CHAPITRE XXII

Formation des Tables astronomiques par la comparaison des observations et de la théorie. Détermina-

tion du plan invariable. Conclusion de la théorie des inégalités planétaires.

114. Nous allons nous occuper ici de la construction des tables planétaires, et montrer comment, par le concours des observations et des formules de la théorie, on peut s’élever, de siècle en siècle, à la connaissance plus exacte de tous les mouvemens célestes. Nous entrerons, à cet égard, dans quelques détails qui paraîtront peut-être superflus aux astronomes qui s’occupent spécialement de cet objet , mais qui nous semblent nécessaires pour montrer aux jeunes géomètres qui étudient la théorie du système du monde , et auxquels cet ouvrage est surtout destiné , combien la détermination théorique des inégalités séculaires et périodiques des mouvemens planétaires, a d’influence sur les valeurs des éiémens d’où dépendent les tables astronomiques , et combien il importe par conséquent de la perfectionner de plus en plus , pour donner à ces tables toute la précision que les observations comportent.

Dans Pétat actuel de l’Astronomie, on doit re-

garder les masses des planètes et les élémens de leurs orbites comme à peu près connus , et ils n'ont besoin que de légères corrections qu’on déterminera à mesure que les bonnes observations se multiplieront. Les inégalités séculaires sont propres surtout à faire connaître les valeurs exactes des masses y et les coefïiciens indéterminés quç nous avons laissés subsister dans nos formules , et qui représentent les corrections dont les masses que nous avons adoptées sont encore susceptibles, seraient aisément déterminées, si l’on avait les valeurs précises de ces inégalités pour des époques fixées. Malheureusement les observations anciennes sont trop incorrectes , et les modernes trop rapprochées , pour qu’on puisse déterminer de cette manière les masses planétaires; et en attendant que les variations séculaires se soient par la suite des temps suffisamment développées, on est obligé d’employer, à leur défaut, les inégalités périodiques résultant d’un grand nombre d’observations, et de déterminer les corrections des masses comme celles des autres élémens du mouvement elliptique.

Pour cela , on réunira un grand nombre d’observations faites avec de bons instrumens , par des observateurs habiles, et embrassant le plus grand intervalle qu'il se pourra. Chaque observation donnera la longitude et la latitude géocenlriques- de la planète pour une époque connue. On convertira d’abord cette longitude et cette latitude, corrigées de l’aberration et de la nutation, en longitude et en latitude héliocentrique , c’est-à-dire vues du centre

DU SYSTÈME DU MONDE. 5a3

du Soleil, parles formules connues, et l’on effectuera les mêmes opérations sur toutes les observations dont on veut faire usage. Ensuite, au moyen des tables provisoires qui résultent des formules précédentes, disposées comme on l’a vu n° 107, on calculera les longitudes et les latitudes correspondantes aux mêmes époques. Si ces tables étaient exactes et les observations d’une rigoureuse précision , les valeurs résultantes de l’observation et du calcul devraient être identiquement les mêmes j les différences seront donc l’erreur des tables , puisque l’on suppose que l’on peut compter sur les observations. En faisant, par conséquent, varier d’une très petite quantité chacun des élémens de l’orbite elliptique , ainsi que les valeurs des masses perturbatrices, dans l’expression de la longitude et de la latitude de la planète, et en égalant les variations qui en résulteront aux différences entre les longitudes et les latitudes observées et calculées par les formules de la théorie , on aura autant d’équations de condition entre les corrections qu’on a fait subir aux élémens elliptiques de la planète et aux masses perturbàtrices. Comme ces équations seront toujours en beaucoup plus grand nombre que les inconnues qu’elles renferment, on les combinera entre elles par la méthode des moindres carrés, de manière à réduire leur nombre à celui des inconnues , et en les résolvant par les méthodes ordinaires d’élimination, on en déduira les valeurs de ces quantités. On aura ainsi le moyen le plus exact que l’on /

puisse employer, dans l’état de perfectionnement qu’a atteint l’Astronomie théorique et pratique, pour

arriver, par des corrections successives, à la détermination exacte des masses et des élémens des orbes des planètes.

Soit donc V' la longitude héliocentrique de m déduite de Inobservation , et V cette même longitude calculée par le moyen des formules précédentes , ou des tables provisoires qu’on en aura déduites , et soit cTV la variation de V résultant des corrections de chacun des élémens qui entrent dans son expression , la comparaison des longitudes observées et calculées donnera V = V' + cTV , et par conséquent

• JV = V' — V.

Si Ton désigne par P', P", etc. , les perturbations qu’éprouve la planète m par l’action des planètes m', tkil y etc. , en vertu des formules du mouvement troublé, on aura

V=nt -j-g-f- 2e sin (nt + e — w) + m'P' + m"Pf,-j-etc. ,

en n’ayant égard , pour plus de simplicité , qu’au premier terme de l’équation du centre, parce que les corrections qui résulteraient de la considération des autres termes, seraient absolument insensibles. De même, on ne conservera dans P', P", etc., que les inégalités affectées des coefficiens les plus considérables.

Si l’on différentie par rapport a la caractéristique £ cette expression , en faisant varier les constantes du * mouvement elliptique et les masses perturbatrices m! , rri\ etc., que pour abréger on fasse p—nt + g — co, on aura

/.V = (t in -f- /*) ( i -t-ac co» p)+ aie *in p — aeiot cos p clc

et par conséquent , entre les variations tSn, Ss, etc., on aura l’équation de condition suivante :

(t fn+Si) {i-f-aecos/?)-f-2cfesin p — aeJ'û»co8/>-f-P,JVn/+PVw,'-#-etc.=V/*— V.

Chaque observation donnera une équation semblable , et la résolution de toutes ces équations combinées par la méthode des moindres carrés , fera connaître les valeurs des corrections indéterminées Sn9 Si, S e, S où , et celles des masses perturbatrices m m,fy etc.

Les observations de la latitude fourniront des équations semblables, qui serviront à corriger les deux autres élémens de l’orbe elliptique, c’est-àdire ceux d’où dépend sa position dans l’espace. En effet , si Ton nomme <p l’inclinaison de l’orbite de m a l’écliptique fixe, et la longitude de son nœud ascendant, et S le sinus de la latitude, on aura S = sin (p sin (V — et) ; en différentiant par conséquent par rapport à <p et à et , on aura

. cfS = ÉP<p cos <psin(V — et) — Set sin <pcos(V — et).

Si donc on nomme S' le sinus de la latitude observée , et S le sinus de la latitude calculée par les formules du mouvement elliptique, on aura

s<p cos<psin(V — et) — S et sin (P cos (V — ct)=S' — S,

et chaque observation de la latitude fournira une équation semblable. En appliquant à ces équations la méthode des moindres carrés, il sera facile d’en tirer les valeurs des corrections S<p et Sa, de ma-

5a6 THÉORIE ANALYTIQUE

nière à satisfaire le plus exactement possible à l’ensemble des observations.

Avec les élémens elliptiques et les masses perturbatrices ainsi corrigées , on construira de nouvelles tables du mouvement de la planète qui auront toute la précision que comportent les observations que l’on a employées. Chacune de celles qu’on fera dans la suite , comparée aux résultats de ces tables , fournira de nouvelles équations de condition que l’on ajoutera aux premières; et lorsque le temps aura permis d’en rassembler un assez grand nombre , en combinant entre elles les équations de condition , tant anciennes que modernes , on déterminera une seconde fois les corrections des masses et des élémens elliptiques avec lesquels on construira de nouvelles tables plus exactes que les premières. En continuant de la même manière, et en répétant cette opération à des intervalles de dix ou vingt ans, on parviendra, par des approximations successives, à donner aux tables astronomiques et aux élémens qui servent à les établir le plus haut degré de précision.

C’est de cette manière qu’ont déjà été construites deux fois depuis trente ans , les tables de Jupiter, Saturne et Uranus , que l’on peut regarder, pour l’ordre et la clarté, comme un modèle en ce genre. Ces tables , celles des deux premières planètes du moins, représentent avec un grand degré d’exactitude toutes les observations modernes. Cependant il est probable que l’on pourrait ajouter encore à leur précision , en rectifiant quelques parties de la grande

DU SYSTÈME DU MONDE. 5a7

inégalité de Jupiter et de Saturne, omises par Laplace, ou qui ont été prises avec un signe contraire. 11 serait surtout à désirer, comme je l’ai dit, qu’on reprit sous ce point de vue la discussion des équations de condition qu’a fournies la comparaison de la théorie et des observations , pour s’assurer si les corrections nouvelles qui en résulteront, ne donneraient pas à la masse de Jupiter une valeur plus concordante avec celle qu’on a conclue des élongations de ses satellites, d’après les observations les plus récentes, et celle qui résulte des perturbations que cause cette planète dans les mouvemens de Cérès, Junon et Vesta.

Les tables d’Uranus qui avaient , lors de leur formation, toute la précision de celles de Jupiter et de Saturne, ne représentent déjà plus, dit-on , que très imparfaitement les observations actuelles, si rapprochées cependant de cette époque. Il faut l’attribuer sans doute à ce que les observations faites avant que cet astre ne fût rangé parmi les planètes, n’ont pu être employées dans la construction des tables, à cause de leur peu de précision , et que celles qui ont été faites depuis 1781 n’étaient pas encore alors assez nombreuses. On a cru aussi qu’il serait possible que cette planète , qui s’éloigne à de si grandes distances du Soleil , dans les espaces où nos meilleures lunettes ne peuvent la suivre , rencontrât • quelque planète inconnue qui causerait dans sa marche des perturbations sensibles. Mais ce sont là des suppositions qu’il ne sera permis de discuter qu’après un intervalle de temps assez considérable pour qu’on ait pu réunir un grand

nombre d’observations et former de nouvelles tables de la planète. On s’assurera alors si ces tables, plus exactes que les premières, sont encore insuffisantes pour représenter ses mouvemens.

ii 5. Nous avons donné, dans le n° 7g, livre II, les formules qui déterminent la position du plan invariable du système du monde , c’est-à-dire du plan qui reste toujours parallèle à lui-mème pendant toute la durée du mouvement, et nous avons indiqué l’usage qu’en pourraient faire les astronomes, pour reconnaître dans tous les siècles les déplacemens des orbes planétaires, indépendamment des mouvemens propres des étoiles qui nous sont généralement incorn nus. Si l’on nomme y l’inclinaison du plan invariable à l’écliptique fixe de 1800, et n la longitude de son nœud ascendant sur ce plan , on a , par le numéro cité ,

tang y sin II

2m [/a(i — ea ) sin <p sin a 2m [/ a{ 1 — ea ) cos <p

tang y cos II =

2m \/ a{ 1 — éA ) sin <f> cos * 2m\/a(i — e2) cos<p

le signe 2 représentant la somme de tous les termes semblables relatifs aux planètes m', m', etc. En substituant pour chacune d’elles, dans ces formules, à la place de m, ci, e, cp et a, leurs valeurs données n° 88, on a trouvé

n = io3° 8' 45",

En remplaçant ensuite e , <p et a par lèurs valeurs

relatives à l'écliptique fixe, calculées pour l’époque de 2000 d’après les formules du n° gi , on a trouvé

n = io3° 8'5o",

Ces valeurs s’écartent peu des précédentes ; les petites différences viennent sans doute des corrections dont peuvent encore avoir besoin les variations séculaires des excentricités et des nœuds des orbes planétaires. Il faut observer cependant que la différence entre les deux résultats est cinq fois plus grande sur la longitude du nœud que sur l’inclinaison, ce qui tient à ce que l’inclinaison y du plan invariable sur l’écliptique étant peu considérable , les numérateurs des équations (i) sont tous deux de très petites quantités; en sorte que la valeur de tang II étant donnée par la formule

— e*)sinfflsin<i

tang n — ~L ,

S.my a(i — e’jsin ç cos «

il en résulte nécessairement que de très petites différences dans les quantités 2 m \/a{ i — e* Jsin psina e — e* ) sin (pcosa, peuvent en produire de considérables dans la valeur de tang II , et par suite dans celle de l’angle n. La même remarque s’applique dans la théorie des perturbations des planètes et des comètes, aux formules qui donnent la position de l’orbite troublée par rapport à l’orbite primitive.

On doit donc regarder comme parfaitement éta-