ordre, les quatrièmes différences sont égales à dans ceux du cinquième ordre, les cinquièmes différences sont égales à 55, et ainsi de suite.

Par exemple, dans les termes précédens, les coefficiens de A(i) sont :

ire» diff. a™'» diff.

Pour MCo) 4** — 5t , .

Pour Mt0 4** + 21 * ( „ , r{1. . , 4~ 4

Pour Mw 4** “f" 91 *+■ 4 'l

Les coefficiens de sont :

Pour M° 4 * — 2

Pour Mco 4 i *f- 2

Pour Mc,) 4ï + 6

• • Les coefficiens de )

da *

troi s quantités.

ire» Jiff.

sont les mêmes dans les

Il sera facile, si on le juge convenable, de développer, par rapport aux puissances de i, les valeurs de MCo), MCi), pour vérifier les expressions résultantes, il ne faudra plus alors comparer ensemble les coefficiens appartenant à la même différence de A(i), mais bien ceux qui sont relatifs au même angle périodique. Nous ne nous arrêterons pas à exposer ce calcul qui n’offre aucune difficulté.

Termes du troisième ordre .