L.yr‘-i- r'4 — irr cos (e — v) — A‘ V -f- 2 sin p si n y V
» lit V.
On peut observer d’ailleurs que si , pour plan fixe des oc y, on prend un plan passant par l’intersection commune des deux orbites, et ayant, relativement à chacune d’elles, la même inclinaison que le plan de l’orbite primitive de m , on aura :
r=rcos(v — H), j"=trsi»(t' — n)cos<p, z=r sin^ — Iî)sin^,
x'==rCos(i>' — n), y=r’sm(v — n)cosy, z'=/''sin(/ — n)siny.
Si l’on substitue ces valeurs dans l'expression de R, et qu’on néglige le carré desin <p, quantité du second ordre par rapport aux forces perturbatrices, on retrouvera l’expression précédente, et cette ex-r pression, d’ailleurs, d’après ce qu’on a vu, est ^indépendante de la supposition que le plan fixe passe par la commune iutersection des orbites de m et de m'.
On conçoit, maintenant que si , dans les deux fonctions R et R , les variables r, /•«', v, v, et la constante fl, avaient les 'mêmes valeurs, en sorte que la valeur de la fonction > fut la seule altérée en passant 3e l'une
r cos (v — y) 1 V . ’ . V~1
~yr ; * pi -t- s»« <P sin y
a l’autre, on déduirait immédiatement l’expression
du développement de R de celui de R , en substituant dans ce dernier A* — 2 sin y J $ a la place de A*; mais, par l’effet du déplacement de la commune intersection des orbites, les quantités v> v' et 7r ont des valeurs différentes dans les deux fonctions. Commençons donc par déterminer les accroissemens que subissent
ces angles lorsqu’on • passe de R à R.
Pour cela considérons le triangle sphérique compris entre le plan de l’orbite primitive de m, celui de son orbite mobile, et le plan de l’orbite de m
Les trois angles de ce triangle seront <p , y et 1 8o° — y
et , en nommant cTFl le côté opposé à l’angle y , par les règles de la trigonométrie sphérique % on aura, à très peu près
et • <£n + .. .
sin y sin y
pour les deux autres côtés respectivement opposés aux angles y et <p. ' ♦' ’
Maintenant, v — fl, compté sur le plan fixe, est l’angle que forme le rayon r avec la ligne des nœuds de l’orbite de m! , sur l’orbite primitive de m. Si l’on projette sur ce dernier plan le nœud de l’orbite de m' sur le plan mobile de l’orbite de m, l’angle compris entre m et ce même nœud sera égal a l’angle v — fl, moins le mouvement de la ligne des noeuds pendant le temps t , compté sur l’orbite de m! et projeté sur le plan fixe , c est-à-dire que cet angle sera égal , a très peu près , a • 1
sin (pàîl sin y
cos y .
D’ailleurs t la longitude de l’intersection de l’orbite de m! avec l’orbite mobile de m , comptée de la même*
origine que les angles v9 s> et II, est n -f- ^n.
. , 8in y
L’angle v9 ou la distance angulaire de m à la droite fixé, d’où les angles sont comptés, devient donc, relativement à l’orbite mobile ,
sin <pfn . sin y
— cos y). '
Et en désignant par v9 v ^ n, ce que deviennent les
quantités v et 17, relativement à la fonction R , on aura :
v — fl — ( i — cos y)
sin <p3n sin <pfn sin y . • “ sin y
• 7-nW n- si^5. '■
sin y
C’est-à-dire qu’en passant de la fonction R à la fonction R, l’angle ^croîtra de — (j — cos yf~^9 etl’angle 17.
0 sin y ®
qui désigne la longitude du nœud de l’orbite de m! sur l’orbite mobile de m, de —^0, cTn étant le mou-
« sin y
vement pendant le temps t du nœud de l’orbite mobile de m sur le plan fixe; enfin la fonction À recevra
l’accroissement — -8^2. En
carré de J <p et de cTH on aura
négligeant donc le
dR
R = R — 17 sia <p tang - y ^
<Tn sin' ç JR «ftp sin y JR
“ ~ A~ dû'
sin y‘ Jïl . , A . JA . ' /*
* - A la place de /Tl et de d\p, qui déterminent les variations de l’orbite mobile de m relativement au plan fixe de son orbite primitive, on peut introduire dans rexpressioh précédente les quantités p et q} que Fort considère ordinairement dans les formules du mouvement troublé, et qui sont des fonctionsflonnées de ces mêmes quantités cfn et cT<p. En effet si^ comme dans le n° 45 du second livre, on fait
p 3= cT. sin (p sin TI, q = <sl\ sin <p cos 17 >
en effectuant la différentiation et en supposant, pour plus de simplicité, n = o dans les résultats, ce qui revient à prendre, comme nous le ferons dans la suite , l’intersection commune des deux orbites pour l’origine d’où les angles sont corpptés, on aura •
p = sin(p <fTI , q ±= cP(p,
r* »■ t l » . . ’l • ’ • , ‘ , 'ji- '• i ■ i , ;
et par conséquent t
. i . v. ' . - * * ; . < ' * . . • • ■ ;* \ » ri
ü n * * , ' JR , p JR
R =5 R — p tang 5 y -= h • — , «.
,T t> i ri; . * ,q-4 J»» . sin y Ju M
• r JR
9 008 » y aï' -* . ’ > >•.
''Cette valeur est celle qu’il faudra substituer clans les formules des nos 44 et 4^ second livre, quidéter-
minent les variations différentielles des élémens du mouvement elliptique de m autour du soleil troublé par l’action de m' , et l’on voit qu'il sera facile de de-
DU SYSTÈME Dü MONDE, duire par la différentiation, des différens termes de R les termes correspondans de R, ce qui dispensera deffectuqr le développement de cet tedern i ère fonct ion .
3. Cela pc^é, si l’on développe l’expression de R par rapport aux puissances ascendantes de A, on
aura : u - 1 — -
R = m f-yç
Lt/r
rr >cos {v — \>)
ITT COS ( V
— irr
COS (l/ v)3a
a“Vs
[r“ r ’ — 2tt' cos (v' — <»)}“
[r“ -f- r,‘. — arr' cos (y — r)] » • 4-
m 3* 88 #V 1 ~[r* +Va — arr' cos (4/ ■
• etc. ;
série dont la loi est évidente. Les inclinaisons des orbites des principales planètesi’une sur l’autre étant de très petites quantités, on n’a point considéré qu’içi dans leurg perturbations les inégalités dépendantes des puissances des inclinaisons supérieures à la quatrième, et l’on verra en effet dans la stfilc, que ces.inégalités doivent être tout-ù-fait insensibles. INouf; nous bornerons donc désormais à considérer les trois premiers termes de la précédente série, , , id
Par,, les formules du mouvement elliptique^
on a :
5 = 1 +le* — (e — g e’ + 4^ eS ) cos(^+e-")
eK ^ cos 2 ( nt -f- « « — fi? )
— (g e3 — ^ e4 ^ cos 5 (ztf e — û> )
^ e* cos 4 + € — a>)
ia5
— 384 ^ 008 ® ( nt ~)r 6 — û>)-f-etc.,.
i>= nt -f- € + ^2é-— ^ e3 + ^ e5 ^ sin (>i£ -f- € — co) -f- ^ e% — ^ e4 ^ sin 2 (nt + 6 — co)
\I2 io3
e5 ^ sin 3 (nt -{- e — co)
e4 sin 4 (nt -j- e — co)
+ s*n ^ ( ^ +• e — etc*
Les angles ti£ -f- g et co étant supposés comptés de la même origine que l’angle v, les valeurs donneront
celles de -g et de v* en marquant d’un accent les lettres H, e, t et co.
Si l’on substitue ces valeurs dans , cette quantité deviendra fonction des longitudes moyennes nt + g, n't -f- / des deux planètes , des longitudes des périhélies , des demi-grands axes, des excentricités et de l’inclinaison mutuelle des orbites, et l’on pourra la développer en série de sinus et de cosinus d’angles proportionnels k nt + g et n't •+* e, d’après les principes établis n° 48 du second livre.
DU SYSTÈME DU MONDE. i3
Pour cela , on supposera d’abord les orbites circulaires, ce qui donnera r=za, r' — d , v = nt -{- €, d = dt -|- t! , et par conséquent,
Ly — aaa'cos(is,£ — nt -fV —
aa' cos ( n't — nt -4- / — *}
( [a'* -b a? — iaa co»(hrt*—nt+ •' — «)] * J
[a',-4-aa—aart'cos(/i/£— nt-f-t' — *)]*
En nommant V' ce que devient V dans la même hypothèse , c’est-à-dire en supposant :
V'= — i — 2iï) — cos (rif — nt-\-t — *)].
On donnera ensuite à a*, d, nt~+- ê, dt -f- é', des accroissemens au, du, v et d, qui comprendront les termes des valeurs de r, d, s> et d , qu’on a d’abord négligés ; en sorte qu’on aura :
rz=a-j- au, r=a'+a'u', v = nt -f- 1 -f* vt > v'~rit- 1-
et il sera facile de développer R en série convergente par rapport aux puissances ascendantes de e , d et y. En effet, faisons comme dans le n° /fi du second livre. , ,
\a% d* 2aa cos (n t — nt —J— d — ^ ^
— ^ cos {dt — + «'—-£)
= - 2 A(y cos i (dt — nt + d — * )
[<**-(- a!% — 2 aa! cos (rit — nt -f- e — «)]”*
— 4-< = \ 2 B® cos i (rit — nt + i— *).
Supposons de plus, • •
[ a * a'* — 2 ad cos (i rit — nt -f- e' — c )] *
1 2 C<° cos t («V — «« 4- — «)•
La caractéristique 2 devant s’étendre à toutes les valeurs entières de i positives ou négatives y compris zéro , en observant qu’on a généralement :
sin ( ft + l ) 2 Aco cos i ( n't — nt- {-s1 — € )
= 2 Aw sin [i ( n't — nt 4“ d — - € ) 4 -fi 4“^]
cos ( ft 4~ O 2 A0) cos i (n't — nt e! — e )
r= 2 A(0 cos [ï{rit — nt 4- d — i) 4 -ft- 4- J]
sin ( jt 4- i) 2r*f4'1A<0 sin f(n*t — nt. -+• d — « )
— 2r‘î'*,Awcos [i (m'ï — nt-\-d — £)4-^4-4],
J t-\- l étant un angle et g un nombre entier quelconques , et de même pour les fonctions
2 B(0 cos i ( n't — nt 4~ d — » ) et 2C(0 cos i ( n't — + é1 — t ).
1 La fonction R.', en substituant pour V' sa valeur, et en faisant , pour abréger , n't — nt 4- d — « — * deviendra • ...
K'= — ïTaW — 7 v'h'w'j -4- | cm 13.
j'fflfl'Bl*-')— ^ cos (ix + i’it -f-3« — în)
+ cos (/«'+ 4"1 + 4' — 4n/-
On pourra, dans cette formule , supposer, quelque
SOll
‘ f' Aÿ = an' B«, A^= W» C<‘>. ’
Par cette nouvelle notatiofi, les quantités Aw, 'A ÿ, AÇ, seront toutes trois des Fonctions homogènes
de a et a' de la dimension — i , ce qui donnera à la fois plus de régularité et de simplicité aux formules. Nous ne faisons toutefois qu’indiquer cette notation à ceux qui voudraient s’occuper du développement de la fonction R , et nous continuerons à considérer les quantités B(0 et Cco pour conserver l’analogie des formules* suivantes avec celles du second livre.
Cela posé , on pourra regarder (.2 A(i) cos ia. comme une fonction donnée, des trois quantités a, a ■ èt a, que nous supposerons variables. Or, si l’pn nomme z une pareille fonction , et que les variables devenant simultanément a -f- au , a! -f- a'u\ a~b — vjt on désigne par qm+B+r le coefficient du produit ama'n umu'n (v J — v',)p> dans le développement de la fonction résultante. , on sait qu’on aura généralement :
d"*-n+Pi
»• dam da'n da?
On déterminera par celte formule les coefficiens des différens termes du développement de la fonction 2AW cos ia, ; en remplaçant ensuite u , V, vt et v't , par leurs valeurs, on développera les produits successifs u'Bu'a(v'i — en séries ordonnées
par rapport aux excentricités des orbites et proion-
gées jusqu’aux puissances de ces quantités auxquelles on voudra avoir égard. Quand ces séries seront formées, il sera facile d’obtenir par une simple substitution le terme de R dépendant d’un argument donné et d’un ordre déterminé par rapport aux excentricités et aux inclinaisons.
Ce que nous venons de dire s’applique évidemment aux quantités 2 B(‘> cos ict, 2 C» cos ia, et peut s’étendre aux quantités 2BW cos [ict -f- 2 nt + n 2ÏI),
2(?® cos ( itt -f* fnt -H 4 i — ) > ^ suffira de regar-
der ces deux dernières comme contenant les variables a , a!, a, et nt + e , et de les développer comme les précédentes par la formule de Taylor étendue à
quatre variables. ^
On pourra donc , dans tous les cas, former, d’après les principes précédens , le développement de la fonction R, étendu jusqu’à tel ordre de termes qu’on voudra considérer, et l’on n’éprouvera en général d’autres difficultés que celles qui résultent de la longueur des calculs, qui se compliquent de plus en plus à mesure qu’on a égard à des puissances plus élevées des excentricités et des inclinaisons. ■ ,
4. Considérons le terme le plus général de ce développement , que noussupposerons de cette forme :
m'k cos (i'n’t — int -f- i't — h j’a> fa 2/ n).
Il résulte de ce qui précède, que les angles u, co’, et n, ne peuvent être introduits dans l’expression de R que par la substitution des valeurs de r', v, v et V. Or, par les . formules du mouvement elliptique , on voit que l’angle nt + « sous les signes sinus ou cosi-
nus est toujours accompagné de l’angle — «dans les expi rions de r et de v, de même l’angle rit + g' est , toujours accompagné de l’angle — co'; enfin dans la valeur de V l’anglé rit + nt -f- g' + g sera toujours accompagné de l’angle — 2IL Cela posé', le terme qui précède peut s’écrire ainsi :
m!k cos [(i[ — *ff- — f*\ (rit+d («£+*)
-\-j' ( rit + g' — «') +/ [nt -f- g — ■ co) ,
+./* ( rit + nt + g' + g — an)]. /
Les trois derniers angles qui entrent sous le signe cosinus appartiennent aux termes périodiques des valeurs de r, r, ri et V. Or, si les orbites étaient circulaires et dans le même plan, le coefficient de rit serait égal à celui de nt, puisque l’angle rit — nt- f-g' — g et ses multiples serait le seul dont le cosinus entrerait dans la valeur de R , en sorte que le coefficient de rit ne peut surpasser celai de nt ou en être surpassé que par l’introduction des termes dépendans des excentricités et des inclinaisons. Il suit de là qu’on aura généralement entre les quantités /, r, j\ j'y jv, la rc- ' lation suivante : .
«+— Î4-/+/", ou bien i'-ri—j—f—a/"— o,
i, ifjrf > étant des nombres entiers positifs ou négatifs quelconques.
Quant au degré d’élévation du coefficient k , -nous remarquerons que les valeurs elliptiques de r, U, r , ri, sont telles, que les coefficiens des sinus ou cosinus de chaque multiple de l’anomalie moyenne nt + g — co forme une série procédant suivant les puissances de Tome I.
i8 THÉORIE ANALYTIQUE
l’excentricité e , et dans laquelle les exposans vont en croissant successivement de deux unités à, p^ir du premier terme , qui a pour exposant le nombre même qui multiplie l’angle n£-{- 1 ou l’angle w. Il en est de même des valeurs de r' et v' relativement à l’excentricité e' et à l’angle a>'. Observons encore que la quantité V étant toujours multipliée par À', le coefficient de FI dans le terme dépendant de l’angle — an, ou de ses multiples, sera égal à l’exposant de la paissance de A dont ce' terme est affecté. Il suit de là que dans les termes indépendans des inclinaisons la somme des coefficiens des angles a et a, pris avec le signe -f- , sera la limite inférieure de la puissance des excentricités à laquelle s’élève le terme que l’on considère dans le développement de R, et que dans la partie dépendante à la fois des excentricités et des inclinaisons la somme des multiples des angles ca , cJ et n , pris positivement, indiquera l’ordre le moins élevé des termes du développement de R qui dépendent d’un argument déterminé.
Ainsi le coefficient k sera de l’ordre f + f' -}- ij* ou i' — /•, d’après la relation i' — i — f — f — a/7,=o, et ce coefficient se'composera d’une série dont le premier terme aura la forme Aefc*,A,f’, les nombres f, f , f ", étant pris avec le signe -I- , et A étant une quantité indépendante des excentricités et des inclinaisons; le deuxième terme de cette série serait de l’ordre i ' — i-f- 2, le troisième de l’ordre î — i -f-4 » et ainsi de suite ; en sorte que le facteur commun ôté , tous les termes de la série k ne renfer-
meront que des puissances paires d e c? e' et A. En ne considérant donc parmi les termes qui dépendent de l’angle Vnlt — int que ceux qui sont de l’ordre le moins élevé, le terme, général de R sera de la forme . , ' .
A*^ cos {frit — int — f af — foo — zfrt) .
Les nombres f , f , f ", sont supposés positifs ; si l’un d’eux, f par exemple, était négatif, le terme précédent serait de l’ordre V — i + if, la somme des nombres f , f'* t if, pilfc avec leurs signes, devant toujours -être égale à V — i. • , r
Les considérations précédentes sont surtout utiles lorsqu’on veut déterminer à priori les termes du développement de R qui dépendent d’un argument donné, On voit que si parmi cès termes le moins élevé est de l’ordre l, le même argument ne se reproduira plus que parmi les termes de l’ordre Z - J- 2 , ou de l’ordre l ■+• 4 > e*c* > de sorte que si l est un nombre pair, tous les termes seront d’ordre pair , et ils seront d’ordre impair dans le cas contraire. Ce résultat provient non-rseulement de la forme des valeurs de r, v't mais encore de ce que la
fonction R doit être indépendante de l’origine des longitudes. .. . .
Ainsi , par exemple , si l’on proposait de déterminer les termes de R relatifs à l’argument 5?i't — int, on voit que les moins élevés parmi ces termes seraient de l’ordre 5 — 2 ou du troisième ordre , les suivans du cinquième, et ainsi de suite. Si l’on considère seulement les termes du troisième ordre,
on aura /-{-/'+ if* — o ; les nombres f, f, f,ff étant supposés positifs, on pourra former six combinaisons différentes , selon que deux ou un seul d’entre eux seront supposés nuis , et les autres successivement égaux à i, 2 ou 3, f" excepté, qui ne peut être que nul ou égal à i . Les termes dont il s’agit
seront donc compris dans l’une des formes sui-
vantes :
M^e3 cos ( 5n't — 2nt + 5e' — 26 — 5û>),
M(0e*e' cos ($n't — 2 nt + ée — 2 e — 2co — û/),
M(t)ee'a cos (5 n't -*• 2 nt + 5e' — 2 e — co — 20/),
M(3V3 cos (5 n't — 2 nt + 5e' — 2e — 3a>'),
MC4)eÀa cos ( 5n't — 2nt + 5e' — 2e — co — 217), M(5Và*cos ( 5n't — 2nt + 5e' — 26 — co' — 2ll).
Quant aux quantités M(o), Mf,), etc. , il sera facile de les déterminer d’après ce qui a été dit n° 3.
On a souvent besoin, dans la théorie des perturbations planétaires , d’avoir les différences de R , soit par rapport à r, soit par rapport a v , soit enfin par rapport à la latitude s. Pour les obtenir, j’observe que la valeur elliptique de r peut se mettre sous la forme r = a ( 1 + u) , en désignant par «une fonction dépendante de l’excentricité e, mais indépen-
dr
dante de a. On tire de la = 1 -f - u; et comme r
est la seule des variables r , t\ r', v' , qui renferme a, on aura
dR dR , , x dR r
dï^dï'^ + V — dF-â'
ou Lieu
JR JR
r dr ~Uda‘
Quant à la différentielle partielle onac=n/-f£+t'(,
en désignant par vt une suite Æe sinus de l’anomalie vraie — co et de ses multiples. La partie pério-
dique du rayon vecteur est composée d’une suite de cosinus semblables ; on aura donc la différence de R par rapport à v, en différentiant la valeur de cette fonction par rapport à l’angle e , en tant qu’il n’est pas accompagné de l’angle co , c’est-à-dire qu’on aura
JR JR #‘ •
dv J« ’
pourvu qu’en prenant cette dernière différence on ait soin de considérer comme constans les angles € — co qui sont introduits dans R , soit par le rayon vecteur r, soit par la partie périodique de la . longitude v, et qui, par cette raison, ne doivent pas varier ; c’est-à-dire qu’on aura généralement ,
en faisant tout varier et observant que ^ >
JR JR , JR
dv ndl ' dm *
Enfin , pour avoir la différence de la fonction que nous avons désignée par R, par rapport à s, j’observe que s étant la latitude de m au-dessus du plan auquel ou rapporte son mouvement , si l’on nomme <p l’inclinaison de l’orbite sur ce plan fixe , on aura
s = sin <p sia (v — II), et par conséquent
t- = ~r si a (v — II).
dp ds ' '
En désignant d’ailleurs par y l’inclinaison mutuelle des orbites de m et m0, on a , n° 2 ,
cos y = cos <p cos <pr -f- sin <p sin <pf cos (11' — II).
Si l’on différentie cette expression par rapport à y et à <p , que dans la différentielle on fasse <p = ci, <p'= y et n' = n, ce qui suppose que l’on prend, comme nous le faisons , pour plan fixe le plan de l’orbite primitive de m‘, on aura dy — — dtp, et par conséa quent,
‘ 1 rfR
ds ~~ sin (y — n) ‘ dy'
Si m était en mouvement sur le plan même de l’orbite de m', on aurait s = sin ^ sin (y — n), et par conséquent,
</R . dK
s- = -smy^.
Nous avons supposé dans ce qui précède A =2 simj y, ce qui donne dA = cos j ydy , et par suite
<flt __ sin’). <iR
ds a " dx'
Les valeurs de ^ ^ formeront ainsi des sédr ’ dv ' ds ’
ries composées de termes semblables à ceux du développement de R dont ils dérivent.
Enfin, au moyeu de l’équation
ï7 n . i <iR . d (/R i<fR
K =11 — p — f- -y- — o cos -y-j-f
1 ” 2 * dv smy dm * 2 1 dx 9
lorsque le développement de la fonction R sera effectué, on pourra en déduire, par de simples diffé-
rentiations , la valeur de la fonction R , qui est celle qu’il faudra substituer dans les formules du n° 44 du second livre.
Par le n° 8i du second livre, on a
dR __ i dR
ds sia (v — n) ' dq
dR
Si l’on substitue pour -j- sa valeur tirée de l’équa-
dR y
tion précédente , on retrouvera la valeur de à la-
quelle nous venons de parvenir d’une manière différente. 1 <■>
On peut, pour fixer les idées , supposer que R est la valeur de la fonction perturbatrice lorsqu’on regarde comme immobile le plan de l’orbite de m, et
R la valeur complète de cette fonction, en ayant égard aux variations de ce plan. Or on voit que les différences partielles de la fonction R relatives au grand axe a y à l’excentricité e , à la longitude o du périhélie de l’orbite de m, et à la longitude 6 de l’époque, sont égales aux différences correspondantes de R, aux quantités près du second ordre par rapport aux, forces perturbatrices^ alors qu’on prend pour plan fixe celui de l’orbite de m à une époque donnée ; en sorte que dans les formules qui déterminent les variations
de ces éfémens on peut substituer R à la place de R ,
puisque nous négligeons ici les quantités dépendantes
du carré des masses.
Il n’en est pas d#même relativement aux variations ' des quantités qui déterminent la position du plan de
l’orbite, et la valeur de R donnera
-v dR • 1 . dR , 1 dR
-y- = — tang - A j f- - — -7-
dp n 2 dv sin y d?r
dR 1 dR
= — cos - *v .
En substituant ces valeurs dans les formules (q) et (10) du n° 44 du livre deuxième , en observant que
d R dR . d R
■j = -j — (- -5—, on aura
dv de y da> 7
En joignant aux formules (1), (2), (3), (4), (8), du n° 44 9 livre II, les deux précédentes, on aura par la simple différentiation des différens termes du développement de R , prise par rapport aux élémens de l’orbite de m, les inégalités correspondantes de chacun de ces élémens; ce qui facilite extrêmement le calcul de leurs variations.
5 .Après ces considérations générales sur la réduction de la fonction R en série, nçus allons nous occuper de déterminer l’expression analytique des différens termes de ce développement. Nous avons donné dans le n° 81 du second livre, les termes qui dépendent de la première et de la seconde puissance des ericcntri-
DU SYSTÈME DU MONDE. a5
cités ; mais comme nous avons omis de comprendre parmi ces derniers les termes dépendans des inclinaisons, pour rendre notre travail complet, nous reprendrons ici ce développement à partir des termes du second ordre, et nous le pousserons ensuite jusqu’aux termes du sixième ordre par rapport aux excentricités et aux inclinaisons. Il est peu probable qu’il se rencontre des cas où l’on soit obligé de porter plus loin les approximations; au reste, on y parviendrait sans difficulté d’après les mêmes principes.
Les Mémoires' de l’Institut pour 1808 contiennent un travail de Burckhardt sur le même sujet; mais des erreurs considérables s’étaient glissées dans ses résultats; nous nous sommes attaché à les faire disparaître ; nous avons vérifié avec soin les tertnes que cet astronome avait calculés, et nous leur avons ajouté les termes dépendans des inclinaisons qu’il avait omis. L’introduction dans nos formules du sinus de la moitié de l’inclinaison mutuelle dès orbites au lieu de la tangente des inclinaisons employée jusqu’ici , rend le calcul de ces derniers termes aussi facile et aussi symétrique que celui des termes qui dépendent simplement des excentricités.
Enfin M. Binet a bien voulu me communiquer dernièrement le manuscrit de ses recherches sur le même objet, présentées à l’Académie des Sciences en * 1812, et dont j’ai parlé n° 96 du second livre. Cet immense travail contient la préparation de toutes les quantités nécessaires au développement de la fonction R jusqu’aux termes du septième ordre ; il a servi à vérifier de nouveau quelques-uns de mes résultats.
et m’a mis à même d’offrir avec quelque confiance aux géomètres le travail le plus étendu, et, je l’espère, le plus correct qui ait encore été publié sur ce sujet.
développement de la fonction perturbatrice en série
ORDONNÉE PAR RAPPORT AUX PUISSANCES ASCENDANTES DES EXCENTRICITÉS ET DES INCLINAISONS.
Termes qui sont de l'ordre le moins élevé parmi ceux qui dépendent du même argument.
Termes du second ordre.
